勾股定理

勾股定理, 西称 Pythagoras 定理, 是 Euclid 几何中的定理, 它是说直角三角形斜边长度的平方等于两条直角边长度的平方和.

1陈述

定理 1.1 (勾股定理). 对 ${\mathbb{R}}^n$ 中的三角形 $ABC$, 如果 $\angle BAC$ 是直角, 则$$|AB{|}^2+|AC{|}^2=|BC{|}^2.$$其中 $|\cdot |$ 表示线段的长度.

2证明

通过坐标几何

通过把 ${\mathbb{R}}^n$ 视为内积空间, 定理由内积是二次型立得.

证明. 对向量 $u,v\in {\mathbb{R}}^n$, 如内积 $⟨u,v⟩=0$, 则$$|u+v{|}^2=|u{|}^2+|v{|}^2+2⟨u,v⟩=|u{|}^2+|v{|}^2.$$把三角形的顶点用坐标表示, 定理即证.

$\square$

通过纯几何

(...)

3推广

勾股定理可以推广至高维情形 (即谈论高维测度), 例如

命题 3.1. 对 ${\mathbb{R}}^n$ 中超平面 $H$ 的开区域 $\Omega$, 它的测度的平方是它沿每一条坐标轴的投影的测度的平方和.

4相关概念

•	余弦定理
•	内积空间
•	勾股数

术语翻译

勾股定理 • 英文 Pythagorean theorem • 德文 Satz des Pythagoras (m) • 法文 théorème de Pythagore (m) • 拉丁文 theorema Pythagorae (n) • 古希腊文 θεώρημα τοῦ Πυθαγόρου (n)