用户: Tangss/ Lefschetz 束

几乎处处翻译自 SGA 7 II: Groupes de Monodromie en Géométrie Algébrique.

1基本结果

假设 $k$ 是代数闭域, ${\mathbb{P}}^r$ 是 $k$ 上 $r$ 维射影空间, ${\check{\mathbb{P}}}^r$ 是对偶射影空间, 即 ${\mathbb{P}}^r$ 中所有超平面. $\mathrm{Gr}(1,{\check{\mathbb{P}}}^r)$ 表示 ${\mathbb{P}}^r$ 中的所有直线构成的簇. $\mathrm{Gr}(1,{\check{\mathbb{P}}}^r)$ 中的点 $D$ 叫做 ${\mathbb{P}}^r$ 中的超平面束. 把 $D$ 视为 ${\check{\mathbb{P}}}^r$ 中的直线, 可记作 $D=\{H_t{\}}_{t\in D}$, $H_t$ 是 ${\mathbb{P}}^r$ 中的超平面也看作直线 $D$ 上的点. $D$ 的轴是余 2 维线性子簇, 满足对任意两个不同的 $H_0,H_{\infty }\in D$, 其均是 $H_0\cap H_{\infty }$. $D$ 的轴可视为 $\mathrm{Gr}(r-2,{\mathbb{P}}^r)$ 中的点, 即 ${\mathbb{P}}^r$ 中 $r-2$ 维子簇, 映射 $D\to D\text{的轴}$ 只不过是正交性给出的同构$$\mathrm{Gr}(1,\check{{\mathbb{P}}^r})\stackrel{\simeq }{⟶}\mathrm{Gr}(r-2,{\mathbb{P}}^r).$$假设 $X$ 是 $k$ 上的紧合光滑不可约概形, 维数 $n\ge 1$, 以及嵌入 $X\hookrightarrow {\mathbb{P}}^r$. 束 $D=\{H_t{\}}_{t\in \mathbb{P}}$ 叫做 Lefschetz 束 (关于嵌入 $X\hookrightarrow {\mathbb{P}}^r$) 若:

$\diamond$	$D$ 的轴与 $X$ 横截相交;
$\diamond$	存在 $D$ 的稠密开子集 $U$, 使得对任意 $t\in U$ 有 $H_t$ 与 $X$ 横截相交;
$\diamond$	对于 $t_0\in D-U$, $H_{t_0}$ 与 $X$ 在除一点外横截相交, 且该点本原二次奇点.

注 1.1. 第二三条在 J.Milnes 的 LEC 中用等价的 $X_t\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}X\cap H_t$ 光滑; $X_t$ 除去唯一的本原二次奇点之外光滑. 本原二次奇点译自 singulier quadratique ordinaire. 从 GTM 52 发现它的别名叫 node.

我们下面将会看到 $\mathrm{Gr}(1,{\mathbb{P}}^r)$ 中的 Lefschetz 束构成了一个开集.

定义 1.2. 嵌入 $X\hookrightarrow {\mathbb{P}}^r$ 叫做 Lefschetz 嵌入, 若关于该嵌入的 Lefschetz 束构成 $\mathrm{Gr}(1,{\check{\mathbb{P}}}^r)$ 的稠密开子集.

注 1.3. 嵌入 $X\hookrightarrow {\mathbb{P}}^r$ 的幂次是指, 将嵌入 $X\to {\mathbb{P}}^r$ 和第 $d$ 个 Segre 嵌入复合, $S_d:{\mathbb{P}}^r\hookrightarrow {\mathbb{P}}^{N-1}$ ($N=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+d}{d}\right)$) 在齐次坐标 $(X_0,\cdots ,X_r)$ 下可写为$$(X_0,\cdots ,X_r)\stackrel{S_d}{⟶}(\cdots ,X^W,\cdots ),$$其中 $X^W=X_0^{W_0}\cdots X_r^{W_r}$ 取遍 $X_0,\cdots ,X_r$ 构成的 $d$ 次单项式. 一个对于给定嵌入的 “$d$ 次超平面截面” 只不过是关于某个嵌入 $d$ 次幂的 “超平面截面”.

定理 1.4. 假设 $X$ 是 1 维紧合光滑不可约 $k$ 上概形, 配备嵌入 $i:X\hookrightarrow {\mathbb{P}}^r$. 则有

$\diamond$	对 $d\ge 2$, 有 $i$ 的 $d$ 次幂是 Lefschetz 嵌入;
$\diamond$	若 $\mathrm{char}(k)=0$, 嵌入 $i$ 是 Lefschetz 嵌入.

证明分划为几个部分.