9. 一般 Abel 群的 Freiman 定理

我们已经证明了有限域和整数上的 Freiman 定理, 所以我们想知道 Freiman 定理是否适用于一般的 Abel 群. 事实上这也是成立的, 但首先我们必须了解这样的 Freiman 定理有什么含义.

对于固定素数 $p$ 的 ${\mathbb{F}}_p^n$, Freiman 定理告诉我们任何具有小倍增集合都存在于一个不太大的子群中, 而对于整数, Freiman 定理给出相同的结论, 但 GAP 不会太大. 因为有限生成 Abel 群总是可以表示为素数次幂的循环群和多个 $\mathbb{Z}$ 的直和, 为了找到 GAP 和子群的推广, 我们可以尝试这两者的直和.

定义 9.1. 定义陪集级数为直和 $P+H$, 其中 $P$ 是适当 GAP, $H$ 是子群. 陪集级数的维度定义为 $P$ 的维度, 陪集级数的大小定义为整个集合的基数.

定理 9.2 (一般 Abel 群的 Freiman 定理, Green Ruzsa 2007). 如果 $A$ 是任意 Abel 群的子集且 $|A+A|\le K|A|$, 则 $A$ 包含在维度至多 $d(K)$ 、大小至多 $f(k)|A|$ 的陪集级数中, 其中 $d(K)$ 和 $f(K)$ 是仅取决于 $K$ 的常数.

该定理的证明遵与 Freiman 定理证明方法类似, 但对 Ruzsa 建模引理进行了一些修改. Sanders 再次给出了著名的上界, $d(K)=K(\log K{)}^{O(1)}$ 和 $f(K)=e^{K(\log K{)}^{O(1)}}$ (2013) . 应该注意的是, 这些函数仅依赖于 $K$, 因此无论 $A$ 是哪个 Abel 群的子集, 它们都保持不变.