22. 由 n 个 n 元 ⩽1 次方程作成的方程组 (2)

本节是选学内容. 不学本节不影响理解任何必学内容 (也就是, 未被声明为 “选学内容” 的节).

在上节, 我们定量地研究了由 $n$ 个 $n$ 元 $⩽1$ 次方程作成的方程组的解. 具体地, 当 $n$ 级阵 $A$ 的行列式不为 $0$ 时, 我们用行列式写出了 $AX=B$ 的唯一的解, 其中 $B$ 是 $n\times 1$ 阵, $X$ 是未知的 $n\times 1$ 阵. 但是, 若 $\det (A)=0$, 则 Cramer 公式不可用 (因为分母不可为 $0$). 其实, 当 $\det (A)=0$ 时, $AX=B$ 是否有解是一个复杂的问题.

例 22.1. 设$$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}1\\ b\end{array}\right],\end{array}$$其中 $b$ 是常数. 不难算出, $\det (A)=0$. 当 $b$ 取某些数时, 我们讨论 $AX=B$ 的解.

当 $b=-1$ 时, 此方程组有解: $$\begin{array}{r}A\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\cdot 1+1\cdot 0\\ -1\cdot 1+(-1)\cdot 0\end{array}\right]=B.\end{array}$$进一步地, $AX=B$ 的解不唯一. 不难算出, $$\begin{array}{r}A\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\cdot 0+1\cdot 1\\ -1\cdot 0+(-1)\cdot 1\end{array}\right]=B,\end{array}$$且 $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\ne \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$.

当 $b=0$ 时, 此方程组无解. 用反证法. 反设 $A\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]=B$, 即$$\begin{array}{r}{y}_1+y_2=1,\\ -y_1-y_2=0.\end{array}$$从而$$\begin{array}{rl}1+0=& (y_1+y_2)+(-y_1-y_2)\\ =& (y_1-y_1)+(y_2-y_2)=0.\end{array}$$这是矛盾.

从本节开始, 我们定性地研究由 $n$ 个 $n$ 元 $⩽1$ 次方程作成的方程组的解. 具体地, 我们主要讨论解的性质, 而不是解的公式.

根据 Cramer 公式, 我们不难得到如下事实:

定理 22.2. 设 $A$ 是 $n$ 级阵. 设 $\det (A)\ne 0$. 那么, 对任何的 $n\times 1$ 阵 $B$, 存在一个 $n\times 1$ 阵 $C$, 使 $AC=B$. (换句话说, 若存在某 $n\times 1$ 阵 $B$, 使对任何的 $n\times 1$ 阵 $C$, 必 $AC\ne B$, 则 $\det (A)=0$.)

重要地, 此事反过来也对.

定理 22.3. 设 $A$ 是 $n$ 级阵. 设对任何的 $n\times 1$ 阵 $B$, 存在一个 $n\times 1$ 阵 $C$, 使 $AC=B$. 则 $\det (A)\ne 0$. (换句话说, 若 $\det (A)=0$, 则存在某 $n\times 1$ 阵 $B$, 使对任何的 $n\times 1$ 阵 $C$, 必 $AC\ne B$.)

证. 设 $n$ 级单位阵 $I$ 的列 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 分别是 $e_1$, $e_2$, $\dots$, $e_n$. 每一个 $e_i$ 都是 $n\times 1$ 阵. 根据假定, 存在一个 $n\times 1$ 阵 $f_i$ 使 $A{f}_i=e_i$. 作 $n$ 级阵 $F=[f_1,f_2,\dots ,f_n]$. 则$$\begin{array}{rl}AF=& A[f_1,f_2,\dots ,f_n]\\ =& [A{f}_1,A{f}_2,\dots ,A{f}_n]\\ =& [e_1,e_2,\dots ,e_n]\\ =& I.\end{array}$$因为二个同级的方阵的积的行列式等于这二个阵的行列式的积, $$\begin{array}{r}1=\det (I)=\det (A)\det (F).\end{array}$$从而 $\det (A)\ne 0$.

证毕.