10. 非 Abel 群中的 Freiman 问题

我们可以对非 Abel 群提出类似的问题: 倍增常数较小的非 Abel 群的子集的结构是什么? 就像 Abel 群的情况下一样, 其子群仍然有小的倍增常数. 此外, 我们可以采用任何一组交换元素构成的 GAP. 然而, 事实证明还有其他小倍增集的例子, 它们不是直接从这些例子中的任何一个从 Abel 群中推导出来的.

例 10.1. 离散海森堡 (Heisenberg) 群 ${\mathrm{H}}_3(\mathbb{Z})$ 是主对角线上为 1 的整数上三角矩阵的集合. 该群的乘法定义如下: $$\left(\begin{array}{lll}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1& x& z\\ 0& 1& y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& a+x& c+z+ay\\ 0& 1& b+y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$令$$S=\left\{\left(\begin{array}{ccc}1& \pm 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& \pm 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\right\}$$考虑集合 $S^r$, 根据乘法规则, $S^r$ 的元素都形如$$\left(\begin{array}{ccc}1& O(r)& O\left(r^2\right)\\ 0& 1& O(r)\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$因此, $\left|S^r\right|\le O\left(r^4\right)$, 因为这样的矩阵最多有 $O\left(r^4\right)$ 种. 我们可以进一步证明 $\left|S^r\right|=\Omega \left(r^4\right)$, 因此 $\left|S^r\right|=\Theta \left(r^4\right)$. 所以 $S^r$ 的倍增为 $\left|S^{2r}\right|/\left|S^r\right|\approx 16$, $S^r$ 的倍增是有界的.

定义 10.2. 如果存在中心列 $G=G_0\supset G_1\supset \cdots \supset G_r=\{e\}$, 则称之为幂零群. 换句话说, 对于有限次操作, $$[\dots [[G,G],G]\dots ,G]=\{e\}$$其中, $[H,K]$ 定义为 $\left\{hk{h}^{-1}{k}^{-1}:h\in H,k\in K\right\}$.

所有幂零群都具有类似于示例 10.1 的多项式倍增常数, 一般定义如下.

定义 10.3. 令 $G$ 是由集合 $S$ 生成的有限生成群. 如果存在常数 $C,d>0$ , 对于所有 $r$ 都有 $\left|S^r\right|\le C{r}^d$, 则称群 $G$ 是多项式倍增的.

Gromov 定理是几何群论的一个深刻结果, 它给出了多项式倍增群的完整表征.

定理 10.4 (Gromov 定理, 1981). 一个有限生成群具有多项式倍增当且仅当它是几乎幂零的. 其中, 几乎幂零 (virtually nilpotent) 的意思是其有一个有限指数的幂零子群.

Gromov 使用的技术与希尔伯特的第五个问题有关, 该问题涉及李群表示论. 后来, Kleiner 在 2010 给出了 Gromov 定理的更简单的证明.

现在, 我们在任意的几乎幂零群 $G$ 中构造了一个小倍增集合: “幂零球”$S^r$, 其中 $S$ 生成 $G$. 我们很自然地提出以下问题.

问题 10.5. 所有小倍增集合 (称为近似群的集合) 一定表现得像子群和幂零球的某种组合吗?

在这个问题上已经做了很多工作. 2012 年, Hrushovski 使用模理论技术展示了非 Abel 群的 Freiman 定理的弱版本. 后来, Breuillard、Green 和 Tao 在 Hrushovski 的方法的基础上, 证明了近似群的结构定理, 将 Freiman 的定理推广到了非 Abel 群. 然而, 由于使用了超滤子, 这些方法没有提供明确的界限.