51. (关于列的) 反称性

本节, 我想证明 (关于列的) 反称性.

其实, 在第一章, 节 13, 我已用多线性与交错性证明了它. 不过, 我想, 知道别的证明也好.

以下, 设 $P(n)$ 为命题

对任何 $n$ 级阵 $A$, 对任何不超过 $n$ 且高于 $1$ 的整数 $q$, 对任何低于 $q$ 的正整数 $p$, 必 $\det (B)=-\det (A)$, 其中 $B$ 是交换 $A$ 的列 $p$, $q$ 后得到的阵.

则, 我们的目标是: 对任何正整数 $n$, $P(n)$ 是正确的.

证. (用按一列展开) $P(1)$ 不证自明.

不难验证 $P(2)$ 是正确的.

现在, 我们假定 $P(m-1)$ 是正确的 ($m⩾3$). 我们要证 $P(m)$ 也是正确的.

任取一个 $m$ 级阵 $A$. 任取一个不超过 $m$ 且高于 $1$ 的整数 $q$. 任取一个低于 $q$ 的正整数 $p$. 交换 $A$ 的列 $p$, $q$, 得 $B$. 在 $1$, $2$, $\dots$, $m$ 这 $m$ 个数里, 我们必定能找到一个数 $j$, 它既不等于 $p$, 也不等于 $q$. 则$$\begin{array}{r}\det (B)=\sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+j}[B{]}_{i,j}\det (B(i|j)).\end{array}$$注意, $[B{]}_{i,j}=[A{]}_{i,j}$. 再注意, $B(i|j)$ 可被认为是交换 $A(i|j)$ 的二列所得到的 $m-1$ 级阵. 由假定, $\det (B(i|j))=-\det (A(i|j))$. 从而$$\begin{array}{rl}\det (B)=& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}(-\det (A(i|j)))\\ =& -\sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}\det (A(i|j))\\ =& -\det (A).\end{array}$$

所以, $P(m)$ 是正确的. 由数学归纳法原理, 待证命题成立.

证毕.

在介绍其他的证明前, 我要介绍一个有用的事实.

定理 51.1. 设命题 II: 交换方阵 $A$ 的相邻的二列, 得方阵 $B$, 则 $\det (B)=-\det (A)$. 设命题 III: 交换方阵 $A$ 的二列, 得方阵 $B$, 则 $\det (B)=-\det (A)$. 则, 我们可由 II 推出 III.

证. 略.

证毕.

好的. 现在, 我介绍反称性的其他的证明.

证. (同时用按列 $1$ 展开与按前二列展开) $P(1)$ 不证自明.

不难验证 $P(2)$ 是正确的.

现在, 我们假定 $P(m-1)$ 是正确的 ($m⩾3$). 我们要证 $P(m)$ 也是正确的.

任取一个 $m$ 级阵 $A$. 任取一个低于 $m$ 的正整数 $j$. 交换 $A$ 的列 $j$, $j+1$, 得 $B$.

设 $j=1$. 注意到, $i\ne k$ 时, $A(i,k|1,2)=B(i,k|1,2)$. 则$$\begin{array}{rl}\det (B)=& \sum _{1⩽i<k⩽m}\det \left[\begin{array}{cc}[B{]}_{i,1}& [B{]}_{i,2}\\ [B{]}_{k,1}& [B{]}_{k,2}\end{array}\right](-1{)}^{i+k+1+2}\det (B(i,k|1,2))\\ =& \sum _{1⩽i<k⩽m}\det \left[\begin{array}{cc}[A{]}_{i,2}& [A{]}_{i,1}\\ [A{]}_{k,2}& [A{]}_{k,1}\end{array}\right](-1{)}^{i+k+1+2}\det (A(i,k|1,2))\\ =& \sum _{1⩽i<k⩽m}\left(-\det \left[\begin{array}{cc}[A{]}_{i,1}& [A{]}_{i,2}\\ [A{]}_{k,1}& [A{]}_{k,2}\end{array}\right]\right)(-1{)}^{i+k+1+2}\det (A(i,k|1,2))\\ =& -\det (A).\end{array}$$

设 $j>1$. 则$$\begin{array}{r}\det (B)=\sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[B{]}_{i,1}\det (B(i|1)).\end{array}$$注意, $[B{]}_{i,1}=[A{]}_{i,1}$. 再注意, $B(i|1)$ 可被认为是交换 $A(i|1)$ 的二列所得到的 $m-1$ 级阵. 由假定, $\det (B(i|1))=-\det (A(i|1))$. 从而$$\begin{array}{rl}\det (B)=& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}(-\det (A(i|1)))\\ =& -\sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\det (A(i|1))\\ =& -\det (A).\end{array}$$

综上, 交换方阵的相邻的二列, 则其行列式变号.

由 “有用的事实”, 交换方阵的二列, 则其行列式变号.

所以, $P(m)$ 是正确的. 由数学归纳法原理, 待证命题成立.

证毕.

注意到, 因为在按列 $1$ 展开行列式的公式里, 列 $1$ 与其他列的地位不一样, 用它证明一个关于二列的性质对列 $1$ 与其他列成立是有挑战的. 不过, 若我们用按行 $1$ 展开行列式的公式, 则这是简单的.

证. (用按行 $1$ 展开) $P(1)$ 不证自明.

不难验证 $P(2)$ 是正确的.

现在, 我们假定 $P(m-1)$ 是正确的 ($m⩾3$). 我们要证 $P(m)$ 也是正确的.

任取一个 $m$ 级阵 $A$. 任取一个低于 $m$ 的正整数 $j$. 交换 $A$ 的列 $j$, $j+1$, 得 $B$.

注意, $[A{]}_{i,j}=[B{]}_{i,j+1}$, $[A{]}_{i,j+1}=[B{]}_{i,j}$. 再注意, $k\ne j$, $j+1$ 时, $[A{]}_{i,k}=[B{]}_{i,k}$. 则 $A(i|j)=B(i|j+1)$, $A(i|j+1)=B(i|j)$. 若 $k\ne j$, $j+1$, 则 $B(i|k)$ 可被认为是交换 $A(i|k)$ 的 (相邻的) 二列所得到的 $m-1$ 级阵. 由假定, $\det (B(i|k))=-\det (A(i|k))$. 从而$$\begin{array}{rl}& \det (B)\\ =& \sum _{k=1}^m(-1{)}^{1+k}[B{]}_{1,k}\det (B(1|k))\\ =& (-1{)}^{1+j}[B{]}_{1,j}\det (B(1|j))+(-1{)}^{1+j+1}[B{]}_{1,j+1}\det (B(1|j+1))\\ & +\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽m\\ k\ne j,j+1\end{array}}(-1{)}^{1+k}[B{]}_{1,k}\det (B(1|k))\\ =& (-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j+1}\det (A(1|j+1))+(-1{)}^{1+j+1}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j))\\ & +\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽m\\ k\ne j,j+1\end{array}}(-1{)}^{1+k}[A{]}_{1,k}(-\det (A(1|k)))\\ =& -(-1{)}^{1+j+1}[A{]}_{1,j+1}\det (A(1|j+1))-(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j))\\ & -\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽m\\ k\ne j,j+1\end{array}}(-1{)}^{1+k}[A{]}_{1,k}\det (A(1|k))\\ =& -\sum _{k=1}^m(-1{)}^{1+k}[A{]}_{1,k}\det (A(1|k))\\ =& -\det (A).\end{array}$$

综上, 交换方阵的相邻的二列, 则其行列式变号.

由 “有用的事实”, 交换方阵的二列, 则其行列式变号.

所以, $P(m)$ 是正确的. 由数学归纳法原理, 待证命题成立.

证毕.