Noether 定理

Noether 定理是说对称性蕴含守恒律. 精确地说, 如果作用量具有连续的对称性 (例如平移不变, 旋转不变等), 则存在某个不随质点的运动或场的演化而变化的量, 即守恒量. 例如, 在质点力学中, 如果作用量不随空间平移而变, 则质点的动量守恒; 如果作用量不随时间平移而变, 则质点的能量守恒.

1陈述与证明

我们在下面的操作中会预设函数或映射的光滑性或衰减性, 在定义中则只会模糊地使用 “函数” 这一概念.

质点力学版本

(...)

场论版本

给定时空 ${\mathbb{R}}^n$, 第零个分量代表时间, 后面的分量代表空间. 时空上的一个函数 $\varphi$ 的固定时间的截面描述了一个场, 它本身表明了场的演化过程. 由于在 Lagrange 力学中作用量是基本概念, 对称性即是说作用量的对称性. 首先回顾作用量的定义.

定义 1.1. 给定基域 $K$, 记 $C({\mathbb{R}}^n,K)$ 表示全体 $K$ 值函数, 对函数 $\mathcal{L}:K^{n+1}\to K$, 定义$$\Phi (x):=\mathcal{L}(\varphi (x),{\partial }_0\varphi (x),\dots ,{\partial }_{n-1}\varphi (x)).$$为 $\varphi$ 相应的作用量密度函数, 通常记作 $\mathcal{L}=\mathcal{L}(\varphi )=\mathcal{L}(\varphi ,{\partial }_{\mu }\varphi )$.

作用量定义为作用量密度函数在全空间的积分, 记作 $S$ 在不引起混淆时也会将作用量密度函数简称为作用量.

定义 1.2. 作用量 $\mathcal{L}=\mathcal{L}(\varphi ,{\partial }_{\mu }\varphi )$ 的一族连续对称性为如下数据:

•	群同态 $f:\mathbb{R}\to \mathrm{Aut}({\mathbb{R}}^n)$,
•	群同态 $\mathcal{G}:\mathbb{R}\to \mathrm{Aut}(C({\mathbb{R}}^n,K))$

(注: 这里 $\mathrm{Aut}$ 表示它是线性且保持一切需要的微分结构, 记 $f(t)=f_t$, $\mathcal{G}(t)={\mathcal{G}}_t$)

满足此变换逐点保持作用量密度: 对任意点 $x\in {\mathbb{R}}^n$, 等式$$\mathcal{L}(\varphi )(x)d^{n}x=\mathcal{L}({\mathcal{G}}_t(\varphi ))(f_t(x))d^{n}f(x)$$即$$\mathcal{L}(\varphi )(x)=\mathcal{L}({\mathcal{G}}_t(\varphi ))(f_t(x))|\mathrm{Jac}(f_t)|,$$成立.

从一族连续对称性可以定义它的切映射, 即无穷小对称性.

定义 1.3. 在上述记号下, 记$${\mathcal{F}}_t(\varphi )={\mathcal{G}}_t(\varphi )\circ f_t,$$$f_t$, ${\mathcal{F}}_t$ 相应的微分为$$f=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}(f_t-\mathrm{id})\in \mathrm{End}({\mathbb{R}}^n),$$$$\mathcal{F}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}({\mathcal{F}}_t-\mathrm{id})\in \mathrm{End}(C({\mathbb{R}}^n,K)).$$

定理 1.4. 对给定的函数 $\varphi$, 存在 ${\mathbb{R}}^n$ 上的向量场 $j^{\mu }=j^{\mu }(\varphi )(x)$, 称为守恒流, 满足对任意函数 $\omega$ $$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}(S({\varphi }_t^{\prime })-S(\varphi ))=-\int j^{\mu }(x){\partial }_{\mu }\omega d^{n}x$$其中 $L$ 表示作用量 (定义 1.1), 而 ${\varphi }_t^{\prime }$ 满足 (它是偏离此对称性的一个小扰动) $${\varphi }_t^{\prime }(x+t\omega (x)f(x))=\varphi (x)+t\omega (x)\mathcal{F}(\varphi ).$$$j^{\mu }$ 的具体形式可以求出: (注意 $j^{\mu }$ 是 $\varphi$ 的函数) $$j^{\mu }=\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\varphi )}{\partial }_{\nu }\varphi -{\delta }_{\nu }^{\mu }\mathcal{L}\right)f^{\nu }-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\varphi )}\mathcal{F}(\varphi )$$且当 $\varphi$ 满足运动方程时, ${\partial }_{\mu }{j}^{\mu }=0$.

证明. 计算可得 (记 $x^{\prime }=x+\omega (x)f(x)$, 并只取一阶近似) $$\begin{array}{rl}S({\varphi }_t^{\prime })& =\int d^{n}x\mathcal{L}({\varphi }_t^{\prime },{\partial }_{\mu }{\varphi }_t^{\prime })(x)\\ & =\int d^n{x}^{\prime }\mathcal{L}({\varphi }_t^{\prime },{\partial }_{\mu }{\varphi }_t^{\prime })(x^{\prime })\\ & =\int d^n{x}^{\prime }(\mathcal{L}(\varphi ,{\partial }_{\mu }\varphi )(x)+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi }({\varphi }_t^{\prime }(x^{\prime })-\varphi (x))\\ & +\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\varphi )}(({\partial }_{\mu }{\varphi }_t^{\prime })(x^{\prime })-{\partial }_{\mu }\varphi (x)))\end{array}$$由于$$\begin{array}{rl}{d}^n{x}^{\prime }& =d^{n}x(1+t{\partial }_{\mu }\omega f^{\mu }+t\omega {\partial }_{\mu }{f}^{\mu })\\ {\varphi }_t^{\prime }(x^{\prime })& =\varphi (x)+t\omega \mathcal{F}(\varphi )\\ ({\partial }_{\mu }{\varphi }_t^{\prime })(x^{\prime })& ={\partial }_{\mu }\varphi (x)+t({\partial }_{\mu }\omega \mathcal{F}(\varphi )+\omega {\partial }_{\mu }\mathcal{F}(\varphi )-{\partial }_{\nu }\varphi ({\partial }_{\mu }\omega f^{\nu }+\omega {\partial }_{\mu }{f}^{\nu })）\end{array}$$可得$$\begin{array}{rl}& \underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}(S({\varphi }_t^{\prime })-S(\varphi ))\\ =& \int d^{n}x\omega ({\partial }_{\mu }{f}^{\mu }+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi }\mathcal{F}(\varphi )-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\varphi )}({\partial }_{\nu }\varphi {\partial }_{\mu }{f}^{\nu }-{\partial }_{\mu }\mathcal{F}(\varphi )))\\ -& \int d^{n}x{\partial }_{\mu }\omega \left((\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\varphi )}{\partial }_{\nu }\varphi -{\delta }_{\nu }^{\mu }\mathcal{L})f^{\nu }-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\varphi )}\mathcal{F}(\varphi )\right)\end{array}$$将对称性条件 1.2 微分可得上式中第一项为 $0$, 由此定理的第一部分得证.

当 $\varphi$ 满足运动方程时, $L$ 在 $\varphi$ 处一阶变分为 $0$, 因此$$0=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}(S({\varphi }_t^{\prime })-S(\varphi ))=-\int j^{\mu }(x){\partial }_{\mu }\omega d^{n}x=\int \omega {\partial }_{\mu }{j}^{\mu }{d}^{n}x$$对任意函数 $\omega$ 成立, 因此 ${\partial }_{\mu }{j}^{\mu }=0$.

$\square$

注 1.5. 我们可以谈论许多族对称性, 或者有关很多个场的一族对称性, 这只是个平凡的推广: 相应的守恒流就是把每一族对应的流, 或者每个场对应的流加起来.

注 1.6. $j^{\mu }$ 在相差 ${\partial }_{\nu }{B}^{\mu \nu }$ 下唯一, 其中 $B$ 为 $(0,2)$ 阶反对称张量. 一般称在定理中定义的 $j^{\mu }$ 为 “典范的”.

命题 1.7. 由于对满足运动方程的 $\varphi$, 有$$Q=\int j^0(x)d^{n-1}x$$对 $0$ 对应的那个分量 (在物理上即是时间) 是常量, 即它不随场的演化而变, 称为守恒荷. 这也说明了 “守恒流” 之名是合理的.

证明. $$\frac{dQ}{d{x}^0}=\int {\partial }_0{j}^0{d}^{n-1}x=-\int {\partial }_i{j}^i{d}^{n-1}x=0,$$其中 $i$ 取遍 $0$ 之外的所有角标.

$\square$

2例子

下面是一些基本的对称性的例子:

质点力学中例子

(...)

场论中例子

例 2.1 (平移对称性). 如 $\mathcal{L}$ 满足平移对称性, 即在变换$$\begin{array}{rl}{\mathcal{G}}_t(\varphi )(x)& =\varphi (x-tv),\\ f_t(x)& =x+tv,\end{array}$$之下不变, 则微分 $f(x)=v$, $\mathcal{F}(\varphi )=0$, 由此相应的守恒流为$$j^{\mu }=\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\varphi )}{\partial }_{\nu }\varphi -{\delta }_{\nu }^{\mu }\mathcal{L}\right)v^{\nu }=:T_{\nu }^{\mu }{v}^{\nu }$$其中 $T_{\nu }^{\mu }$ 即定义为典范能动张量.

例如作用量$$\frac{1}{2}\left(-m^2{\phi }^2+({\partial }_{\mu }\phi )({\partial }^{\mu }\phi )\right)$$

($\varphi$ 为实值函数, $m$ 为常数) 即满足平移对称性, 相应的场称为 Klein–Gordon 场.

例 2.2 (Lorentz 对称性). 给定全空间的一个标准伪度量 (正、负惯性指数为 $p$, $q$) 以及 Lorentz 群 $\mathrm{O}(p,q)$ 的 Lie 代数的表示 $D:\mathfrak{o}(p,q)\to {\mathfrak{gl}}_m(K)$ 设作用量涉及到 $m$ 个场 $\varphi =({\varphi }_i)$, 且作用量有对称性 (对某个 $\Lambda \in \mathfrak{o}(p,q)$): $$\begin{array}{rl}{\mathcal{G}}_t(\varphi )(x)& =e^{tD(\Lambda )}\varphi (e^{-t\Lambda }x)\\ f_t(x)& =e^{t\Lambda }x\end{array}$$则 $f(x)=\Lambda x$, $\mathcal{F}(\varphi )=D(\Lambda )\varphi$, 即有相应的守恒流为$$j^{\mu }=T_{\nu }^{\mu }{\Lambda }_{\alpha }^{\nu }{x}^{\alpha }-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\varphi )}D(\Lambda )\varphi$$上述等式的意义为先对每个场做, 之后加起来.

例如上面给出的作用量 ?? 即满足 $D=0$ 时的 Lorentz 对称性.

注 2.3. 这里之所以说相应的 Lie 代数的表示而非群表示, 是因为 $\mathrm{O}(p,q)$ 基本群非平凡. 不过有时为了说起来简便也会说 Lorentz 群的表示, 说的实际上是它的万有覆叠的表示.

例 2.4 (伸缩对称性). 设作用量有对称性 ($\Delta$ 为常数): $$\begin{array}{rl}{\mathcal{G}}_t(\varphi )(x)& =e^{-\Delta t}\varphi (e^{-t}x)\\ f_t(x)& =e^{t}x,\end{array}$$则 $f(x)=x$, $\mathcal{F}(\varphi )=-\Delta \varphi$, 即有相应的守恒流为$$j^{\mu }=T_{\nu }^{\mu }{x}^{\nu }+\Delta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\varphi )}\varphi .$$

例如, 下面给出的作用量$$\mathcal{L}={\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi$$($\varphi$ 为实值函数) 满足 $\Delta =\frac{1}{2}n-1$ 的伸缩对称性.

3相关概念

•	作用量
•	运动方程
•	Ward 恒等式

术语翻译

Noether 定理 • 英文 Noether’s theorem • 德文 Noether-Theorem • 法文 théorème de Noether