63. 古伴的性质 (1)

本节, 我们认识古伴的二个性质.

一个 $n$ 级阵 $A$ 的古伴 $\mathrm{adj}(A)$ 是一个 $n$ 级阵, 其 $(i,j)$-元$$\begin{array}{r}[\mathrm{adj}(A){]}_{i,j}=(-1{)}^{j+i}\det (A(j|i)).\end{array}$$对任何方阵 $A$, 有$$\begin{array}{r}\mathrm{adj}(A)A=\det (A)I=A\mathrm{adj}(A).\end{array}$$

定理 63.1. 设 $A$ 是 $n$ 级阵. 则 $\mathrm{adj}(A^{\mathrm{T}})=(\mathrm{adj}(A){)}^{\mathrm{T}}$.

证. 注意到 $A^{\mathrm{T}}(j|i)=(A(i|j){)}^{\mathrm{T}}$, 故$$\begin{array}{rl}[\mathrm{adj}(A^{\mathrm{T}}){]}_{i,j}=& (-1{)}^{j+i}\det (A^{\mathrm{T}}(j|i))\\ =& (-1{)}^{j+i}\det ((A(i|j){)}^{\mathrm{T}})\\ =& (-1{)}^{i+j}\det (A(i|j))\\ =& [\mathrm{adj}(A){]}_{j,i}\\ =& [(\mathrm{adj}(A){)}^{\mathrm{T}}{]}_{i,j}.\end{array}$$

证毕.

定理 63.2. 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ($n⩾2$). 则 $\det (\mathrm{adj}(A))=(\det (A){)}^{n-1}$.

证. 不难看出, 若 $B$ 是 $n$ 级阵, $k$ 是数, 则 $\det (kB)=k^n\det (B)$. 于是$$\begin{array}{rl}\det (A)(\det (A){)}^{n-1}=& (\det (A){)}^n\\ =& (\det (A){)}^n\det (I)\\ =& \det (\det (A)I)\\ =& \det (A\mathrm{adj}(A))\\ =& \det (A)\det (\mathrm{adj}(A)).\end{array}$$若 $\det (A)\ne 0$, 我们可在等式的二侧消去它, 即得结论.

若 $A=0$, 则 $\mathrm{adj}(A)=0$, 故 $\det (\mathrm{adj}(A))=0$.

若 $A\ne 0$, 且 $\det (A)=0$, 我们用反证法说明 $\det (\mathrm{adj}(A))=0$. 反设 $\det (\mathrm{adj}(A))\ne 0$. 则$$\begin{array}{r}\mathrm{adj}(A)A=\det (A)I=0=\mathrm{adj}(A)0.\end{array}$$因为 $\det (\mathrm{adj}(A))\ne 0$, 由消去律, 有 $A=0$. 这是矛盾.

证毕.