可均群

可均群是一类特殊的局部紧群, 大体指的是可对其上函数作平均运算者 (定理 1.1 的 3).

1定义

定理 1.1. 对局部紧拓扑群 $G$, 以下各条等价:

1.	对任一带 $G$-作用的局部凸拓扑向量空间 $V$ 及其 $G$-不变非空紧凸子集 $C$, $C$ 中有 $G$-不动点.
2.	任一带 $G$-作用的紧 Hausdorff 空间 $X$ 都有 $G$-不变的概率测度.
3.	存在 $G$ 上有界连续函数空间 $B(G)$ 上的左不变正泛函 $\lambda$, 满足 $\lambda (1)=1$.
4.	存在定义在 $G$ 的 Borel $\sigma$-代数上的左不变有限可加概率测度, 满足 Haar 零测集零测.
5.	对任一紧集 $K\subseteq G$ 和正实数 $\epsilon$, 存在单位向量 $v\in L^2(G)$, 满足$$\Vert kv-v\Vert <\epsilon ,\forall k\in K.$$
6.	(Følner 条件) 对任一紧集 $K\subseteq G$ 和正实数 $\epsilon$, 存在有限测度 Borel 集 $F\subseteq G$, 满足$$\frac{\mu (F△kF)}{\mu (F)}<\epsilon ,\forall k\in K,$$其中 $\mu$ 指 Haar 测度.

定义 1.2. 称满足定理 1.1 中等价条件的局部紧群为可均群.

2性质

命题 2.1. 紧群都可均.

命题 2.2. 可均群的闭子群、商群仍可均.

命题 2.3. 如 $G$ 是局部紧群, $N$ 是其正规闭子群, $N$ 和 $G/N$ 都可均, 则 $G$ 也可均.

命题 2.4. 可解群都可均.

命题 2.5. 二元生成的自由群不可均.

3相关概念

•	可均 Banach 代数
•	性质 (T)
•	Furstenberg 引理
•	分球佯谬

术语翻译

可均群 • 英文 amenable group • 德文 mittelbare Gruppe • 法文 groupe moyennable