用户: Eli/拓扑/零调模型

零调模型是代数拓扑中的一种技巧, 最早见于单纯复形重心重分的计算中. 其核心思想在于把同调代数中的构造归结到最简单的几何对象, 即 “零调” 的单形上. 而其中化归的关键在于构造的 “自然性”.

固定 $R$ 为一个主理想整环. 记 $\mathcal{M}od$ 为全体 $R$-模的范畴, $\mathcal{C}h$ 为全体 $R$-模链复形的范畴, $\mathcal{T}$ 为全体拓扑空间的范畴.

1零调模型主定理

下面的命题见于万有系数定理中.

引理 1.1. 设 $C$, $C^{\prime }$ 为两个 $R$-链复形, 其中 $C$ 非负且自由, $C^{\prime }$ 在 $>0$ 的维数上零调. 则任何同态 $H_0(C)\to H_0(C^{\prime })$ 由链映射 $C\to C^{\prime }$ 诱导, 且任何两个这样的链映射之间链同伦.

将该命题范畴化就得到零调模型的主定理. 为此先引入一些话术. 对于范畴 $\mathcal{C}$, 称其对象的子集 $\mathcal{M}\subset \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$ 为一个模型.

定义 1.2. 称协变函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{M}od$ 是自由的, 若存在指标集 $J$, 模型 $\mathcal{M}$ 中的元素 $M_j$ 以及 $g_j\in F(M_j)(j\in J)$, 使得对任意 $\mathcal{C}$ 中的对象 $X$, $$\{Ff(g_j):j\in J,f\in \mathrm{hom}(M_j,X)\}$$构成 $F(X)$ 的一组基. 称 $(g_j{)}_{j\in J}$ 为函子 $F$ 的一组基. 称函子 $G:\mathcal{C}\to \mathcal{C}h$ 为自由的, 若对任意维数 $p$, $G_p$ 是自由的.

我们取 $\mathcal{M}:=\{{\Delta }^n:n\in \mathbb{N}\}$ 为 $\mathcal{T}$ 的模型, 则取奇异链复形 $C:\mathcal{T}\to \mathcal{C}h$ 是一个自由函子, 其中 $C_p$ 的基是 ${\mathrm{id}}_{{\Delta }^p}\in C_p({\Delta }^p)$.

定义 1.3. 称函子 $G:\mathcal{C}\to \mathcal{C}h$ 在 $>0$ 的维数上零调, 若 $H_p(G(M))=0$ 对任意 $p>0,M\in \mathcal{M}$ 成立.

定义 1.4. 称函子 $G:\mathcal{C}\to \mathcal{C}h$ 非负, 若 $H_p(G(X))=0$ 对任意 $p<0,X\in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$ 成立.

奇异链复形 $C:\mathcal{T}\to \mathcal{C}h$ 是非负函子, 且在 $>0$ 的维数上零调.

下面就是零调模型方法的主定理, 其证明的思想是向足够简单的模型对象化归:

定理 1.5. 设 $\mathcal{C}$ 为带模型 $\mathcal{M}$ 的范畴. $G,G^{\prime }$ 为从 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{C}h$ 的协变函子, 其中 $G$ 非负且自由, $G^{\prime }$ 在 $>0$ 的维数上零调.
(1) 任何自然变换 $\tilde{\tau }:H_0(G)\to H_0(G^{\prime })$ 由自然的链映射 $\tau :G\to G^{\prime }$ 诱导.
(2) 任何两个这样的自然链映射 $\tau ,{\tau }^{\prime }$ 之间有自然的链同伦.

证明. 固定 $p\in \mathbb{N}$, 设 $(g_j\in G_p(M_j){)}_{j\in J}$ 为 $G_p$ 的一组基. 对于 $\mathcal{C}$ 中对象 $X$, $f\in \mathrm{hom}(M_j,X)$, 考虑自然变换 ${\tau }_X:G_p(X)\to G_p^{\prime }(X)$ 在 $Gf(g_j)$ 上的作用.

${\tau }_X$ 是链映射意味着$${\tau }_X\circ \partial \circ Gf(g_j)=\partial \circ {\tau }_X\circ Gf(g_j).$$利用 $\tau$ 的自然性及 $Gf$ 是链映射, 上式等价于$$Gf\circ {\tau }_{M_j}\circ \partial (g_j)=Gf\circ \partial \circ {\tau }_{M_j}(g_j).$$因此只用在模型对象 $M_j$ 上定义链映射 ${\tau }_{M_j}$, 再用自然性将 $\tau$ 延拓到一般对象. 由于 $G(M_j)$ 非负且自由, $G^{\prime }(M_j)$ 在 $>0$ 的维数上零调, 由引理 1.1 这是可以做到的. 自然链同伦同理可以构造.

$\square$

2同伦不变性

设 $X$ 为拓扑空间. $i_0,i_1:X\to X\times I$ 是两个嵌入映射.

$C(X),C(X\times I)$ 定义了两个函子 $\mathcal{T}\to \mathcal{C}h$, 其中 $C(X)$ 非负且自由, $C(X\times I)$ 在 $>0$ 的维数上零调. 而 $(i_0{)}_{\ast },(i_1{)}_{\ast }$ 在 $H_0$ 上相同, 由零调模型定理 $i_0,i_1$ 诱导的链映射是链同伦的.

需要注意上面的论证预设了单形同调群的计算, 所以实际上是循环论证.

3重心重分

考虑拓扑空间 $X$ 及上面的 $n$ 单形 $\sigma :{\Delta }^n\to X$. 设 $\tau$ 是集合 $\{0,\cdots ,n\}$ 上的置换, 记 $v_{{\tau }^k}$ 为 ${\Delta }^n$ 的面 $[v_{{\tau }_0},\cdots ,v_{{\tau }_k}]$ 的重心.

考虑重心重分算子 $D_n:C_n(X)\to C_n(X)$, $$D_n(\sigma )=\sum _{\tau }\mathrm{sgn}\tau \sigma {|}_{v_{{\tau }^0}\cdots v_{{\tau }^n}}.$$经过计算知 $D$ 定义了 $C(X)$ 到自身的链映射 (! ) , 且 $D_0=\mathrm{id}$. 容易看到 $D$ 具有自然性, 因此由零调模型方法, $D$ 与 $\mathrm{id}$ 间存在自然的链同伦.

4Eilenberg-Zilber 定理

设 $X,Y$ 为拓扑空间. $C(X\times Y),C(X)\otimes C(Y)$ 定义了两个函子 $\mathcal{T}\times \mathcal{T}\to \mathcal{C}h$. 我们希望它们之间存在自然的链等价, 从而用同调代数中的 Künneth 公式就可以计算乘积空间的同调群.

取 $\{({\Delta }^p,{\Delta }^q):p,q\in \mathbb{N}\}$ 作为 $\mathcal{T}\times \mathcal{T}$ 的模型. 则上面两个函子关于该模型是自由、非负的, 且在 $>0$ 的维数上零调.

自由 对角映射 $\sigma :{\Delta }^n\to {\Delta }^n\times {\Delta }^n$ 给出 $C_n({\Delta }^n\times {\Delta }^n)$ 中的一个元素, 它是 $C_n(X\times Y)$ 的基. 而 ${\mathrm{id}}_{{\Delta }^p}\otimes {\mathrm{id}}_{{\Delta }^{n-p}}\in (C({\Delta }^p)\otimes C({\Delta }^{n-p}){)}_n$ 当 $p$ 取 $0,\cdots n$ 时给出 $(C(X)\otimes C(Y){)}_n$ 的基.

零调 当 $n>0$ 时, $H_n(C({\Delta }^p\times {\Delta }^q))=0$. 而由 Künneth 公式, 我们有分裂的正合列$$0\to (H({\Delta }^p)\otimes H({\Delta }^q){)}_n\to H_n(C({\Delta }^p)\otimes C({\Delta }^q))\to (H({\Delta }^p)\ast H({\Delta }^q){)}_{n-1}\to 0.$$因此 $n>0$ 时 $H_n(C({\Delta }^p)\otimes C({\Delta }^q))=0$.

最后, 我们有自然的同构 $H_0(X\times Y)\approx H_0(X)\otimes H_0(Y)$. 由零调模型方法, 两个函子间存在自然的链等价.

实际上我们可以把链等价直接写出来: 考虑奇异 $n$ 单形 $(\sigma ,\tau ):{\Delta }^n\to X\times Y$, 定义$$f(\sigma ,\tau ):=\sum _1^n\sigma {|}_{v_0\cdots v_i}\otimes \tau {|}_{v_i\cdots v_n}.$$直接计算知 $f:C(X\times Y)\to C(X)\otimes C(Y)$ 是自然的链映射, 且在 $H_0$ 上给出同构, 因此是链等价 (零调模型) . 事实上 $f$ 的选取并不是唯一的, 这里的选取形式上和 Alexander-Whitney 对角逼近相同. 反方向的链等价需要把 ${\Delta }^p\times {\Delta }^q$ 剖分成单形, 因此会更加复杂一些.