用户: Eli/拓扑/同调操作

设 $R$ 是含幺交换环, $X$ 是拓扑空间. 奇异链复形 $C(X;R)$ 中蕴含了关于 $X$ 的丰富的拓扑信息. 除了直接考察同调的群结构之外, 同调群中还蕴含了更多的代数结构. 它们与所考察空间的拓扑息息相关.

这些结构通常以同调函子间自然变换的形式出现, 也称为同调操作.

1重心重分算子

在用户:Eli/拓扑/零调模型中, 我们证明了如下的重心重分算子

$$\begin{array}{rlrl}{D}_n:C_n& (X)& ⟶& C_n(X)\\ & \sigma & ⟼& \sum _{\tau }\mathrm{sgn}\tau \sigma {|}_{v_{{\tau }^0}\cdots v_{{\tau }^n}}\end{array}$$

与恒等映射是链同伦的, 因此诱导映射 $D_{\ast }=1$. $D$ 是函子 $C(-;R)$ 到自身的自然变换, 严格说来它并不是一个同调操作.

$D$ 的作用是在同调类中找到 “更小” 的代表元, 给出了同调的 “切除性质”:

定理 1.1. 设 $A,B$ 是 $A\cup B$ 中的相对开集, 则含入映射 $C(A+B;R)\stackrel{\iota }{\hookrightarrow }C(A\cup B;R)$ 诱导同调群的等价.

由用户:Eli/拓扑/链映射与同调定理 1.5, 含入映射 $C(A+B;R)\hookrightarrow C(A\cup B;R)$ 是链等价.

定义 1.2. 设 $X$ 是拓扑空间, $(X_1,A_1),(X_2,A_2)$ 称为切除对, 若对于 $X_1,X_2$ 及 $A_1,A_2$, 相应的含入映射 $\iota$ 均为链等价.

当 $A,B$ 是 $A\cup B$ 中的相对开集时, 定理 1.1 告诉我们 $A,B$ 是切除对.

我们经常容易代数地导出涉及 $C(A+B;R)$ 的正合列. 而只有当 $\iota$ 是链等价时, 我们才能得到 $C(A\cup B;R)$ 的信息. 这就是为什么我们引入定义 1.2.

定理 1.3 (Mayer-Vietoris). 设 $(X_1,A_1),(X_2,A_2)$ 是切除对, $M$ 为 $R$ 模, 我们有正合列$$\cdots \to H_q(X_1\cap X_2,A_1\cap A_2)\to H_q(X_1,A_1)\oplus H_q(X_2,A_2)\to H_q(X_1\cup X_2,A_1\cup A_2)\to \cdots$$

$$\cdots \to H^q(X_1\cup X_2,A_1\cup A_2)\to H^q(X_1,A_1)\oplus H^q(X_2,A_2)\to H^q(X_1\cap X_2,A_1\cap A_2)\to \cdots$$这里 $H(-)=H(-;M),H^{\ast }(-)=H^{\ast }(-;M)$.

2叉积与空间的乘积

术语翻译

切除对 • 英文 excisive couple

叉积 • 英文 cross product