开篇说明

理论力学, 特别是分析力学一向是我认为 “最为优美” 的理论物理课程. 因此, 我一直希望能够有机会欣赏一下. 正是基于这种诱惑, 我才愿意在 2005 年春尝试讲授《理论力学》课程.

但准备这个课程的过程中发现, 诱惑有时是很害人的. 具体的备课过程告诉我, 这个课程实际上相当具有挑战性. 挑战性之一是分析力学的许多原理、方法和术语实际上是为整个理论物理起到了奠基的作用 (例如: 最小作用量原理、哈密顿量等等) . 分析力学中很多地方都蕴含着与理论物理其他分支的紧密联系. 例如, 最小作用量原理一直到量子场论中都是重要的原理; 泊松括号对于经典力学的描述与对易括号对于量子力学的描述是十分类似的; 哈密顿－雅克比方程与光学、波动力学 ( Schrödinger 方程) 的内在联系; 还有经典的连续场论 (流体力学、弦与膜的振动) 等等. 挑战之二是经典动力学本身也有十分迅猛的发展, 特别是在非线性、混沌等现象的研究中. 这些内容本身就是相关领域的科研的前沿. 挑战之三在于经典力学中的许多理论方法还与现代数学物理有着十分紧密的联系. 例如, 在分析力学中可以很直观地引入流形、tangent bundle、differential forms、symplectic geometry 等等. 这些数学概念在现代的数学物理中起着重要的作用. 以这样的一个观念来看待理论力学, 我就发现它变为一个很庞大的体系.

在我看来理论力学的课程应当起到两方面的作用: 第一, 使同学们掌握理论力学－特别是分析力学－的基本原理和方法, 并能够运用它们解决经典力学的具体问题; 第二, 将分析力学的原理和方法作为一个窗口和桥梁, 使之能够联结和透视到以后其他课程的学习和研究中. 这第一方面的作用仅仅局限在本课程, 固然是重要的; 但我觉得第二方面的作用似乎更加重要. 为此, 我的课程讲义采取了以下两个步骤. 第一, 我努力强调了从超出经典力学本身的最基本的原理出发来阐述分析力学的内容. 为此, 我们讨论分析力学的起点是狭义相对论的时空观和最小作用量原理. 常见的一种讲述方法是从牛顿力学出发来讨论拉格朗日形式的分析力学. 这样的方法固然符合人类的认识规律, 但缺点是没有突出基本原理的崇高地位. 我采用的讲述方法基本上与 Landau 书 [1] 中的逻辑类似, 只不过我们是从相对论性的时空观出发的, 而朗道是从非相对论时空观出发的. 第二, 在这个讲义中我尽量在一些可能的地方, 将所学的分析力学的内容进行引申, 点出它们与其他课程的联系. 希望能够给大家一片更加广阔的天地. 我希望多数同学在学过这个课程一段时间后, 比如说一年以后, 能够留下一些重要的印象: 你可以忘了怎么解一个具体的力学问题 (就像我现在一样) , 但希望你能够记住分析力学的基本思想.

¶ 如上所述, 由于与分析力学有关联的物理分支实在是太过广泛, 显然要将所有的内容都一一尽述是不可能的, 同时也无法与一个 3 学分的课程相容. 因此, 我必须对内