非 Euclid 几何

非 Euclid 几何在现代的观点来看, 是研究非平坦的单连通常曲率空间的几何. 常正曲率空间的几何称为球面几何, 而常负曲率空间的几何称为双曲几何.

从公理化几何或者说纯几何的角度来看, 双曲几何是 (在 Hilbert 公理中) 保持所有其它公理, 但修改平行公理的几何. 而球面几何则违反了许多公理 (比如两个点未必确定一条直线等), 不过仍然满足许多有关全等的公理, 使得全空间仍然有高度对称性.

在历史上非 Euclid 几何的产生一方面出于对平行公理的不满, 人们希望证明平行公理却徒劳无功, 后来才构造出平行公理不成立的双曲几何; 另一方面人们早已对球面几何有研究. 最后在 Riemann 几何的观点下才统一了这些几何.

1球面几何

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球面几何顾名思义就是研究 ${\mathbb{R}}^n$ 中 (一般要求 $n\ge 3$), 带有标准度量的球面 ${\mathbb{S}}^{n-1}$ 中图形的位置关系. 它具有如下特征:

•	点就是球面里的元素; 直线是球面上的测地线, 即大圆. 如果两个点是对径点, 有无穷条直线同时经过它们; 否则恰有一条直线经过它们.
•	由于球面里的直线实际上是圆, 谈论点的序关系, 即 “在…… 之间” 的概念会有困难.
•	过直线外一点不存在直线与原来的直线不交.
•	平移、全等图形等概念仍然可以谈论, 因为球面仍有高度对称性.
•	三角形的内角和大于 $\pi$, 并和它的面积呈正线性关系.

2双曲几何

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在历史上双曲几何是最先以 “综合”, 或者说纯几何的方式提出来的, 即替换平行公理为命题 “过直线外一点存在无穷条直线与之平行”.

在现代的观点之下, 双曲几何是双曲空间, 即单连通常负曲率空间的几何. 满足如下特征:

•	两点确定一条直线、直线的序关系、全等图形等性质仍然满足.
•	过直线外一点存在无穷条直线与原来的直线不交.
•	三角形的内角和小于 $\pi$, 并和它的面积呈负线性关系.
•	圆的面积随它的半径指数增长.

3历史注记

(...)

4相关概念

•	Euclid 几何
•	球面几何
•	双曲几何

术语翻译

非 Euclid 几何 • 英文 non-Euclidean geometry • 德文 nichteuklidische Geometrie • 法文 géométrie non euclidienne • 拉丁文 geometria non euclidea • 古希腊文 μὴ εὐκλειδεία γεωμετρία