用户: Jin1/射流

定义

设 $\pi :Y\to X$ 是纤维化流形 (如纤维丛, 向量丛), 取 $Y$ 上的局部坐标 $(x^{\mu },y^a)$, 使得 $\pi$ 的局部表达式为 $\pi :(x^{\mu },y^a)\to x^{\mu }$. 那么 $\pi$ 的一个局部截面可写为 $\alpha :x^{\mu }\mapsto y^a(x^{\mu })$.

定义局部截面的等价类 $j_x^r\alpha (r\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0},x\in X)$, 满足 $j_x^r\alpha =j_x^r\beta$ 当且仅当 $\alpha ,\beta$ 在 $x$ 处直到第 $r$ 阶导数相等.

第 $r$ 射流形 $J^r(Y)$ 作为集合由上述局部截面的等价类构成. $J^r(Y)$ 可赋予流形结构, 其局部坐标由直到第 $r$ 阶导数的信息给出, 即$$j_x^r\alpha \mapsto (x^{\mu },y^a(x^{\mu }),{\partial }^{\nu }{y}^a(x^{\mu }){)}_{|\nu |\le r}.$$

由定义, 自然地有投影 ${\pi }_r:J^r(Y)\to X$ 与 ${\pi }_{r,s}:J^r(Y)\to J^s(Y),$ $j_x^r\alpha \mapsto j_x^s\alpha$, 满足交换图

投影 ${\pi }_r:J^r(Y)\to X$ 也是 $X$ 上的纤维化流形结构, 即 $J^r$ 是 $X$ 上纤维化流形范畴中的一个函子.

术语翻译

射流 • 英文 jet

射流形 • 英文 jet manifold

射流丛 • 英文 jet bundle