45. Binet–Cauchy 公式

我要介绍证 Binet–Cauchy 公式的另一个方法.

在第一章, 节 30 里, 我用完全展开行列式的公式证明了它. 这个证法至少有二个好处:

(1) 记号简单;

(2) 方便您对比选学内容 “Binet–Cauchy 公式” 与必学内容 “Binet–Cauchy 公式 (青春版)”.

当然, 此证法的一个大的缺点是 “用到了完全展开 (或, 组合定义相关的公式)”. 若您真地不会 (或, 不想用) 完全展开, 且您又想了解如何证明 Binet–Cauchy 公式, 我在这儿给一个利用按多列展开行列式的公式的证明. 至少, 按多列展开行列式 (及其论证) 不涉及 “排列” “逆序数” “符号” 等概念.

这个论证是我初学 Binet–Cauchy 公式时学到的证明. 这个论证体现了重要思想 “算二次”; 聪明的数学家利用此原则, 得到了多的有名的等式.

为方便, 请允许我引用按多列展开行列式公式与 Binet–Cauchy 公式.

定理 45.1. 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ( $n ⩾ 1$ ). 设 $k$ 是不超过 $n$ 的正整数. 设 $j_{1}$ , $j_{2}$ , $\dots$ , $j_{k}$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $j_{1} < j_{2} < \dots < j_{k}$ . 则 $det (A) = 1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} ⩽ n \sum det (A (j _{1} , j _{2} , \dots , j _{k} i _{1} , i _{2} , \dots , i _{k})) \cdot (- 1)^{i_{1} + i_{2} + \dots + i_{k} + j_{1} + j_{2} + \dots + j_{k}} det (A (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k} ∣ j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k})) .$

定理 45.2 (Binet–Cauchy 公式). 设 $A$ , $B$ 分别是 $m \times n$ , $n \times m$ 阵.

(1) 若 $n > m$ , 则 $det (B A) = 0$ .

(2) 若 $n ⩽ m$ , 则 $= det (B A) 1 ⩽ j_{1} < j_{2} < \dots < j_{n} ⩽ m \sum det (B (j _{1} , j _{2} , \dots , j _{n} 1 , 2 , \dots , n)) det (A (1 , 2 , \dots , n j _{1} , j _{2} , \dots , j _{n})) .$ 特别地, 若 $n = m$ , 则因适合条件 $1 ⩽ j_{1} < j_{2} < \dots < j_{n} ⩽ m$ 的 $j_{1}$ , $j_{2}$ , $\dots$ , $j_{n}$ , 是, 且只能是, $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ , 故 $det (B A) = = det (B (1 , 2 , \dots , n 1 , 2 , \dots , n)) det (A (1 , 2 , \dots , n 1 , 2 , \dots , n)) det (B) det (A) .$

有几件事值得提.

(1) 若一个方阵有一行的元全为 $0$ , 则其行列式为 $0$ .

可以直接用定义 (按列 $1$ 展开行列式) 论证此事; 可用按一行展开行列式的公式论证此事; 当然, 也可利用 (关于行的) 多线性论证此事. 我就不在这儿证了.

(2) 若加一个阵的一列的倍于另一列, 则其行列式不变.

这就是我在前面提到的行列式的一个性质.

(3) 设 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 分别是 $m \times s$ , $n \times s$ , $m \times t$ , $n \times t$ 阵. 那么, $[A B C D]$ 表示一个 $(m + n) \times (s + t)$ -阵 $M$ , 且对任何不超过 $m + n$ 的正整数 $i$ 与不超过 $s + t$ 的正整数 $j$ , $[M]_{i, j} = ⎩ ⎨ ⎧ [A]_{i, j}, [B]_{i - m, j}, [C]_{i, j - s}, [D]_{i - m, j - s}, i ⩽ m, j ⩽ s; i > m, j ⩽ s; i ⩽ m, j > s; i > m, j > s .$

这是我们在第一章, 节 31 里见过的记号. 现在, 我要进一步地发展此记号. 具体地, 设 $A$ , $B$ 分别是 $m \times s$ , $n \times s$ 阵. 那么, $[A B]$ 表示一个 $(m + n) \times s$ -阵 $L$ , 且对任何不超过 $m + n$ 的正整数 $i$ 与不超过 $s$ 的正整数 $j$ , $[L]_{i, j} = {[A]_{i, j}, [B]_{i - m, j}, i ⩽ m; i > m .$

类似地, 设 $A$ , $C$ 分别是 $m \times s$ , $m \times t$ 阵. 那么, $[A C]$ 表示一个 $m \times (s + t)$ -阵 $H$ , 且对任何不超过 $m$ 的正整数 $i$ 与不超过 $s + t$ 的正整数 $j$ , $[H]_{i, j} = {[A]_{i, j}, [C]_{i, j - s}, j ⩽ s; j > s .$

证. 设 $A$ , $B$ 分别是 $m \times n$ , $n \times m$ 阵. 作 $m + n$ 级阵 $J = [I_{m} - B A 0],$ 其中左上角的 $I_{m}$ 是 $m$ 级单位阵, 右下角的 $0$ 是 $n \times n$ 零阵 (元全为 $0$ 的阵).

我们用二个方式计算 $J$ 的行列式.

一方面, 我们按列 $m + 1$ , $m + 2$ , $\dots$ , $m + n$ 展开, 有 $det (J) = 1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{n} ⩽ m + n \sum det (J (m + 1 , m + 2 , \dots , m + n i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n})) \cdot (- 1)^{i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n} + (m + 1) + (m + 2) + \dots + (m + n)} \cdot det (J (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ∣ m + 1, m + 2, \dots, m + n)) .$ 注意到, 若 $i_{n} > m$ , 则因 $J (m + 1 , m + 2 , \dots , m + n i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n})$ 的行 $n$ 的元全为 $0$ , 故这个子阵的行列式为 $0$ . 特别地, 若 $n > m$ , 则 $i_{n}$ 必高于 $m$ (抽屉原理). 故 $n > m$ 时, $J$ 的行列式为 $0$ .

当 $n ⩽ m$ 时, 我们去除使 $i_{n} > m$ 的 $i_{1}$ , $i_{2}$ , $\dots$ , $i_{n}$ , 有 $det (J) = 1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{n} ⩽ m \sum det (J (m + 1 , m + 2 , \dots , m + n i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n})) \cdot (- 1)^{i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n} + (m + 1) + (m + 2) + \dots + (m + n)} \cdot det (J (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ∣ m + 1, m + 2, \dots, m + n)) .$ 不难看出, 因为 $1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{n} ⩽ m$ , $J (m + 1 , m + 2 , \dots , m + n i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n}) = A (1 , 2 , \dots , n i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n}),$ 且 $J (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ∣ m + 1, m + 2, \dots, m + n) = [I_{m} (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ∣) - B],$ 其中 $I_{m} (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ∣)$ 表示去除 $I_{m}$ 的行 $i_{1}$ , $i_{2}$ , $\dots$ , $i_{n}$ 后 (不改变列) 得到的阵. 按列 $i_{1}$ , $i_{2}$ , $\dots$ , $i_{n}$ 展开 $T_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}} = J (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ∣ m + 1, m + 2, \dots, m + n)$ 的行列式, 有 $= det (T_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}}) 1 ⩽ k_{1} < k_{2} < \dots < k_{n} ⩽ m \sum det (T_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}} (i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n} k _{1} , k _{2} , \dots , k _{n})) \cdot (- 1)^{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{n} + i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n}} det (T_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}} (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n} ∣ i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n})) .$ 注意到, 若 $k_{1} ⩽ m - n$ , 则因 $T_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}} (i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n} k _{1} , k _{2} , \dots , k _{n})$ 的行 $1$ 的元全为 $0$ , 故这个子阵的行列式为 $0$ . 并且, 若 $k_{1} > m - n$ , 则 $k_{1}$ , $k_{2}$ , $\dots$ , $k_{n}$ 是, 且只能是 $m - n + 1$ , $m - n + 2$ , $\dots$ , $m$ . 故 $= = = det (T_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}}) \cdot det (T_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}} (i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n} m - n + 1 , m - n + 2 , \dots , m)) \cdot (- 1)^{(m - n + 1) + (m - n + 2) + \dots + m + i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n}} \cdot det (T_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}} (m - n + 1, m - n + 2, \dots, m ∣ i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n})) \cdot det ((- B) (i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n} 1 , 2 , \dots , n)) \cdot (- 1)^{(m - n + 1) + (m - n + 2) + \dots + (m - n + n) + i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n}} \cdot det (I_{m} (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ∣ i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n})) (- 1)^{(m - n + 1) + (m - n + 2) + \dots + (m - n + n) + i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n}} (- 1)^{n} det (B (i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n} 1 , 2 , \dots , n)) .$ 从而 $det (J) = 1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{n} ⩽ m \sum det (A (1 , 2 , \dots , n i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n})) \cdot (- 1)^{i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n} + (m + 1) + (m + 2) + \dots + (m + n)} \cdot (- 1)^{(m - n + 1) + (m - n + 2) + \dots + (m - n + n) + i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n}} (- 1)^{n} \cdot det (B (i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n} 1 , 2 , \dots , n)) .$ 注意到 $= = = \cdot (- 1)^{i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n} + (m + 1) + (m + 2) + \dots + (m + n)} \cdot (- 1)^{(m - n + 1) + (m - n + 2) + \dots + (m - n + n) + i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n}} \cdot (- 1)^{n} (- 1)^{2 (i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n})} \cdot (- 1)^{2 mn} \cdot (- 1)^{2 (1 + 2 + \dots + n)} \cdot (- 1)^{n - n^{2}} (- 1)^{- n (n - 1)} 1,$ 故 $det (J) = 1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{n} ⩽ m \sum det (B (i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n} 1 , 2 , \dots , n)) det (A (1 , 2 , \dots , n i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n})) .$

另一方面, 我们也可用行列式的性质, 施适当的变换于 $J$ , 得一个新阵 $K$ , 且 $J$ , $K$ 的行列式相等. 具体地, 我们加 $J$ 的列 $1$ 的 $- [A]_{1, 1}$ 倍于其列 $m + 1$ , 列 $2$ 的 $- [A]_{2, 1}$ 倍于其列 $m + 1$ , ……, 列 $m$ 的 $- [A]_{m, 1}$ 倍于其列 $m + 1$ , 得 $J_{1} = ⎣ ⎡ 10 ⋮ 0 - [B]_{1, 1} - [B]_{2, 1} ⋮ - [B]_{n, 1} 01 ⋮ 0 - [B]_{1, 2} - [B]_{2, 2} ⋮ - [B]_{n, 2} \dots \dots \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ 1 - [B]_{1, m} - [B]_{2, m} ⋮ - [B]_{n, m} 00 ⋮ 0 p_{1, 1} p_{2, 1} ⋮ p_{n, 1} [A]_{1, 2} [A]_{2, 2} ⋮ [A]_{m, 2} 00 ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots \dots \dots [A]_{1, n} [A]_{2, n} ⋮ [A]_{m, n} 00 ⋮ 0 ⎦ ⎤,$ 其中 $p_{k, 1} = = = (- [B]_{k, 1}) (- [A]_{1, 1}) + (- [B]_{k, 2}) (- [A]_{2, 1}) + \dots + (- [B]_{k, m}) (- [A]_{m, 1}) [B]_{k, 1} [A]_{1, 1} + [B]_{k, 2} [A]_{2, 1} + \dots + [B]_{k, m} [A]_{m, 1} [B A]_{k, 1} .$ 根据行列式的性质, $det (J) = det (J_{1})$ .

我们加 $J_{1}$ 的列 $1$ 的 $- [A]_{1, 2}$ 倍于其列 $m + 2$ , 列 $2$ 的 $- [A]_{2, 2}$ 倍于其列 $m + 2$ , ……, 列 $m$ 的 $- [A]_{m, 2}$ 倍于其列 $m + 2$ , 得 $J_{2} = ⎣ ⎡ 10 ⋮ 0 - [B]_{1, 1} - [B]_{2, 1} ⋮ - [B]_{n, 1} 01 ⋮ 0 - [B]_{1, 2} - [B]_{2, 2} ⋮ - [B]_{n, 2} \dots \dots \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ 1 - [B]_{1, m} - [B]_{2, m} ⋮ - [B]_{n, m} 00 ⋮ 0 p_{1, 1} p_{2, 1} ⋮ p_{n, 1} 00 ⋮ 0 p_{1, 2} p_{2, 2} ⋮ p_{n, 2} \dots \dots \dots \dots \dots \dots [A]_{1, n} [A]_{2, n} ⋮ [A]_{m, n} 00 ⋮ 0 ⎦ ⎤,$ 其中 $p_{k, 2} = = = (- [B]_{k, 1}) (- [A]_{1, 2}) + (- [B]_{k, 2}) (- [A]_{2, 2}) + \dots + (- [B]_{k, m}) (- [A]_{m, 2}) [B]_{k, 1} [A]_{1, 2} + [B]_{k, 2} [A]_{2, 2} + \dots + [B]_{k, m} [A]_{m, 2} [B A]_{k, 2} .$ 根据行列式的性质, $det (J_{1}) = det (J_{2})$ , 故 $det (J) = det (J_{2})$ .

……

我们加 $J_{n - 1}$ 的列 $1$ 的 $- [A]_{1, n}$ 倍于其列 $m + n$ , 列 $2$ 的 $- [A]_{2, n}$ 倍于其列 $m + n$ , ……, 列 $m$ 的 $- [A]_{m, n}$ 倍于其列 $m + n$ , 得 $J_{n} = = ⎣ ⎡ 10 ⋮ 0 - [B]_{1, 1} - [B]_{2, 1} ⋮ - [B]_{n, 1} 01 ⋮ 0 - [B]_{1, 2} - [B]_{2, 2} ⋮ - [B]_{n, 2} \dots \dots \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ 1 - [B]_{1, m} - [B]_{2, m} ⋮ - [B]_{n, m} 00 ⋮ 0 p_{1, 1} p_{2, 1} ⋮ p_{n, 1} 00 ⋮ 0 p_{1, 2} p_{2, 2} ⋮ p_{n, 2} \dots \dots \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ 0 p_{1, n} p_{2, n} ⋮ p_{n, n} ⎦ ⎤ [I_{m} - B 0 B A],$ 其中右上角的 $0$ 是 $m \times n$ 零阵, 且 $p_{k, n} = = = (- [B]_{k, 1}) (- [A]_{1, n}) + (- [B]_{k, 2}) (- [A]_{2, n}) + \dots + (- [B]_{k, m}) (- [A]_{m, n}) [B]_{k, 1} [A]_{1, n} + [B]_{k, 2} [A]_{2, n} + \dots + [B]_{k, m} [A]_{m, n} [B A]_{k, n} .$ 根据行列式的性质, $det (J_{n}) = det (J_{n - 1})$ , 故 $det (J) = det (J_{n})$ .

我们要如何计算 $J_{n}$ 的行列式? 我给您三条路: (a) 用第一章, 节 31 的第 2 个例 (计算 $J_{n}$ 的转置的行列式); (b) 按行 $1$ , $2$ , $\dots$ , $m$ 展开; (c) 按列 $m + 1$ , $m + 2$ , $\dots$ , $m + n$ 展开. 总之, 若您没错, 您可算出, $det (J) = det (J_{n}) = det (I_{m}) det (B A) = det (B A) .$

现在, 我们比较二次计算的结果. 这就是 Binet–Cauchy 公式.

证毕.

我还想说一些话.

设 $A$ , $B$ 分别是 $s \times n$ 与 $m \times s$ 阵. 不难看出, $B A$ 有意义, 且 $B A$ 是一个 $m \times n$ 阵. $B A$ 可能不是一个方阵, 故说 $B A$ 的行列式可能是无意义的. 但是, 我们仍可说 $B A$ 的子阵的行列式, 若这个子阵是正方的. 设 $k$ 是一个既不超过 $m$ , 也不超过 $n$ 的正整数. 设 $1 ⩽ i_{1} < \dots < i_{k} ⩽ m$ ; 设 $1 ⩽ ℓ_{1} < \dots < ℓ_{k} ⩽ n$ . 我们说, 我们可以用 $B$ 与 $A$ 的 $k$ 级子阵的行列式写出 $B A$ 的 $k$ 级子阵 $F = (B A) (ℓ _{1} , \dots , ℓ _{k} i _{1} , \dots , i _{k})$ 的行列式.

首先, 我们注意到 $(B A) (ℓ _{1} , \dots , ℓ _{k} i _{1} , \dots , i _{k}) = B (1 , \dots , s i _{1} , \dots , i _{k}) A (ℓ _{1} , \dots , ℓ _{k} 1 , \dots , s) .$ 为说明此事, 我们设 $D = B (1 , \dots , s i _{1} , \dots , i _{k}), C = A (ℓ _{1} , \dots , ℓ _{k} 1 , \dots , s) .$ 则 $D$ , $C$ 分别是 $k \times s$ , $s \times k$ 阵, 且 $[D]_{u, j} = [B]_{i_{u}, j}$ , $[C]_{i, v} = [A]_{i, ℓ_{v}}$ . 则 $[D C]_{u, v} = = = = p = 1 \sum s [D]_{u, j} [C]_{j, v} p = 1 \sum s [B]_{i_{u}, j} [A]_{j, ℓ_{v}} [B A]_{i_{u}, ℓ_{v}} [F]_{u, v} .$

现在, 我们可以对 $C$ , $D$ 用 Binet–Cauchy 公式了. 我再说一次, $C$ 是 $s \times k$ 的, 且 $D$ 是 $k \times s$ 的. 于是:

(1) 若 $k > s$ , 则 $det (D C) = 0$ ;

(2) 若 $k ⩽ s$ , 则 $= = det (D C) 1 ⩽ j_{1} < \dots < j_{k} ⩽ s \sum det (D (j _{1} , \dots , j _{k} 1 , \dots , k)) det (C (1 , \dots , k j _{1} , \dots , j _{k})) 1 ⩽ j_{1} < \dots < j_{k} ⩽ s \sum det (B (j _{1} , \dots , j _{k} i _{1} , \dots , i _{k})) det (A (ℓ _{1} , \dots , ℓ _{k} j _{1} , \dots , j _{k})) .$

综上, 我们有

定理 45.3. 设 $A$ , $B$ 分别是 $s \times n$ 与 $m \times s$ 阵. 设 $k$ 是一个既不超过 $m$ , 也不超过 $n$ 的正整数. 设 $1 ⩽ i_{1} < \dots < i_{k} ⩽ m$ ; 设 $1 ⩽ ℓ_{1} < \dots < ℓ_{k} ⩽ n$ .

(1) 若 $k > s$ , 则 $det ((B A) (ℓ _{1} , \dots , ℓ _{k} i _{1} , \dots , i _{k})) = 0;$

(2) 若 $k ⩽ s$ , 则 $= det ((B A) (ℓ _{1} , \dots , ℓ _{k} i _{1} , \dots , i _{k})) 1 ⩽ j_{1} < \dots < j_{k} ⩽ s \sum det (B (j _{1} , \dots , j _{k} i _{1} , \dots , i _{k})) det (A (ℓ _{1} , \dots , ℓ _{k} j _{1} , \dots , j _{k})) .$

可视此事为 Binet–Cauchy 公式的一个推广: 若 $m = n$ , $k = n$ , 且 $i_{u} = ℓ_{u} = u$ ( $u = 1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ ), 则这就是 Binet–Cauchy 公式.

若我们取 $m = n = s$ , 则

定理 45.4. 设 $A$ , $B$ 是 $n$ 级阵. 设 $k$ 是一个不超过 $n$ 的正整数. 设 $1 ⩽ i_{1} < \dots < i_{k} ⩽ n$ ; 设 $1 ⩽ ℓ_{1} < \dots < ℓ_{k} ⩽ n$ . 则 $= det ((B A) (ℓ _{1} , \dots , ℓ _{k} i _{1} , \dots , i _{k})) 1 ⩽ j_{1} < \dots < j_{k} ⩽ n \sum det (B (j _{1} , \dots , j _{k} i _{1} , \dots , i _{k})) det (A (ℓ _{1} , \dots , ℓ _{k} j _{1} , \dots , j _{k})) .$

我们知道, $A$ 的一个子阵不但可被认为是取 $A$ 的一些行与一些列交叉处的元按原来的次序作成的新阵, 还可被认为是去除 $A$ 的一些行与一些列后, 剩下的元按原来的次序作成的阵. 所以, 我们也可如此改写前面的结论:

定理 45.5. 设 $A$ , $B$ 是 $n$ 级阵. 设 $k$ 是一个不超过 $n$ 的正整数. 设 $1 ⩽ i_{1} < \dots < i_{k} ⩽ n$ ; 设 $1 ⩽ ℓ_{1} < \dots < ℓ_{k} ⩽ n$ . 则 $= det ((B A) (i_{1}, \dots, i_{k} ∣ ℓ_{1}, \dots, ℓ_{k})) 1 ⩽ j_{1} < \dots < j_{k} ⩽ n \sum det (B (i_{1}, \dots, i_{k} ∣ j_{1}, \dots, j_{k})) det (A (j_{1}, \dots, j_{k} ∣ ℓ_{1}, \dots, ℓ_{k})) .$

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