用户: Dforsign/简单分析

命题 0.1. 对范畴 $\mathcal{C}$, ${\mathcal{C}}^{\prime }$ 定义其并 $\mathcal{C}\star {\mathcal{C}}^{\prime }$ 如下: $$\begin{array}{rl}\mathrm{Ob}(\mathcal{C}\star {\mathcal{C}}^{\prime })& :=\mathrm{Ob}(\mathcal{C})\bigsqcup \mathrm{Ob}({\mathcal{C}}^{\prime }),\\ {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}\star {\mathcal{C}}^{\prime }}(X,Y)& :=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y),& X,Y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})\\ {\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\prime }}(X,Y),& X,Y\in \mathrm{Ob}({\mathcal{C}}^{\prime }),\\ \text{独点集}\{\ast \},& X\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}),Y\in \mathrm{Ob}({\mathcal{C}}^{\prime }),\\ \varnothing ,& X\in \mathrm{Ob}({\mathcal{C}}^{\prime }),Y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C}).\end{array}\end{array}$$为 $\mathcal{C}\star {\mathcal{C}}^{\prime }$ 中的态射合理地定义合成和单位元, 并验证 $\mathcal{C}\star {\mathcal{C}}^{\prime }$ 确实构成范畴; 它包含 $\mathcal{C}$ 和 ${\mathcal{C}}^{\prime }$ 作为全子范畴. 对于有限序数范畴, 证明 $\mathbf{n}\star \mathbf{m}$ 同构于 $\mathbf{n}+\mathbf{m}$.

证明. 令 $X:=\{x\}$ 以及 $Z:=\{z\},W:=\{w_1,w_2\}$. 定义$$\mathcal{C}:=X(略去恒等态射).$$定义$${\mathcal{C}}^{\prime }:=Z\stackrel{h}{\underset{h^{\prime }}{\rightrightarrows }}W(略去恒等态射),$$其中 $h:z\mapsto w_1,h^{\prime }:z\mapsto w_2$ 是集合映射.

若 $\mathcal{C}\star {\mathcal{C}}^{\prime }$ 确为范畴, 则态射均可复合, 又由于 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}\star {\mathcal{C}}^{\prime }}(X,Z)$ 与 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}\star {\mathcal{C}}^{\prime }}(X,W)$ 均为单点集, 于是复合没有其他选择, 必须使得下述图表交换: $$XWZ{\ast }^{\prime }\ast h{h}^{\prime }$$这也就是说 ${\ast }^{\prime }=h\circ \ast =h^{\prime }\circ \ast \iff {\ast }^{\prime }(x)=h(z)=h^{\prime }(z)\iff {\ast }^{\prime }(x)=w_1=w_2$, 矛盾?!

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Cantor–Schröder–Bernstein 定理是集合论中的基本结论, 指的是若两个集合间相互有单射, 则有双射.

以集合的势的语言来说, 该定理意指若 $|X|\le |Y|$ 且 $|Y|\le |X|$ 则 $|X|=|Y|$.

1陈述与证明

定理 1.1. 若集合 $X$,$Y$ 间的映射 $f:X\to Y$ 与 $g:Y\to X$ 均为单射, 则存在双射 $\phi :X\to Y$.

证明. 不难看出,$g(f(g(Y)))\subset g(f(X))\subset g(Y)\subset X$.

置 $X_0:=X$, $Y_0:=g(Y)$, 我们递归地对所有 $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 定义$$\begin{array}{rl}{X}_{n+1}& :=g\circ f(X_n),\\ Y_{n+1}& :=g\circ f(Y_n),\\ Z_n& :=X_n-Y_n.\end{array}$$从而得到一列嵌套的子集$$X_0\supset Y_0\supset \cdots \supset X_n\supset Y_n\supset X_{n+1}\supset \cdots .$$并记$$Z=\bigcup _{n=0}^{+\infty }{Z}_n.$$定义映射 $\phi :X\to Y$ 如下$$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& 如果x\in Z,\\ g^{-1}(x),& 如果x\in X-Z.\end{array}$$下证 $\phi$ 是良定的双射.

1.	$\phi$ 确实是函数. 也即验证 $x\in X-Z\subset X-Z_0=g(Y)$ 时 $g^{-1}(x)$ 为单点集. 这由 $g$ 是单射保证.
2.	$\phi$ 是单射.

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