用户: Eli/拓扑/链映射与同调

Whitehead 定理告诉我们, 在特定情况下 (连通 CW 复形) , 诱导同伦群同构的映射是同伦等价. 对于链复形, 也可以问出类似的问题, 它们在同调代数中或有较为系统的阐释. 出于代拓学习的需要, 这里只收集一些常用的关系.

固定 $R$ 为主理想整环, 下面均考虑 $R$ 上的链复形.

1初等构造

引理 1.1. 设 $C$ 是自由链复形, 则 $C$ 在 $M o d$ 中同构于 $B ↪ Z$ 的映射锥.

证明. 由于

B_{n - 1}

自由, 我们有分裂的正合列:

0 \to Z_{n} \to C_{n} \to B_{n - 1} \to 0 .

故

C_{n} = B_{n - 1} \oplus Z_{n}

, 边界映射

\partial (b, c) = (0, b)

. 因此链复形

C

在

M o d

中同构于

B ↪ Z

的映射锥.

$□$

定理 1.2. 设 $C, C^{'}$ 为两个链复形, 其中 $C$ 自由. $\tilde{f} : H (C) \to H (C^{'})$ 是一组同调群的同态, 则存在链映射 $f : C \to C^{'}$ 诱导 $\tilde{f}$ .

证明. 构造

φ_{n} : Z_{n} \to Z_{n}^{'}

, 使得

φ_{n} (B_{n}) \subset B_{n}^{'}

, 且商映射

\overset{φ}{ˉ}_{n} : H_{n} (C) \to H_{n} (C^{'})

即是

\tilde{f}_{n}

. 这实际上是自由消解的性质: 其中第一行自由, 第二行零调, 所以链映射存在. 取定

{b_{α}} \subset B_{n - 1}

为一组基. 由于

φ (b_{α}) \in B_{n - 1}^{'}

, 有

c_{α} \in C_{n}^{'}

, 使得

\partial c_{α} = b_{α}

. 定义

ψ_{n} : B_{n - 1} \to C_{n}^{'}

,

ψ (b_{α}) = c_{α}

. 最后令

f = φ \oplus ψ

即可.

$□$

这蕴含了用户: Eli/拓扑/零调模型引理 1.1 的第一部分. 然而, 上述链映射在链等价下不一定不唯一, 比如 qh 给出的例子 (考虑阿贝尔群) :

定理 1.3. 设 $C$ 是自由链复形, 则 $C$ 零调当且仅当 $C$ 链可缩.

证明. 假设

C

零调, 则

C_{n} = B_{n - 1} \oplus B_{n}

. 考虑最典范的链同伦, 即

s_{n} (a, b) = (b, 0)

即可.

$□$

定理 1.4. 设 $C, D$ 是自由链复形. 则链映射 $f : C \to D$ 是链等价当且仅当映射锥 $C_{f}$ 链可缩.

定理 1.5. 设 $C, D$ 是自由链复形, 则 $f : C \to D$ 是链等价当且仅当 $f_{*} : H (C) \to H (D)$ 是同构.

证明. 我们有正合列:

0 \to D_{n} \to (C_{f})_{n} \to C_{n - 1} \to 0

再由上两个定理即可.

$□$