本节, 我想证明: 一个方阵与其转置的行列式相等.
其实, 在第一章, 节 15, 我已用定义 (按列 1 展开) 与按行 1 展开证明了它. 不过, 我想, 知道别的证明也好.
以下, 设 P(n) 为命题
对任何 n 级阵 A, det(AT)=det(A).
则, 我们的目标是: 对任何正整数
n,
P(n) 是正确的.
证. (同时用按列
1 展开与按行
1 展开) 见第一章, 节
15.
证. (用按一列展开) P(1) 是正确的. 毕竟, 1 级阵的转置就是自己.
现在, 我们假定 P(m−1) 是正确的. 我们要证 P(m) 也是正确的.
任取一个
m 级阵
A. 一方面, 我们知道, 对任何数
x, 与任何正整数
s, 必有
x=s1j=1∑sx.另一方面, 我们已知, 对每一个
s 级阵
B, 与每一个不超过
s 的正整数
j,
det(B)=i=1∑s(−1)i+j[B]i,jdet(B(i∣j)).最后, 注意到, 既然
[A]i,j=[AT]j,i, 则, 不难验证,
AT(i∣j)=(A(j∣i))T. 结合这三件事, 与用过多次的加法的结合律与交换律, 并利用假定 (第
4
个等号), 我们有
========det(AT)m1j=1∑mdet(AT)m1j=1∑mi=1∑m(−1)i+j[AT]i,jdet(AT(i∣j))m1j=1∑mi=1∑m(−1)i+j[A]j,idet((A(j∣i))T)m1j=1∑mi=1∑m(−1)i+j[A]j,idet(A(j∣i))m1j=1∑mi=1∑m(−1)j+i[A]j,idet(A(j∣i))m1i=1∑mj=1∑m(−1)j+i[A]j,idet(A(j∣i))m1i=1∑mdet(A)det(A).所以,
P(m) 是正确的. 由数学归纳法原理, 待证命题成立.
证. (用按列 1 展开) 作辅助命题 Q(n):
我们用数学归纳法证明: 对任何高于
1 的整数
n,
Q(n) 是正确的. 由此, 我们可知, 对任何正整数
n,
P(n) 是正确的.
不难验证 Q(2) 是正确的.
现在, 我们假定 Q(m−1) 是正确的. 我们要证 Q(m) 也是正确的. 既然 Q(m−1) 是正确的, 则 P(m−2) 与 P(m−1) 是正确的. 所以, 若我们能由此证明 P(m) 是正确的, 则 Q(m) 是正确的.
任取一个
m 级阵
A. 则
=============det(AT)i=1∑m(−1)i+1[AT]i,1det(AT(i∣1))+(−1)1+1[AT]1,1det(AT(1∣1))+i=2∑m(−1)i+1[AT]i,1det(AT(i∣1))+(−1)1+1[A]1,1det(A(1∣1))+i=2∑m(−1)i+1[AT]i,1det(A(1∣i))+(−1)1+1[A]1,1det(A(1∣1))+i=2∑m(−1)i+1[AT]i,1k=2∑m(−1)k−1+1[A]k,1det(A(1,k∣i,1))+(−1)1+1[A]1,1det(A(1∣1))+i=2∑mk=2∑m(−1)i+1[AT]i,1(−1)k−1+1[A]k,1det(A(1,k∣i,1))+(−1)1+1[A]1,1det(A(1∣1))+k=2∑mi=2∑m(−1)i+1[AT]i,1(−1)k−1+1[A]k,1det(A(1,k∣i,1))+(−1)1+1[A]1,1det(A(1∣1))+k=2∑mi=2∑m(−1)k+1[A]k,1(−1)i−1+1[AT]i,1det(A(1,k∣i,1))+(−1)1+1[A]1,1det(A(1∣1))+k=2∑m(−1)k+1[A]k,1i=2∑m(−1)i−1+1[AT]i,1det(A(1,k∣i,1))+(−1)1+1[A]1,1det(A(1∣1))+k=2∑m(−1)k+1[A]k,1i=2∑m(−1)i−1+1[AT]i,1det(AT(i,1∣1,k))+(−1)1+1[A]1,1det(A(1∣1))+k=2∑m(−1)k+1[A]k,1det(AT(1∣k))+(−1)1+1[A]1,1det(A(1∣1))+k=2∑m(−1)k+1[A]k,1det(A(k∣1))k=1∑m(−1)k+1[A]k,1det(A(k∣1))det(A).所以,
P(m) 是正确的. 所以,
Q(m) 是正确的. 由数学归纳法原理, 待证命题成立.