1.14. 例子: 古典代数几何初步 (*)

1.14.1仿射空间与射影空间

通俗来说, 代数几何是研究被多项式定义的几何图形 (也可以说是多项式零点) 的学科. 它脱胎于古希腊数学家阿波罗尼奥斯 (Apollonius, Ἀπολλώνιος) 对圆锥截面的边界 (即我们熟知的圆锥曲线) 的研究, 之后又被开普勒、笛卡尔和费马等数学家发扬光大. 代数几何在 20 世纪中叶迎来了一场由法国数学家韦伊 (A. Weil)、塞尔 (J.-P. Serre) 和格罗滕迪克 (A. Grothendieck) 引领的巨大的革命, 发生了范式和研究方法的根本转变. 我们一般称其后的代数几何为现代 (或抽象) 代数几何, 其之前的代数几何为经典 (或古典) 代数几何. 在此我们只介绍古典代数几何.

在介绍代数几何之前, 我们需要先固定一些术语.

定义 1.14.1.1. 设 $k$ 是域. 如果对于任何 $f\in k[x]$, 都有至少一个 $a\in k$ 使得 $f(a)=0$, 则称 $k$ 为代数闭域 (algebraically closed field).

定理 1.14.1.2 (代数基本定理, fundamental theorem of algebra). $\mathbb{C}$ 是代数闭域.

例 1.14.1.3. $\mathbb{R}$ 显然不是代数闭域, 因为我们都知道 $x^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 中没有根.

定义 1.14.1.4. 设 $k$ 是域. 如果存在一个最小的自然数 $p$ 使得 $p1=0$ (即 1 自己与自己相加 $p$ 次后为 0), 则称该域的特征 (characteristic) 为 $p$. 反之, 则称该域的特征为 0.

例 1.14.1.5. $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 的特征为 0.

例 1.14.1.6. 考虑 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. 不难验证这是一个域, 我们又记为 ${\mathbb{F}}_3$. 显然, ${\mathbb{F}}_3$ 的特征为 3.

命题 1.14.1.7. 域的特征若不为 0 则必是素数.

证明. 设域 $k$ 的特征为 $n$. 若 $n$ 不是素数, 则必有 $a,b\in \mathbb{N}$ 使得 $n=ab$. 根据定义, 我们有 $n1=0$. 注意到 $(ab)1=(a1)(b1)$, 则我们得到 $(a1)(b1)=n1=0$. 但注意到 $a1,b1$ 显然不为 0, 而域中不能有非零元乘积为 0, 矛盾.

$\square$

也因此, 我们一般把域的特征用一般表示素数的 $p$ 表示.

在此后, 除非特殊说明, 我们总假设所有域都是代数闭且特征为 0 的, 且一切多项式均取值于这个域.

定义 1.14.1.8. 令 $k$ 为一 (代数闭且特征为 0 的) 域. 我们称集合 ${\mathbb{A}}^n=k^n$ 为 $\mathbf{n}$ 维仿射空间 (affine $n$-space).

但是, 我们注意到在仿射空间里, 并不是任两个曲线都有交点: 例如平行直线 $y-x=0$ 和 $y-x-2=0$ 就永不可能相交. 为了解决这一问题, 我们可以扩充仿射空间, 使得每一组平行直线都在 “无穷远处” 有一个唯一的交点.

定义 1.14.1.9. 我们称下面的商集为 $\mathbf{n}$ 维射影空间 (projective $n$-space).

定义一等价关系: $(x_1,\dots ,x_{n+1})\sim (y_1,\dots ,y_{n+1})$ 当且仅当存在非零的 $\lambda \in k$, 使得 $(x_1,\dots ,x_{n+1})=(\lambda y_1,\dots ,\lambda y_{n+1})$. 那么 ${\mathbb{P}}^n=(k^{n+1}\backslash (0,\dots ,0))/\sim$.

射影空间里的点, 我们通常记为 $[x_1:\dots :x_{n+1}]$. 这一表示法, 称为齐次坐标 (homogeneous coordinates). 不难看出, 若 $[x_1:\dots x_{n+1}]$ 是一个点的齐次坐标, 那么 $[\lambda x_1:\dots :\lambda x_{n+1}]$ 也是. 若一个点最后一个座标为 0, 称该点是一个无穷远点 (point at infinity).