4. Freiman 同态

了解任何对象, 要去了解它们之间的映射以及这些映射保留的性质, 这是数学的基本原理之一. 例如, 在研究群时, 我们关心的不是元素本身是什么, 而是它们之间根据群操作的关系. 对于流形, 我们不关注空间中的嵌入, 而是关注保留各种基本属性的映射 (例如微分同胚) . 在加性组合中, 我们的研究对象是集合的加法. 因此, 我们必须了解集合之间保留或者至少部分保留加性结构的映射. 这样的映射称为 Freiman 同态.

定义 4.1. $A, B$ 是 Abel 群中的子集. 我们称 $ϕ : A \to B$ 是一个 Freiman $s$ -同态 (或 $s$ 阶的 Freiman 同态) , 如果 $ϕ (a_{1}) + \dots + ϕ (a_{s}) = ϕ (a_{1}^{'}) + \dots + ϕ (a_{s}^{'}),$ 其中 $a_{1}, \dots, a_{s}, a_{1}^{'}, \dots, a_{s}^{'} \in A$ 满足 $a_{1} + \dots + a_{s} = a_{1}^{'} + \dots + a_{s}^{'} .$

定义 4.2. 如果 $ϕ : A \to B$ 是双射, 并且 $ϕ$ 和 $ϕ^{- 1}$ 都是 Freiman $s$ -同态, 则称 $ϕ$ 是 Freiman $s$ -同构.

下面我们看一些例子.

例 4.3. 每个群同态都是任意阶的 Freiman 同态.

例 4.4. 如果 $ϕ_{1}$ 和 $ϕ_{2}$ 都是 Freiman $s$ -同态, 那么它们的组合 $ϕ_{1} \circ ϕ_{2}$ 也是 Freiman $s$ -同态. 如果 $ϕ_{1}$ 和 $ϕ_{2}$ 都是 Freiman $s$ -同构, 那么它们的组合 $ϕ_{1} \circ ϕ_{2}$ 是 Freiman $s$ -同构.

例 4.5. 假设 $S$ 没有加性结构 (例如 ${1, 10, 1 0^{2}, 1 0^{3}}$ ) , 那么任意映射 $ϕ : S \to Z$ 是一个 Freiman $2$ -同态.

请注意, Freiman 同构和群同态有细微的差别!

例 4.6. 自然嵌入 $ϕ : {0, 1}^{n} \to (Z /2 Z)^{n}$ 是群同态, 所以是任意阶的 Freiman 同态. 它也是一个双射. 但是它的逆映射没有保留加性关系, 因此它不是 Freiman $2$ -同构!

一般来说, $mod N$ 映射 $Z \to Z / N Z$ 是群同态, 而不是 Freiman 同态. 即使我们将映射限制在 $[N]$ , 这仍然成立. 但是, 我们可以通过限制在直径小的子集来找到 Freiman 同构.

命题 4.7. $A \subset Z$ 的直径小于 $N / s$ , 则 $mod N$ 是 Freiman $s$ -同构.

证明. 如果

a_{1}, \dots, a_{s}, a_{1}^{'}, \dots, a_{s}^{'} \in A

满足

i = 1 \sum s a_{i} - i = 1 \sum s a_{i}^{'} \equiv 0 (mod N)

则左侧可以被视为一个整数, 其绝对值小于

N

(因为对任意

i

,

∣ a_{i} - a_{i}^{'} ∣ < N / s

) . 因此左边必须为 0. 所以

mod N

映射的逆是

A

上的 Freiman

s

-同态, 因此

mod N

是 Freiman

s -

同构.

$□$

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