2. 子群

2.1子群的定义

定义 2.1.1. 令 $G$ 是一个群, 并且 $H\subset G$. $H$ 被称为是 $G$ 的一个子群, 如果满足

(1)	$\forall$ $h_1,h_2\in H$, $h_1{h}_2\in H$. (在乘法下封闭)
(2)	$1_G\in H$.
(3)	如果 $h\in H$, 则 $h^{-1}\in H$.

2.2子群的例子

例 2.2.1. ${\mathbb{R}}_{>0}\subset {\mathbb{R}}^{\times }$ 是一个子群.

证明. ${\mathbb{R}}_{>0}$ 是 ${\mathbb{R}}^{\times }$ 的一个子群, 因为

(1)	$\forall$ $h_1,h_2\in {\mathbb{R}}_{>0}$, $h_1{h}_2\in {\mathbb{R}}_{>0}$.
(2)	$1\in {\mathbb{R}}_{>0}$.
(3)	如果 $h\in {\mathbb{R}}_{>0}$, 则 $h^{-1}=\frac{1}{h}\in {\mathbb{R}}_{>0}$.

$\square$

例 2.2.2. ${\mathbb{Z}}_{⩾0}\subset (\mathbb{Z},+)$ 不是一个子群.

证明. ${\mathbb{Z}}_{⩾0}$ 不是 $\mathbb{Z}$ 的一个子群, 因为不是所有元素 $z\in \mathbb{Z}$ 有一个逆. 举例而言, $z=1$. 它的逆应该是 $-1$, b 它不在 ${\mathbb{Z}}_{⩾0}$ 中.

$\square$

例 2.2.3. $S{L}_n(\mathbb{R}):=\{M\in G{L}_n(\mathbb{R})\mid \det M=1\}\subset G{L}_n(\mathbb{R})$ 是一个子群.

证明. $S{L}_n(\mathbb{R})$ 是 $G{L}_n(\mathbb{R})$ 的一个子群, 因为

(1)	$\forall M_1,M_2\in S{L}_n(\mathbb{R})$, $M_1{M}_2\in S{L}_n(\mathbb{R})$, 因为$$\det (M_1{M}_2)=\det (M_1)\det (M_2)=1\times 1=1.$$
(2)	单位矩阵 $I_{G{L}_n(\mathbb{R})}\in S{L}_n(\mathbb{R})$, 因为 $\det (I_{G{L}_n(\mathbb{R})})=1$.
(3)	$\forall M\in S{L}_n(\mathbb{R})$, 则 $M^{-1}\in S{L}_n(\mathbb{R})$, 因为 $\det (M^{-1})=\frac{1}{\det (M)}=1$.

$\square$

例 2.2.4. 令 ${\mathbb{C}}^{\times }:=\mathbb{C}\setminus \{0\}$. 定义 $m$ 为复数乘法: $\forall z_1,z_2\in {\mathbb{C}}^{\times }$, $$m(z_1,z_2)=z_1\times z_2.$$我们有

(a)	${\mathbb{C}}^{\times }$ 是一个群.
(b)	令$$S^1=\{z\mid |z|=1\}.$$则 $S^1\subset {\mathbb{C}}^{\times }$ 是一个子群.

证明. (a) ${\mathbb{C}}^{\times }$ 是一个群, 因为

(1)	复数乘法满足结合律.
(2)	$\forall z\in {\mathbb{C}}^{\times }$, $1\times z=z\times 1=z$.
(3)	$\forall z\in {\mathbb{C}}^{\times }$, 令 $z^{-1}=\frac{\overline{z}}{||z|{|}^2}$.

(b) $S^1$ 是 ${\mathbb{C}}^{\times }$ 的一个子群, 因为

(1)	$|z_1|=|z_2|=1$ $\Rightarrow$ $|z_1\times z_2|=1$, 所以 $S^1$ 在 $\times$ 下封闭.
(2)	$|1|=1$, 所以恒元在 $S^1$ 中.
(3)	如果 $|z|=1$, 则 $|\overline{z}|=1$, 并且 $z^{-1}=\overline{z}$.

$\square$