Bochner 空间

Bochner 空间是 Hölder 空间的推广, 由取值在 Banach 空间的函数构成.

1定义

设 $(X,\mathcal{M},\mu )$ 是完备的 $\sigma$-有限测度空间, $(B,\Vert \cdot \Vert )$ 是 Banach 空间, 配备拓扑诱导的 Borel 代数. 设 $f:X\to B$ 是可测映射.

定义 1.1. 设 $1\le p\le \infty$. 向量值函数 $f:X\to B$ 称为 $L^p$ 可积的, 若 $f$ 是 Bochner 可测的, 且 $\Vert f\Vert$ 是 $L^p$ 可积的非负函数.

记 $L^p(X,B)$ 为取值在 $B$ 中的 $L^p$ 可积函数全体, 模去几乎处处相等的等价关系. 定义其上的范数如下: $$\Vert f{\Vert }_{L^p}:={\left({\int }_X\Vert f{\Vert }^{p}d\mu \right)}^{1/p}.$$

2性质

命题 2.1. $L^p(X,B)$ 是 Banach 空间. 当 $p<\infty$ 时, 简单函数在其中稠密.

稠密性的证明与 Bochner 准则并无二致.

定理 2.2 (对偶空间). 设 $(X,\mathcal{M},\sigma )$ 是有限测度空间, Banach 空间 $B$ 的对偶 $B^{\prime }$ 具有 Randon–Nikodym 性质. 则对 $p\in [1,\infty )$, $L^p(X,B)$ 的对偶空间是 $L^{p^{\prime }}(X,B^{\ast })$.

证明见 [MSE].

3参考文献

•	Mathematics Stacks Exchange. Dual space of Bochner space.