2.1. 点集拓扑基础

2.1.1拓扑空间

定义 2.1.1.1 (拓扑空间). 设 $X$ 是任意集合, $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{P}(X)$ 是 $X$ 的一族子集. 当 $\mathcal{T}$ 满足下列条件的时候, 称 $\mathcal{T}$ 是 $X$ 上的一个拓扑 (topology):

1.	$\varnothing ,X\in \mathcal{T}$;
2.	($\mathcal{T}$ 对有限交封闭) 若 $\{U_i\mid i=1,...,n\}\subseteq \mathcal{T}$, 则 ${\bigcap }_{i=1}^n{U}_i\in \mathcal{T}$;
3.	($\mathcal{T}$ 对任意并封闭) 若 $\{U_i\mid i\in I\}\subseteq \mathcal{T}$, 则 ${\bigcup }_{i\in I}{U}_i\in \mathcal{T}$.

$\mathcal{T}$ 的成员称为开集 (open set). 若 $\mathcal{T}$ 是 $X$ 上的一个拓扑, 则称 $(X,\mathcal{T})$ 为一个拓扑空间 (topological space). 当 $\mathcal{T}$ 的选择由上下文明了可知时, 我们也说 $X$ 是一个拓扑空间.

拓扑空间的元素又叫做点.

例 2.1.1.2. 我们容易知道, 任意集合 $X$ 上都有至少两个拓扑: $\{\varnothing ,X\}$ 和 $\mathcal{P}(X)$. 我们一般将前者称为平凡拓扑 (trivial topology) 或不可分拓扑 (indiscrete topology), 将后者称为离散拓扑 (discrete topology). 很显然, 前者是该集合上所有拓扑中开集最少的, 而后者是开集最多的.

例 2.1.1.3. 我们在 $\mathbb{R}$ 上定义一拓扑 $\mathcal{T}$ 如下: $U\in \mathcal{T}$, 当且仅当存在 $U$ 是一族开区间的交. 例如: $(0,1)$, $(0，1)\cap (2,4)$, $(0,+\infty )$ 在这一拓扑下都是开集. 容易验证这是 $\mathbb{R}$ 上的拓扑; 我们称这个拓扑为 $\mathbb{R}$ 上的标准拓扑 (standard topology) 或 欧几里得拓扑 (Euclidean topology).

进一步, 我们还容易验证: 在这一拓扑中, $\mathbb{R}$ 中的闭区间都是闭集.

命题 2.1.1.4. 设 $(X,\mathcal{T})$ 是拓扑空间, 且 $S\subseteq X$. 那么 $\mathcal{T}$ 诱导出 $S$ 上的拓扑.

证明. ${\mathcal{T}}_S=\{S\cup U\mid U\in \mathcal{T}\}$ 是 $S$ 上的拓扑, 不难根据定义验证. 这一拓扑称为 $S$ 上由 $X$ 诱导的子空间拓扑 (subspace topology).

$\square$

此后如无说明, 拓扑空间的子集都看作带子空间拓扑的拓扑空间, 因此又称为子空间.

定义 2.1.1.5 (拓扑的粗细). 设 $\mathcal{T}$ 和 ${\mathcal{T}}^{\prime }$ 都是集合 $X$ 上的拓扑. 若 $\mathcal{T}\subset {\mathcal{T}}^{\prime }$, 我们称 $\mathcal{T}$ 比 ${\mathcal{T}}^{\prime }$ 更粗 (corase), ${\mathcal{T}}^{\prime }$ 比 $\mathcal{T}$ 更细 (fine).

下面, 我们定义拓扑空间之间的映射:

例 2.1.1.6 (连续函数). 设 $X,Y$ 都是拓扑空间. 我们称 $f:X\to Y$ 为连续函数 (continuous function), 当且仅当: 对于任意开集 $U\subseteq Y$, $f^{-1}(U)=\{x\in X\mid f(x)\in U\}$ 都是开集.

若一个连续函数是双射, 并且其逆也是连续函数, 那么称该函数为同胚 (homeomorphism). 若一个连续函数 $f:X\to Y$ 是单射, 且诱导 $X$ 到 $\mathrm{im}(f)$ 的同胚, 那么称其为嵌入 (embedding). 特别地, 如 $\mathrm{im}(f)$ 是开集, 则称其为开嵌入 (open embedding).

拓扑空间构成一个范畴, 其态射是连续函数, 这一范畴一般记作 $\mathbf{Top}$.

2.1.2拓扑空间中的一些基本概念

以下, 我们设 $X=(X,\mathcal{T})$ 是一个拓扑空间, $S\subseteq X$.

定义 2.1.2.1. 设 $x\in X$ 是 $X$ 中的一个点. 那么, 若 $X$ 的一个子集 $V\subseteq X$ 包含一个含有 $x$ 的开集, 则称其为 $x$ 的一个邻域 (neighborhood).

特别地, 一个包含 $x$ 的开集, 称为 $x$ 的开邻域 (open neighborhood).

定义 2.1.2.2. 设 $S\subseteq X$. 如果 $S$ 中的一个点 $x\in S$ 的每个邻域都包含至少一个 $S$ 中的点和一个不在 $S$ 中的点, 则称 $x$ 是 $S$ 的边界点 (boundary point).

$S$ 的所有边界点构成的集合, 称为 $S$ 的边界 (boundary), 记为 $\partial S$.

定义 2.1.2.3. 设 $S\subseteq X$. 如果 $S$ 中的一个点 $x$ 在一个包含于 $S$ 中的开集 $U\subseteq S$ 中, 则称 $x$ 为 $S$ 的内点 (interior point). $S$ 所有内点构成的集合, 称为 $S$ 的内部 (interior), 记为 $\mathrm{int}(S)$ 或 $S^{\circ }$.

定义 2.1.2.4. 设 $S\subseteq X$. 如果 $X$ 中一个点 $x\in X$ 的每个邻域都包含 $S$ 中除 $x$ 以外的一个点, 则称 $x$ 为 $S$ 的聚点 (accumulation point) 或极限点 (limit point).

$S$ 和其所有聚点的并集, 称为 $S$ 的闭包 (closure), 记作 $\bar{S}$.

2.1.3度量空间

定义 2.1.3.1. 设 $X$ 是集合, $d:X\times X\to \mathbb{R}$ 是 $X$ 上的二元函数, 称为度量 (metric). 若 $d$ 满足下列条件, 则称 $(X,d)$ 为一度量空间 (metric space):

1.	对任意 $x\in X$, 都有 $d(x,x)=0$;
2.	对任意 $x,y\in X$, 都有 $d(x,y)\ge 0$, 且仅在 $x=y$ 时取等号;
3.	对任意 $x,y\in X$, 都有 $d(x,y)=d(y,x)$;
4.	(三角不等式) 对任意 $x,y,z\in X$, 都有 $d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)$.

$X$ 上的每个度量都能诱导出 $X$ 上的拓扑, 因此度量空间都是拓扑空间.

定理 2.1.3.2. 令 $(X,d)$ 为一度量空间, 则 $d$ 诱导出 $X$ 上的一个拓扑 ${\mathcal{T}}_d$.

证明. 对任意度量 $d$, 我们给出 $(X,{\mathcal{T}}_d)$ 中开集的定义. 首先, 对任何 $x\in X$, 我们定义以 $x$ 为中心半径为 $r$ 的开球 (open ball) 为集合: ${\mathcal{B}}_r(x)=\{p\mid d(x,p)<r\}$. 我们定义: 一个集合 $U\subseteq X$ 是开集, 当且仅当它能够写作一些开球的并.

不难看出空集和 $X$ 全体都是开集, 并且显然任意开集的并仍然是开集. 接下来我们证明有限个开集的交还是开的. 令 $U_1,U_2,\dots ,U_n$ 为上述定义下的开集, $U={\bigcap }_{i=1}^n{U}_i$.

$\square$

例 2.1.3.3 ($\mathbb{R}$ 和 ${\mathbb{R}}^n$ 上的标准拓扑). 将 $\mathbb{R}$ 和 ${\mathbb{R}}^n$ 看作欧氏空间; 它们在一般的欧氏距离 (这里又称为欧氏度量) 下构成度量空间.

令 $x,y\in \mathbb{R}$, 我们定义 $d(x,y)=|y-x|$. 不难验证这是个度量.

同样, 若 $x,y\in {\mathbb{R}}^n$, 令 $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n),y=(y_1,y_2,\dots ,y_n)$. 我们定义 $d(x,y)=\sqrt{(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2+\cdots +(y_n-x_n{)}^2}$. 同样不难验证这是一个度量.

我们刚刚定义的 ${\mathbb{R}}^n$ 的度量 $d$ (当然包括 $n=1$ 的情形) 使得 $({\mathbb{R}}^n,d)$ 构成一个度量空间. 这一度量称为欧氏度量 (Euclidean metric), 又称为标准度量 (standard metric). 这一度量诱导出的拓扑又叫 ${\mathbb{R}}^n$ 上的标准拓扑 (standard topology).

2.1.4拓扑代数结构