54. 类行列式

在上节, 我们知道, 若定义在全体 $n$ 级阵上的函数 $f$ 适合倍加不变性与多齐性, 则 $f(A)=f(I)\det (A)$. 我们用了二个方法证明此事: 一个方法证明 $f$ 适合多线性, 并使用已知的确定行列式的定理; 另一个方法不使用多线性, 也不使用已知的确定行列式的定理. 后一个方法可被推广, 得到确定 “类行列式” 的定理. 不过, 我们先定义一类函数.

定义 54.1. 设 $m$ 是定义在数上的函数. 若 $m(1)=1$, 且对任何数 $s$, $t$, 有 $m(st)=m(s)m(t)$, 则 $m$ 是保乘的.

显然, 恒等函数 $m(t)=t$ 是保乘的. 若 $k$ 是正整数, 由次方的性质, 可以验证, $m(t)=t^k$ 也是保乘的. 此外, 绝对值函数 $m(t)=|t|$ 也是保乘的 (因为 $|1|=1$, 且对任何数 $a$, $b$, 有 $|ab|=|a||b|$).

定理 54.2. 设定义在全体 $n$ 级阵上的函数 $f$ 适合:

(1) 倍加不变性.

(2) (“多齐性的变体”) 对任何不超过 $n$ 的正整数 $j$, 任何 $n-1$ 个 $n\times 1$ 阵 $a_1$, $\dots$, $a_{j-1}$, $a_{j+1}$, $\dots$, $a_n$, 任何 $n\times 1$ 阵 $x$, 任何数 $s$, 有$$\begin{array}{r}f([a_1,\dots ,a_{j-1},sx,a_{j+1},\dots ,a_n])=m(s)f([a_1,\dots ,a_{j-1},x,a_{j+1},\dots ,a_n]),\end{array}$$其中, 定义在数上的函数 $m$ 是保乘的: $m(1)=1$, 且对任何数 $s$, $t$, 有 $m(st)=m(s)m(t)$.

那么, 对任何 $n$ 级阵 $A$, $f(A)=f(I)m(\det (A))$.

为证明此事, 我们先证如下命题.

定理 54.3. 设定义在全体 $n$ 级阵上的函数 $f$ 适合倍加不变性与 “多齐性的变体”. 设 $A$ 是一个 $n$ 级阵, 且当 $i<j$ 时, $[A{]}_{i,j}=0$. 则 $f(A)=f(I_n)m(\det (A))$.

证. 我们用数学归纳法证明此事. 具体地, 设 $P(n)$ 为命题

设定义在全体 $n$ 级阵上的函数 $f$ 适合倍加不变性与 “多齐性的变体”. 设 $A$ 是一个 $n$ 级阵, 且当 $i<j$ 时, $[A{]}_{i,j}=0$. 则 $f(A)=f(I_n)m(\det (A))$.

则, 我们的目标是: 对任何正整数 $n$, $P(n)$ 是正确的.

$P(1)$ 显然是对的.

假定 $P(n-1)$ 是对的. 我们由此证 $P(n)$ 也是对的.

任取一个 $n$ 级阵 $A$, 且当 $i<j$ 时, $[A{]}_{i,j}=0$. 所以, $A$ 形如$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ccccc}[A{]}_{1,1}& 0& \cdots & 0& 0\\ [A{]}_{2,1}& [A{]}_{2,2}& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ [A{]}_{n-1,1}& [A{]}_{n-1,2}& \cdots & [A{]}_{n-1,n-1}& 0\\ [A{]}_{n,1}& [A{]}_{n,2}& \cdots & [A{]}_{n,n-1}& [A{]}_{n,n}\end{array}\right]\end{array}$$那么, 由 “多齐性的变体”, $$\begin{array}{r}f(A)=m([A{]}_{n,n})f\left(\left[\begin{array}{ccccc}[A{]}_{1,1}& 0& \cdots & 0& 0\\ [A{]}_{2,1}& [A{]}_{2,2}& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ [A{]}_{n-1,1}& [A{]}_{n-1,2}& \cdots & [A{]}_{n-1,n-1}& 0\\ [A{]}_{n,1}& [A{]}_{n,2}& \cdots & [A{]}_{n,n-1}& 1\end{array}\right]\right).\end{array}$$利用 $n-1$ 次倍加不变性, $$\begin{array}{rl}& f\left(\left[\begin{array}{ccccc}[A{]}_{1,1}& 0& \cdots & 0& 0\\ [A{]}_{2,1}& [A{]}_{2,2}& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ [A{]}_{n-1,1}& [A{]}_{n-1,2}& \cdots & [A{]}_{n-1,n-1}& 0\\ [A{]}_{n,1}& [A{]}_{n,2}& \cdots & [A{]}_{n,n-1}& 1\end{array}\right]\right)\\ =& f\left(\left[\begin{array}{ccccc}[A{]}_{1,1}& 0& \cdots & 0& 0\\ [A{]}_{2,1}& [A{]}_{2,2}& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ [A{]}_{n-1,1}& [A{]}_{n-1,2}& \cdots & [A{]}_{n-1,n-1}& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right]\right),\end{array}$$故$$\begin{array}{r}f(A)=f\left(\left[\begin{array}{ccccc}[A{]}_{1,1}& 0& \cdots & 0& 0\\ [A{]}_{2,1}& [A{]}_{2,2}& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ [A{]}_{n-1,1}& [A{]}_{n-1,2}& \cdots & [A{]}_{n-1,n-1}& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right]\right)m([A{]}_{n,n}).\end{array}$$

考虑定义在全体 $n-1$ 级阵上的函数$$\begin{array}{r}g(X)=f\left(\left[\begin{array}{ccccc}[X{]}_{1,1}& [X{]}_{1,2}& \cdots & [X{]}_{1,n-1}& 0\\ [X{]}_{2,1}& [X{]}_{2,2}& \cdots & [X{]}_{2,n-1}& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ [X{]}_{n-1,1}& [X{]}_{n-1,2}& \cdots & [X{]}_{n-1,n-1}& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right]\right).\end{array}$$不难验证, $g$ 适合倍加不变性与 “多齐性的变体”. 注意到, 若 $i<j$, 则 $A(n|n)$ 的 $(i,j)$-元为 $0$. 故, 由假定, $$\begin{array}{r}g(A(n|n))=g(I_{n-1})m(\det (A(n|n)))=f(I_n)m(\det (A(n|n))).\end{array}$$从而$$\begin{array}{rl}& f\left(\left[\begin{array}{ccccc}[A{]}_{1,1}& 0& \cdots & 0& 0\\ [A{]}_{2,1}& [A{]}_{2,2}& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ [A{]}_{n-1,1}& [A{]}_{n-1,2}& \cdots & [A{]}_{n-1,n-1}& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right]\right)\\ =& g(A(n|n))=f(I_n)m(\det (A(n|n))).\end{array}$$则$$\begin{array}{rl}f(A)=& f(I_n)m(\det (A(n|n)))m([A{]}_{n,n})\\ =& f(I_n)m(\det (A(n|n))[A{]}_{n,n})\\ =& f(I_n)m(\det (A)).\end{array}$$

所以, $P(n)$ 是正确的. 由数学归纳法原理, 待证命题成立.

证毕.

有了这些准备, 我们即可证明本节的主要结论.

证. 设定义在全体 $n$ 级阵上的函数 $f$ 适合倍加不变性与 “多齐性的变体”.

任取一个 $n$ 级阵 $A$. 利用若干次倍加, 我们可变 $A$ 为一个 $n$ 级阵 $B$, 使当 $i<j$ 时, $[B{]}_{i,j}=0$. 因为倍加不变性, $f(B)=f(A)$. 由上个定理, $f(B)=f(I)m(\det (B))$. 故 $f(A)=f(I)m(\det (B))=f(I)m(\det (A))$. (反过来, 不难验证, 若我们定义 $f(A)=f(I)m(\det (A))$, 则 $f$ 适合倍加不变性与 “多齐性的变体”.)

证毕.

特别地, 取 $m$ 为绝对值函数, 我们有

定理 54.4. 设定义在全体 $n$ 级阵上的函数 $f$ 适合:

(1) 倍加不变性.

(2) 对任何不超过 $n$ 的正整数 $j$, 任何 $n-1$ 个 $n\times 1$ 阵 $a_1$, $\dots$, $a_{j-1}$, $a_{j+1}$, $\dots$, $a_n$, 任何 $n\times 1$ 阵 $x$, 任何数 $s$, 有$$\begin{array}{r}f([a_1,\dots ,a_{j-1},sx,a_{j+1},\dots ,a_n])=|s|f([a_1,\dots ,a_{j-1},x,a_{j+1},\dots ,a_n]).\end{array}$$

那么, 对任何 $n$ 级阵 $A$, $f(A)=f(I)|\det (A)|$.

设您在研究某数学问题. 设您发现, 您研究的一个量可被认为是定义在 $n$ 级阵上的函数 ($n$ 是某个正整数), 且适合倍加不变性与 “多齐性的变体”. 那么, 由本节的定理, 它是一个跟行列式有关的量. 这不是偶然的; 这是必然的. 这是好的, 我想.