75. 阵的积与倍加 (续)

本节, 我们进一步地讨论阵的积与 (列的) 倍加的关系.

回想, 我们有如下结论.

定理 75.1. 设 $A$ 是一个 $m\times n$ 阵. 利用若干次 (列的) 倍加, 我们可变 $A$ 为一个 $m\times n$ 阵 $B$, 使当 $i<j$ 时, $[B{]}_{i,j}=0$.

那么, 特别地, 取 $A$ 为方阵, 有

定理 75.2. 设 $A$ 是 $n$ 级阵. 利用若干次列的倍加, 我们可变 $A$ 为 $n$ 级阵 $B$, 使当 $i<j$ 时, $[B{]}_{i,j}=0$.

形象地, 对任何 $n$ 级阵$$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{ccccc}[A{]}_{1,1}& [A{]}_{1,2}& \cdots & [A{]}_{1,n-1}& [A{]}_{1,n}\\ [A{]}_{2,1}& [A{]}_{2,2}& \cdots & [A{]}_{2,n-1}& [A{]}_{2,n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ [A{]}_{n-1,1}& [A{]}_{n-1,2}& \cdots & [A{]}_{n-1,n-1}& [A{]}_{n-1,n}\\ [A{]}_{n,1}& [A{]}_{n,2}& \cdots & [A{]}_{n,n-1}& [A{]}_{n,n}\end{array}\right],\end{array}$$我们总可作列的倍加, 变 $A$ 为$$\begin{array}{r}B=\left[\begin{array}{ccccc}[B{]}_{1,1}& 0& \cdots & 0& 0\\ [B{]}_{2,1}& [B{]}_{2,2}& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ [B{]}_{n-1,1}& [B{]}_{n-1,2}& \cdots & [B{]}_{n-1,n-1}& 0\\ [B{]}_{n,1}& [B{]}_{n,2}& \cdots & [B{]}_{n,n-1}& [B{]}_{n,n}\end{array}\right].\end{array}$$

因为 $A$, $B$ 是方阵, 故我们可说 $A$, $B$ 的行列式. 现在, 我说, 若 $\det (A)\ne 0$, 则我们可用列的倍加, 进一步地变 $B$ 为$$\begin{array}{r}D=\left[\begin{array}{ccccc}[B{]}_{1,1}& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& [B{]}_{2,2}& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & [B{]}_{n-1,n-1}& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& [B{]}_{n,n}\end{array}\right];\end{array}$$具体地, $D$ 是一个 $n$ 级阵, 且$$\begin{array}{r}[D{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[B{]}_{i,i},& i=j;\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$

我们知道, 倍加不改变行列式. 于是, $\det (B)=\det (A)\ne 0$. 另一方面, $\det (B)=[B{]}_{1,1}[B{]}_{2,2}\dots [B{]}_{n,n}$, 故 $[B{]}_{1,1}$, $[B{]}_{2,2}$, $\dots$, $[B{]}_{n,n}$ 都不是 $0$. 那么, 我们加 $B$ 的列 $n$ 的 $-[B{]}_{n,n-1}/[B{]}_{n,n}$ 倍于列 $n-1$, 列 $n$ 的 $-[B{]}_{n,n-2}/[B{]}_{n,n}$ 倍于列 $n-2$, ……, 列 $n$ 的 $-[B{]}_{n,1}/[B{]}_{n,n}$ 倍于列 $1$, 得$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccc}[B{]}_{1,1}& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ [B{]}_{2,1}& [B{]}_{2,2}& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ [B{]}_{n-2,1}& [B{]}_{n-2,2}& \cdots & [B{]}_{n-2,n-2}& 0& 0\\ [B{]}_{n-1,1}& [B{]}_{n-1,2}& \cdots & [B{]}_{n-1,n-2}& [B{]}_{n-1,n-1}& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& [B{]}_{n,n}\end{array}\right].\end{array}$$我们再加列 $n-1$ 的 $-[B{]}_{n-1,n-3}/[B{]}_{n-1,n-1}$ 倍于列 $n-2$, 列 $n-1$ 的 $-[B{]}_{n-1,n-3}/[B{]}_{n-1,n-1}$ 倍于列 $n-3$, ……, 列 $n-1$ 的 $-[B{]}_{n-1,1}/[B{]}_{n-1,n-1}$ 倍于列 $1$, 得$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccc}[B{]}_{1,1}& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ [B{]}_{2,1}& [B{]}_{2,2}& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ [B{]}_{n-2,1}& [B{]}_{n-2,2}& \cdots & [B{]}_{n-2,n-2}& 0& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& [B{]}_{n-1,n-1}& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& [B{]}_{n,n}\end{array}\right].\end{array}$$…… 最后, 我们得$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ccccc}[B{]}_{1,1}& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& [B{]}_{2,2}& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & [B{]}_{n-1,n-1}& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& [B{]}_{n,n}\end{array}\right].\end{array}$$

综上, 我们有

定理 75.3. 设 $A$ 是 $n$ 级阵, 且 $\det (A)\ne 0$. 利用若干次列的倍加, 我们可变 $A$ 为 $n$ 级阵 $D$, 使当 $i\ne j$ 时, $[D{]}_{i,j}=0$.

进一步地, 我说, 我们还可变 $D$ 为$$\begin{array}{r}M=\left[\begin{array}{ccccc}\det (A)& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right];\end{array}$$具体地, $M$ 是一个 $n$ 级阵, 且$$\begin{array}{r}[M{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}\det (A),& i=j=1;\\ 1,& i=j>1;\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$

设 $D$ 形如$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccc}[B{]}_{1,1}& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& [B{]}_{2,2}& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & [B{]}_{n-2,n-2}& 0& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& [B{]}_{n-1,n-1}& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& [B{]}_{n,n}\end{array}\right],\end{array}$$其中 $[B{]}_{1,1}$, $[B{]}_{2,2}$, $\dots$, $[B{]}_{n,n}$ 都不是 $0$.

加列 $n$ 的 $(1-[B{]}_{n,n})/[B{]}_{n,n}$ 倍于列 $n-1$, 有$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccc}[B{]}_{1,1}& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& [B{]}_{2,2}& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & [B{]}_{n-2,n-2}& 0& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& [B{]}_{n-1,n-1}& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 1-[B{]}_{n,n}& [B{]}_{n,n}\end{array}\right].\end{array}$$加列 $n-1$ 于列 $n$, 有$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccc}[B{]}_{1,1}& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& [B{]}_{2,2}& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & [B{]}_{n-2,n-2}& 0& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& [B{]}_{n-1,n-1}& [B{]}_{n-1,n-1}\\ 0& 0& \cdots & 0& 1-[B{]}_{n,n}& 1\end{array}\right].\end{array}$$加列 $n$ 的 $[B{]}_{n,n}-1$ 倍于列 $n-1$, 有$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccc}[B{]}_{1,1}& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& [B{]}_{2,2}& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & [B{]}_{n-2,n-2}& 0& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& [B{]}_{n-1,n-1}[B{]}_{n,n}& [B{]}_{n-1,n-1}\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& 1\end{array}\right].\end{array}$$加列 $n-1$ 的 $-1/[B{]}_{n,n}$ 倍于列 $n$, 有$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccc}[B{]}_{1,1}& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& [B{]}_{2,2}& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & [B{]}_{n-2,n-2}& 0& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& [B{]}_{n-1,n-1}[B{]}_{n,n}& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& 1\end{array}\right].\end{array}$$为方便, 记 $d_2=[B{]}_{n-1,n-1}[B{]}_{n,n}$. 加列 $n-1$ 的 $(1-d_2)/d_2$ 倍于列 $n-2$, 有$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccc}[B{]}_{1,1}& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& [B{]}_{2,2}& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & [B{]}_{n-2,n-2}& 0& 0\\ 0& 0& \cdots & 1-d_2& d_2& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& 1\end{array}\right].\end{array}$$加列 $n-2$ 于列 $n-1$, 有$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccc}[B{]}_{1,1}& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& [B{]}_{2,2}& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & [B{]}_{n-2,n-2}& [B{]}_{n-2,n-2}& 0\\ 0& 0& \cdots & 1-d_2& 1& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& 1\end{array}\right].\end{array}$$加列 $n-1$ 的 $d_2-1$ 倍于列 $n-2$, 有$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccc}[B{]}_{1,1}& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& [B{]}_{2,2}& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & [B{]}_{n-2,n-2}{d}_2& [B{]}_{n-2,n-2}& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 1& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& 1\end{array}\right].\end{array}$$加列 $n-2$ 的 $-1/d_2$ 倍于列 $n-1$, 有$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccc}[B{]}_{1,1}& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& [B{]}_{2,2}& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & [B{]}_{n-2,n-2}[B{]}_{n-1,n-1}[B{]}_{n,n}& 0& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 1& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& 1\end{array}\right].\end{array}$$…… 最后, 我们得$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ccccc}[B{]}_{1,1}[B{]}_{2,2}\dots [B{]}_{n,n}& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right];\end{array}$$再注意到 $\det (A)=[B{]}_{1,1}[B{]}_{2,2}\dots [B{]}_{n,n}$.

综上, 我们有

定理 75.4. 设 $A$ 是 $n$ 级阵, 且 $\det (A)\ne 0$. 利用若干次列的倍加, 我们可变 $A$ 为 $n$ 级阵 $M$, 使$$\begin{array}{r}[M{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}\det (A),& i=j=1;\\ 1,& i=j>1;\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$

我们知道, 我们可用阵的积表示倍加. 于是

定理 75.5. 设 $A$ 是 $n$ 级阵, 且 $\det (A)\ne 0$. 则存在若干个形如 $E(n;p,q;s)$ ($s$ 是一个数; $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, $p\ne q$) 的阵 $E_1$, $E_2$, $\dots$, $E_w$, 使$$\begin{array}{r}[A{E}_1{E}_2\dots E_w{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}\det (A),& i=j=1;\\ 1,& i=j>1;\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$

回想, $E(n;p,q;s)$ ($s$ 是一个数; $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, $p\ne q$) 是适合如下条件的 $n$ 级阵:$$\begin{array}{r}[E(n;p,q;s){]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}s,& \text{i=p, 且 j=q};\\ [I_n],& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$