37. 求和号

为简便地表达求和, 人们聪明地作了 “求和号” . (或许, 您知道, “和” 用 Esperanto 说, 是 sumo. 拉丁字母 S, s 对应希腊字母 Σ, σ/ς.)

, , ,  个数 (). 我们可简单地写这  个数的和(37.1)(37.2)比如

 (37.2) 的 是 “求和指标”, 它只起一个辅助的作用. 当我们还原式 (37.2) 为式 (37.1) 时, 求和指标 不应出现. 比如, 我们也可写式 (37.1) 为所以, 我们可用任何文字作求和指标, 除非此文字跟其他的文字混淆. 比如,   列的矩形数表(37.3)的第  行的  个数的和是这里, 我们不能用文字 作求和指标, 因为的意思是

有时, 被加的数用二个或多个指标编号. 比如, 我们计算矩形数表 (37.3) 的  个数的和 . 因为数的加法适合结合律与交换律, 故我们可按任何的次序求和. 特别地, 我们可以先求行  个数的和再累加每一行的和, 即得为方便, 我们写这就是 “ 重求和”.

当然, 我们还可以先求列  个数的和再累加每一列的和, 即得比较这二次计算的结果, 我们有通俗地, 我们可 “交换求和号的次序”, 而不影响和.

类似地, 我们可引入 “ 重求和”在此基础上, 我们可引入 “ 重求和” 在此基础上, 我们可引入 “ 重求和”特别地, 若 , 我们可简单地写

有时, 虽然被加的数用若干个指标编号, 但是被加的并不是其全部, 而是指标适合某些条件的那一部分. 这时, 我们在求和号下写出指标适合的条件. 比如又比如, 若 是某个不超过 的正整数, 则

最后, 有一件小事值得一提. 设 是一些被编号的数. 设 , 是关于指标 , , , 的约束. 若不存在同时适合 , 的指标 , , , , 则, 根据加法的结合律与交换律,(37.4)比如,由此可见, 当不存在指标适合约束 时 (也就是说, 是 “空约束” 时), 为使式 (37.4) 仍成立, 我们定义 (或, 约定)(37.5)比如,

为解释此约定, 我们任取一个约束 . 既然不存在指标适合约束 , 自然, 也不存在指标同时适合 , . 再注意到, “, , , 适合 ” 相当于 “, , , 适合 ”. 所以,化简, 即得式 (37.5).