7. 局部域上的椭圆曲线

记号: 局部域 $K$, 带有完备离散赋值 $v$, $R$ 为整数环, $R^{\ast }$ 为单位元, $\mathfrak{m}$ 为极大理想, $\pi$ 为其素元, $k$ 为剩余域. 约定 $K,k$ 均为完美域, 赋值归一化 $v(\pi )=1$.

我们将要讨论椭圆曲线 $E/K$, 并探讨其群结构. 在选定一组特别的方程 (Weierstrass 极小方程) 之后, 可以将其模 $\pi$ 约化, 由此得到对于群结构的信息. 另外, 由于曲线约化后可能带有奇点而非椭圆曲线, 约化本身的性质亦值得讨论.

7.1极小 Weierstrass 方程

$E/K$ 由 Weierstrass 方程$$y^2+a_{1}xy+a_{3}y=x^3+a_2{x}^2+a_{4}x+a_6$$决定, 在变换 $(x,y)\mapsto (u^2{x}^{\prime }+r,u^3{y}^{\prime }+u^{2}s{x}^{\prime }+t)$ 下唯一 (Silverman, III.3.1), $u,s,t,r\in K$. 经过变换, 在条件 $a_i\in R$ 下使 $v(\Delta )$ 最小者称为极小 (Weierstrass) 方程. 由于离散赋值, 及 $v(\Delta )\ge 0$, 这是存在的.

明显的充分条件: 因为坐标变换导致 ${\Delta }^{\prime }=u^{-12}\Delta$, $c_4^{\prime }=u^{-4}{c}_4$, 故 $v(\Delta )<12$ 或 $v(c_4)<4$ 立即得到极小. 寻找极小的任务基本是由一套算法解决, 按下不表. 极小方程的好处是, 其可以将其看作自然的定义在 $R$ 上的 “椭圆曲线”, 这样的看法适用于坐标变换, 于是其不依赖于方程选取:

命题 7.1.1. 极小方程在 $(x,y)\mapsto (u^2{x}^{\prime }+r,u^3{y}^{\prime }+u^{2}s{x}^{\prime }+t)$, $u\in R^{\ast },s,t,\in R$ 下唯一. 反过来, 从 $a_i\in R$ 变换得到极小方程, 则 $u,r,s,t\in R$.

证明. 计算 $b_i,c_i$ 的变化, 立即算出 $v(u),v(r),v(s),v(t)$.

$\square$

7.2模 $\pi$ 约化

对于极小方程, 将其视为 $R$ 上曲线后基变换到 $R/\pi R=k$ 上即得 $k$ 上曲线 $\tilde{E}$. 从点的角度, 将齐次坐标 $P=[x_0,y_0,z_0]$ 化到至少一个在 $R$ 中可逆后模 $\pi$ 得到 $\tilde{P}$. $\tilde{E}$ 不尽非奇异, 故令 $E_0(K)=\{P\in E(K)\mid \tilde{P}\in {\tilde{E}}_{ns}(k)\}$, 即约化非奇异部分. $E_1(K)=\{P\mid \tilde{P}=\tilde{O}\}$ 为约化的核部分. 注意, $E_1(K)$ 不是奇异部分, 奇异部分由 $E/E_0$ 衡量, 其有完整的分类刻画, 不过本节暂不涉及.

命题 7.2.1. 有群正合列 $0\to E_1(K)\to E_0(K)\to {\tilde{E}}_{\mathrm{ns}}(k)\to 0$

证明. 满射是 Hensel 引理. 一旦弄清楚群结构和同态, 其余正合性是自然的. 而群结构无非是做直线相交, 直线也可以模 $\pi$ 约化, 之后无非是讨论点约化后重合的情况, 需要一些计算.

$\square$

$E_1(K)$ 其实在形式群里已经见过面了:

命题 7.2.2. $\hat{E}/R$ 是形式群, 则$$\hat{E}(\mathfrak{m})\to E_1(K),z\mapsto (z/w(z),-1/w(z))$$是群同构.

证明. 反过来的映射是 $E_1(K)\to \hat{E}(\mathfrak{m}),(x,y)\to -x/y$, 根据形式群定义不难检验.

$\square$

7.3挠点估计

我们可以用约化的思想来处理挠点部分.

命题 7.3.1. $(m,\mathrm{char}(k))=1$

(a)	$E_1(K)$ 无非平凡的 $m$ 阶元
(b)	若 $\tilde{E}$ 非奇异, 则 $E(K)[m]\to \tilde{E}(k)$ 是单射.

证明. 利用形式群性质立得 (a). 非奇异时, $E(K)=E_0(K)$, 由正合列就得到单射.

$\square$

我们可以应用上述命题对挠群进行估计, 因为有限域上的 $\tilde{E}(k)$ 结构已讨论过, 并且数域 $L$, $E(L)\hookrightarrow E(L_v)$, 选取不同的赋值 $v$ (一些较好计算的) 就可以得到一些挠群的信息, 结合群论分析就有可能得到群结构.

例 7.3.2. $E/\mathbb{Q}$ $$E:y^2=x^3+3$$有判别式 $\Delta =-2^4\cdot 3^5$, 于是 $p\ge 5$ 时约化为非奇异. 枚举得到 $|\tilde{E}({\mathbb{F}}_5)|=6$, $|\tilde{E}({\mathbb{F}}_7)|=13$, 那么 $m\ne 5,7$ 时 $|E(K)[m]|\mid (6,13)=1$. 结合 $m\mid |E(Q)[m]|$, $m=5,7$ 时仍有 $E(K)[m]=O$, 于是无挠.

挠点在 $K$ 上的赋值情况可以估计:

定理 7.3.3. $\mathrm{char}(K)=0$, $p=\mathrm{char}k>0$. $E/K$ 为 Weierstrass 方程决定, 其系数 $a_i\in R$. $P$ 为 $m$ 阶点,

(a)	$m$ 不为 $p$ 幂次, 则 $x(P),y(P)\in R$.
(b)	$m=p^n$, 则 $r=[\frac{v(p)}{p^n-p^{n-1}}]$, 有 ${\pi }^{2r}x(P),{\pi }^{3r}y(P)\in R$.

证明. 由于变换到极小后赋值不增, 于是讨论极小.

(a) 若 $v(x(P))<0$, 那么由方程看出 $3v(x(P))=2v(y(P))=-6s$, 某个 $s\ge 1$, 于是 $P$ 在 $E_1(K)$ 中, 但其不含阶不为 $p^n$ 的点, 矛盾.

(b) $s=v(-x(P)/y(P))$, 而按照形式群同构 $\hat{E}(\mathfrak{m})\simeq E_1(K)$, 有 $z=-x(P)/y(P)\in \mathfrak{m}$ 为形式群 $p^n$ 阶元. 考虑到 $[p](T)=pf(T)+g(T^p)$, $f(T)=T+\cdots$.

现在 $[p^n](z)=0,[p^{n-1}](z)\ne 0$. 我们对 $n$ 归纳证明 $v(z)\le \frac{v(p)}{p^n-p^{n-1}}$, 这样就证明了论断. $n=1$, $[p](x)=0$, 首项比较有 $v(pz)\ge v(z^p)$, 于是 $v(p)\ge (p-1)v(z)$.

$n$ 成立, $n+1$ 时: $v([p](z))=v(pf(z)+g(z^p))\ge \min \{v(pz),v(z^p)\}$, 而归纳得 $[p](x)$ 为 $p^n$ 阶, 故 $\frac{v(p)}{p^n-p^{n-1}}\ge v([p](x))$, 结合上式即得证.

$\square$

7.4好约化

我们来研究什么时候 $\tilde{E}$ 为光滑的. 根据奇点种类分为:

定义 7.4.1.

1.	好约化 (或称稳定, 若 $\tilde{E}$ 非奇异
2.	乘性约化 (或半稳定), 若 $\tilde{E}$ 奇点为结, 这是因为 $E_{\mathrm{ns}}$ 在代数闭域上同构于乘法群 $k^{\ast }$
3.	加性约化 (不稳定) , 若 $\tilde{E}$ 奇点为尖点

上述类型直接从极小方程计算 $\Delta ,c_4$ 的赋值就可以看出. 后二者统称为坏约化, 对此, 我们可以进一步讨论扩域上的约化.

命题 7.4.2. (半稳定约化定理)

1.	$K^{\prime }/K$ 为非分歧扩张, 则 $E$ 约化类型不改变
2.	$K^{\prime }/K$ 有限扩张, $E/K$ 有半稳定或稳定约化, 则 $E/K^{\prime }$ 约化类型不变
3.	存在有限扩张 $K^{\prime }/K$, 使得 $E/K^{\prime }$ 约化至少是半稳定的

证明. 为了简便, 只证 (1) 的 $\mathrm{char}k\ge 5$ 情况. 此时极小方程化为$$y^2=x^3+Ax+B$$$v^{\prime }$ 是 $K^{\prime }$ 上 $v$ 延拓的赋值, 若变换 $x=(u^{\prime }{)}^2{x}^{\prime },y=(u^{\prime }{)}^3{y}^{\prime }$ 产生 $K^{\prime }$ 上的极小方程 (注: 此类变换是保持此形式的唯一变换), 由于 $K^{\prime }$ 非分歧, 素元仍为 $\pi$, 于是存在 $u\in K$, 使 $u/u^{\prime }\in R^{\prime \ast }$. 那么以 $(x,y)=(u^2{x}^{\prime },u^3{y}^{\prime })$ 变换原方程, 仍为极小. 此时: $v(u^{-12}\Delta )=v^{\prime }(u^{-12}\Delta )=v^{\prime }(u^{\prime -12}\Delta )$, 而 $v(u)=0$, 因为这是 $K$ 上极小方程的变换, 这迫使 $u^{\prime }\in R^{\prime \ast }$, 即 $E$ 本身就是 $K^{\prime }$ 上极小, 于是 $v(\Delta )=v^{\prime }(\Delta ),v(c_4)=v^{\prime }(c_4)$, 二者约化相同.

$\square$

定义 7.4.3. $E/K$ 有潜在好约化 (potential good reduction), 若有有限扩张 $K^{\prime }/K$ 使 $E/K^{\prime }$ 好约化.

有关潜在好约化亦有不变量的刻画:

命题 7.4.4. $E/K$ 有潜在好约化, 当且仅当 $j(E)\in R$.

证明. 一方面, $E/K^{\prime }$ 好约化, 则 ${\Delta }^{\prime }\in R^{\prime \ast }$, $j(E)=(c_4^{\prime }{)}^3/{\Delta }^{\prime }\in R^{\prime }\cap K=R$.

另一方面, 方便起见设 $\mathrm{char}k\ne 2$, 我们考虑在 $K^{\prime }$ 上 $E$ 为 Legendre 方程$$y^2=x(x-1)(x-a)$$$a，j$ 满足一个代数方程, $j\in R$ 即推出好约化.

$\square$

对于潜在好约化, 不变量是直接的刻画, 从 Galois 群角度还有更定性的描述.

7.5Néron-Ogg-Shafarevich 判别法

$K^{ur}$ 表示极大非分歧扩张, $I_v$ 表示惯性群, 这是固定 $K^{ur}$ 的 Galois 群, 借此将非分歧概念延伸到集合上:

定义 7.5.1. 带有 $\mathrm{Gal}(K^{al}/K)$ 作用的集合 $X$ 称为非分歧, 若 $I_v$ 作用平凡.

容易看出 $E/K$ 为椭圆曲线时, 挠部分 $E[m],T_{\ell }(E)$ (注意, 按约定此是在代数闭包上) 均为 $\mathrm{Gal}(K^{al}/K)$ 集, 其分歧性与 $\tilde{E}$ 的光滑性相关.

定理 7.5.2. (NOS 判别法) 以下条件等价

1.	$E/K$ 好约化
2.	$E[m]$ 非分歧, 对 $(m,\mathrm{char}k)=1$
3.	某个 $\ell \ne \mathrm{char}k$, $T_{\ell }(E)$ 非分歧
4.	$E[m]$ 在无穷多个 $m$ 处非分歧

证明. (2) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (4) 显然, 下推其余部分

(1) $\Rightarrow$ (2)

设 $K$ 上好约化, $K^{\prime }$ 使得 $E[m]\subset E(K^{\prime })$, 根据好约化得取 $K$ 上极小方程, 有 $v(\Delta )=0$, 那么 $v^{\prime }(\Delta )=0$, 于是在 $K^{\prime }$ 上仍为极小方程, 且好约化. 根据 7.3.1, $E[m]=E(K^{\prime })[m]\hookrightarrow \tilde{E}(k^{\prime })$. 考虑 $g\in I_v$ 的作用, 其在 $\tilde{E}(k^{\prime })$ 上平凡, 于是 $P\in E[m]$, 则 $\tilde{O}=\widetilde{P^g}-\tilde{P}=\widetilde{P^g-P}$, 所以由单射 $P^g=P$, 即平凡作用.

(4) $\Rightarrow$ (1)

我们需要援引一个事实: $E(K)/E_0(K)$ 是有限群, 这是 Néron 模型存在性的推论, 在此不证. 现在取 $m$ 充分大, 使 $(m,\mathrm{char}k)=1$, $m>|E(K^{ur})/E_0(K^{ur})|$, $E[m]$ 非分歧, 那么知 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^2\simeq E[m]\subset E(K^{ur})$. 考量正合列: $$\begin{gathered} 0\to E_0(K^{ur})\to E(K^{ur})\to E(K^{ur})/E_0(K^{ur})\to 0 \\ 0\to E_1(K^{ur})\to E_0(K^{ur})\to {\tilde{E}}_{\mathrm{ns}}(k^{al})\to 0 \end{gathered}$$那么 $E(K^{ur})$ 中的 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^2$ 不能全落在商中, 于是 $E_0(K^{ur})$ 含有形如 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^2$ 的子群. 但 $E_1(K^{ur})$ 不含 $p$ 阶元 (7.3.1), 所以 ${\tilde{E}}_{\mathrm{ns}}(k^{al})$ 中含 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^2$. 若 $K^{ur}$ 约化不好, 分为乘性 () 和加性. 加性 ${\tilde{E}}_{\mathrm{ns}}(k^{al})\simeq k^{al}$ 显然没有 $p$ 阶元, 而乘性的 $p$ 挠群为单位根, 由代数闭性知只能是 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, 均矛盾. 于是 $K^{ur}$ 好约化, 由 7.4.2 知 $K$ 好约化.

$\square$

利用同源映射挠部分作为 Galois 群模几乎同构 (因为有对偶同源) , 知同源同时有好的约化. 应用 NOS 于潜在好约化:

命题 7.5.3. $E/K$ 有潜在好约化, 若 $I_v$ 在某个 $\ell \ne \mathrm{char}k$ 的 $T_{\ell }(E)$ 上的作用透过有限商.

证明. 一方面, $K^{\prime }/K$ 上好约化, 则 $I_{v^{\prime }}$ 作用于 $T_{\ell }(E)$ 平凡, 所以 $I_v$ 作用实际上透过 $I_v/I_{v^{\prime }}$, 为有限商.

另一方面, 若透过商 $I_v/J$, 那么设 $K^{al}$ 的 $J$ 固定域为 $L$, 其为 $K^{ur}$ 的有限扩张, 分解为 $L=K^{\prime }{K}^{ur}$, 这里 $K^{\prime }/K$ 有限, 且 $K^{\prime }$ 惯性群为 $J$, $J$ 平凡作用于 $T_{\ell }(E)$, 于是好约化.

$\square$

7.6习题

7.6.1. $K/{\mathbb{Q}}_p$ 有限扩张, $E/K$ 带有复乘, 则 $E$ 有潜在好约化