67. L2 上的 Fourier 变换, Schwartz 空间

$L^2({\mathbb{R}}^n)$ 上的 Fourier 变换

利用 Fourier 逆变换, 我们可以在 $L^2$ 上定义 Fourier 变换. 注意到, 对于 $f\in L^2({\mathbb{R}}^n)$, 积分$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-ix\cdot \xi }f(x)dx$$可能并没有定义, 比如 ${\mathbb{R}}^1$ 上的函数$$f(x)=\frac{1}{1+|x|}.$$

注意到, $C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)\subset L^2({\mathbb{R}}^n)$ 是稠密的子空间. 我们任意选取 $f\in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, 很明显, $\hat{f}\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ (因为光滑性意味着衰减很快, 所以可积) . 另外, 我们有$$\overline{\hat{f}}(\xi )={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{ix\cdot \xi }\overline{f(x)}dx=(2\pi {)}^n{\mathcal{F}}^{-1}(\overline{f})(\xi ).$$所以, 我们有$$\begin{array}{rl}\Vert \hat{f}(\xi ){\Vert }_{L^2}^2& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\hat{f}(\xi )\overline{\hat{f}(\xi )}d\xi \\ & =(2\pi {)}^n{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\hat{f}(\xi ){\mathcal{F}}^{-1}(\overline{f(\xi )})d\xi \\ & =(2\pi {)}^n{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)\mathcal{F}\left({\mathcal{F}}^{-1}\left(\overline{f(\xi )}\right)\right)(x)d\xi \\ & =(2\pi {)}^n{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)\overline{f}(x)d\xi .\end{array}$$从而, $$\Vert \hat{f}(\xi ){\Vert }_{L^2}=(2\pi {)}^{\frac{n}{2}}\Vert f{\Vert }_{L^2}.$$这表明定义在 $L^2({\mathbb{R}}^n)$ 是稠密的子空间 $C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 上的 Fourier 变换$$\mathcal{F}:C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)\to L^2({\mathbb{R}}^n),f\mapsto \hat{f}$$是连续的.

根据连续线性映射扩张的定理, 我们就证明了

定理 67.1 ($L^2$ 上的 Fourier 变换与 Planchrel 公式). 我们可以定义 Fourier 变换 $\mathcal{F}$: $$\mathcal{F}:L^2({\mathbb{R}}^n)\to L^2({\mathbb{R}}^n)$$使得$$(2\pi {)}^{\frac{n}{2}}\mathcal{F}:L^2({\mathbb{R}}^n)⟶L^2({\mathbb{R}}^n)$$是等距同构.

特别地, 对于 $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)\cap L^2({\mathbb{R}}^n)$, 我们有$$\Vert \hat{f}{\Vert }_{L^2}^2=(2\pi {)}^n\Vert f{\Vert }_{L^2}^2.$$通过极化, 我们有对任意的 $f,g\in L^2({\mathbb{R}}^n)$, 我们有$$(\hat{f},\hat{g}{)}_{L^2}=(2\pi {)}^n(f,g{)}_{L^2}.$$

证明. 上述一切叙述对 $C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 是成立的. 对一般的 $f\in L^2({\mathbb{R}}^n)$, 用 $C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 中函数逼近即可.

$\square$

注记. 上面的定理定义了 $f\in L^2({\mathbb{R}}^n)$ 的 Fourier 变换, 为了行文清楚, 我们暂且把 $L^2$ 意义下的 Fourier 变换记作 ${\mathcal{F}}_2$. 另外, 对于 $g\in L^1({\mathbb{R}}^n)$, 它的 Fourier 变换是可以用 Fourier 积分表示的, 我们把它记做 ${\mathcal{F}}_1$, 也就是说$${\mathcal{F}}_1(g)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}g(x)e^{-ix\xi }dx.$$那么, 对于 $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)\cap L^2({\mathbb{R}}^n)$, 我们有$${\mathcal{F}}_1(f)={\mathcal{F}}_2(f).$$这个有趣的验证我们留作作业.

例子. 考虑 ${\mathbb{R}}^1$ 上的 $L^2$-函数$$u(x)=(1+|x|{)}^{-\alpha },$$其中, $\frac{1}{2}<\alpha ⩽1$. 很明显, 我们知道 $e^{-ix\xi }u(x)\notin L^1({\mathbb{R}}_x)$, 所以我们不能直接用 $L^1$-函数的 Fourier 积分来写它的 Fourier 变换. 然而, 我们知道$$u_n(x)=u(x)1_{|x|⩽n}$$是 $L^1$ 的, 我们可以先显式写下 $u_n$ 的 Fourier 变换. 由于序列 $\{u_n{\}}_{n⩾1}$ 在 $L^2$ 中逼近 $u$, 所谓, 我们有$$\hat{u}\stackrel{L^2}{=}\underset{n\to }{\lim }\widehat{u_n}.$$

练习. 证明, 对任意的 $f\in L^2({\mathbb{R}}^n)$, 我们都有$$\hat{\hat{f}}=(2\pi {)}^n\check{f}\iff {\mathcal{F}}^2(f)=(2\pi {)}^n\check{f}.$$

Schwartz 空间

对任意的给定的函数 $f$, 对任意的多重指标 $\alpha$, 我们采用如下的符号: $$x^{\alpha }f(x)=x_1^{{\alpha }_1}\cdots x_n^{{\alpha }_n}f(x_1,\cdots ,x_n).$$

定义 67.2 (Schwartz 空间). 函数 $\phi$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的光滑函数. 如果 $\phi$ 满足如下的条件: 对任意的多重指标 $\alpha$, $\beta$, 我们都有$$x^{\alpha }{\partial }^{\beta }\phi (x)\in L^{\infty }({\mathbb{R}}^n),$$那么, 我们就称 $\phi$ 是一个 Schwartz 函数或者是一个速降的函数. 我们把 ${\mathbb{R}}^n$ 上所有的 Schwartz 函数所构成的线性空间称作是 Schwartz 空间, 并记作 $\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$.

对于每个非负整数 $p\in {\mathbb{Z}}_{⩾0}$, 我们定义如下的 (一族) 范数: $$\begin{gathered} N_p(\phi )=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{|\alpha |⩽p, \\ }{|\beta |⩽p}}\Vert x^{\alpha }{\partial }^{\beta }\phi (x){\Vert }_{L^{\infty }({\mathbb{R}}^n)}. \end{gathered}$$

在 $\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 上, 我们规定如下的收敛性 (拓扑) : 给定 Schwartz 函数的序列 $\{{\phi }_k{\}}_{p=1,2,\cdots }\subset \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$, 它收敛到 Schwartz 函数 $\phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$, 指的是对任意的非负整数 $p$, 我们都有$$\underset{n\to \infty }{\lim }{N}_p({\phi }_n-\phi )=0.$$我们把这个极限简写成$${\phi }_k\stackrel{\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)}{⟶}\phi .$$

例子. 我们已经见过很多 Schwartz 函数

•	$\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)\subset \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$;
•	$e^{-x^2}\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$;
•	对于 Schwartz 函数 $\phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$, 对它求若干次导数或者乘以一个多项式仍然是一个 Schwartz 函数, 即对任意的多重指标 $\alpha$, $\beta$, 我们有$$\begin{array}{rl}{x}^{\alpha }& :\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)\to \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n),\\ {\partial }^{\beta }& :\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)\to \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n).\end{array}$$

上面例子的验证我们留作作业.

给定一个 Schwartz 函数, 我们对它有如下的估计: 对于任何的多重指标 $\alpha$ 和 $\beta$, 其中 $|\alpha |,|\beta |⩽p$, 我们有$$|(1+|x|{)}^{n+1}{x}^{\alpha }{\partial }^{\beta }\phi (x)|⩽N_{p+n+1}(\phi ),$$其中, $n$ 是空间的维数. 从而, 对任意的 $x\in {\mathbb{R}}^n$, 我们有$$|x^{\alpha }{\partial }^{\beta }\phi (x)|⩽\frac{N_{p+n+1}(\phi )}{(1+|x|{)}^{n+1}}.$$上式右边的函数是可积的, 所以, $$\Vert x^{\alpha }{\partial }^{\beta }\phi (x){\Vert }_{L^1({\mathbb{R}}^n)}⩽C_n{N}_{p+d+1}(\phi ).$$特别地, 我们可以对 $x^{\alpha }{\partial }^{\beta }\phi (x)$ 用 Fourier 积分来定义其 Fourier 变换. 作为推论, 我们还知道$$\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)\subset L^1({\mathbb{R}}^n).$$

另外, 以上的估计是常用的技巧, 在后面的不少场合都会用到.

定理 67.3. $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ 在 $\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 中是稠密的, 即对任意的 $\phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$, 存在函数序列 $\{{\phi }_n{\}}_{n⩾1}\subset \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$, 使得$${\phi }_k\stackrel{\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)}{⟶}\phi .$$

证明. 我们选取有紧支集的光滑函数 $\chi (x)$, 使得$$\{\begin{array}{ll}\chi (x)=1,& |x|=1;\\ 0⩽\chi (x)⩽1.& \end{array}$$对于 $\phi (x)\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$, 我们令$${\phi }_k(x)=\chi \left(\frac{x}{k}\right)\phi (x)\in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n).$$我们只要证明, 对任意的非负整数 $p$, 我们有$$N_p({\phi }_k-\phi )\to 0,$$即可. 对于满足 $|\alpha |⩽p,|\beta |⩽p$ 的多重指标, 我们有$$\begin{array}{rl}{x}^{\alpha }{\partial }^{\beta }(\phi -{\phi }_k)& =x^{\alpha }{\partial }^{\beta }\left(\left(1-\chi \left(\frac{x}{k}\right)\right)\phi \right)\\ & =\left(1-\chi (\frac{x}{k})\right)x^{\alpha }{\partial }^{\beta }\phi -\underset{⟶0,k\to \infty }{\underbrace{\sum _{0\ne \gamma ⩽\beta }\frac{1}{k^{|\gamma |}}\frac{\beta !}{\gamma !(\beta -\gamma )!}\underset{|\cdot |⩽N_p(\phi )}{\underbrace{x^{\alpha }{\partial }^{\beta -\gamma }\phi (x)}}\left({\partial }^{\gamma }\chi \right)\left(\frac{x}{k}\right)}}\end{array}$$上式的第二个求和部分有 $k^{-1}$ 这样的衰减因子, 所以极限为 $0$. 对于第一项, 由于 $\chi$ 在半径为 $1$ 的球内部为 $1$, 所以然而, 我们有$$\begin{array}{rl}|(1-\chi (\frac{x}{k}))x^{\alpha }{\partial }^{\beta }\phi |& ⩽1_{|x|⩾k}(x)\cdot |x{|}^{-2}\cdot |x^{\alpha +2}{\partial }^{\beta }\phi |\\ & ⩽\frac{1}{k^2}{N}_{p+2}(\phi )\to 0.\end{array}$$这就完成了证明.

$\square$

我们现在研究 Schwartz 函数的 Fourier 变换. 我们已经证明了 $\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)\subset L^1({\mathbb{R}}^n)$, 所以, $\phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 的 Fourier 变换还是可以用积分公式$$\mathcal{F}(\phi )(\xi )=\hat{\phi }(\xi )={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\phi (x)e^{-ix\cdot \xi }dx$$来表示.

定理 67.4 ($\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 上的 Fourier 变换). 如果 $\phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 是 Schwartz 函数, 那么, $\hat{\phi }\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$. 在 Schwartz 函数空间上的 Fourier 变换: $$\mathcal{F}:\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)⟶\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n),\phi \mapsto \hat{\phi }(\xi ),$$满足如下的性质: 对任意的 $p\in {\mathbb{Z}}_{⩾0}$, 存在常数 $C_p>0$, 使得对每个 $\phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$, 我们都有$$N_p(\hat{\phi })⩽C_p{N}_{p+n+1}(\phi ).$$特别的, $\mathcal{F}:\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)⟶\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 是连续的线性同构, 即对任意的在 $\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 中收敛的函数序列$${\phi }_k\stackrel{\mathcal{S}}{⟶}\phi ,k\to \infty ,$$我们有那$$\widehat{{\phi }_k}\stackrel{\mathcal{S}}{⟶}\hat{\phi },k\to \infty .$$另外, 对任意的 $\phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$, 我们还有公式$$\widehat{{\partial }_k\phi }=i{\xi }_k\hat{f},\widehat{x_k\phi }=i{\partial }_k\hat{\phi }.$$

证明. 我们首先证明叙述中的最后两个恒等式. 对任意的 Schwartz 函数 $\phi$, 对任意的 $k⩽n$, 利用分部积分, 我们有$$\begin{array}{rl}\widehat{{\partial }_k\phi }(\xi )& =-{\int }_{{\mathbb{R}}^n}(-i{\xi }_k)e^{-ix\cdot \xi }\phi (x)dx=i{\xi }_k\hat{\phi }(\xi ).\end{array}$$第二个等式要用 Lebesgue 控制收敛的推论 (积分与求导数可交换) , 我们有$$\begin{array}{rl}{\partial }_{{\xi }_k}\hat{\phi }(\xi )& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}(-i{x}_k)e^{-ix\cdot \xi }\phi (x)dx=\widehat{-i{x}_k\phi }(\xi ).\end{array}$$

现在证明定理中的不等式 (从而证明了 Fourier 变换 $\mathcal{F}$ 的像也落在 $\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 中) . 固定两个多重指标 $\alpha$ 和 $\beta$, 其中 $|\alpha |,|\beta |⩽p$. 利用已经证明的公式, 我们就有$$\begin{array}{rl}|{\xi }^{\alpha }{\partial }_{\xi }^{\beta }\hat{\phi }(\xi )|& =|\widehat{{\partial }^{\alpha }(x^{\beta }\phi )}(\xi )|⩽\Vert {\partial }^{\alpha }(x^{\beta }\phi )(x){\Vert }_{L^1}\\ & ⩽C_p{N}_{p+n+1}(\phi ).\end{array}$$Fourier 变换的连续性可以通过这个不等式得到: 对任意给定 $p$, 我们有$$N_p(\widehat{{\phi }_k}-\hat{\phi })⩽C_p{N}_{p+n+1}({\phi }_k-\phi )\to 0,$$按照定义, 我们就有$$\widehat{{\phi }_k}\stackrel{\mathcal{S}}{⟶}\hat{\phi },k\to \infty .$$

最后, 我们来说明 $\mathcal{F}$ 是同构. 实际上, 我们可以定义直接考虑 Fourier 变换的逆 ${\mathcal{F}}^{-1}$, 因为 $\hat{\phi }\in L^1$, 所以之前定义的 ${\mathcal{F}}^{-1}$ 在此也是良好定义的. 此时, 我们已经证明了 $\mathcal{F}$ 与 ${\mathcal{F}}^{-1}$ 互为逆映射, 所以命题得证 (${\mathcal{F}}^{-1}$ 也是连续的) .

$\square$

定义 67.5 (缓增的分布). 假设 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ 是一个分布. 如果存在非负整数 $p$ 和常数 $C>0$, 使得对每个 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$, 我们都有$$|⟨u,\phi ⟩|⩽C{N}_p(\phi ),$$我们就说 $u$ 是一个缓增的分布. 我们用 ${\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ 来表示所有缓增分布的集合, 很明显$${\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)\subset {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$$是线性子空间.

定理 67.6 (${\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)\times \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)\to \mathbb{R}$). 对任意的 $u\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 存在唯一一个线性泛函$$T_u:\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)\to \mathbb{C},$$使得存在非负整数 $p$ 和常数 $C>0$, 对每个 $\phi \in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 我们都有$$|T_u(\phi )|⩽C{N}_p(\phi ),$$并且对于任意的 $\psi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$, 都有$$T_u(\psi )=⟨u,\psi ⟩.$$在后面的场合, 为了简单起见, 我们仍将此线性泛函的作用记作 $⟨u,\cdot ⟩$.

证明. 利用 $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)\subset \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 的稠密性, 我们用极限的形式来定义 $T_u$: 对任意给定的 $\phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$, 我们选取试验函数序列 $\{{\phi }_k{\}}_{k⩾1}\subset \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$, 使得$${\phi }_k\stackrel{\mathcal{S}}{⟶}\phi .$$我们令$$T_u(\phi )=\underset{k\to \infty }{\lim }⟨u,{\phi }_k⟩.$$当然, 我们需要说明上述极限存在并且不依赖于逼近序列的选取.

利用 $u\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ 的定义, 存在 $C_0$ 和 $p_0$, 使得对任意的 $k,\ell ⩾1$, 我们都有$$\left|⟨u,{\phi }_k-{\phi }_{\ell }⟩\right|⩽C_0{N}_{p_0}({\phi }_k-{\phi }_{\ell }).$$再利用 ${\phi }_k\stackrel{\mathcal{S}}{⟶}\phi$ 的定义, 我们有$$N_{p_0}({\phi }_k-\phi )\to 0.$$所以, 我们有$$\begin{array}{rl}\left|N_{p_0}({\phi }_k)-N_{p_0}({\phi }_{\ell })\right|& =N_{p_0}({\phi }_k-{\phi }_{\ell })\\ & ⩽N_{p_0}({\phi }_k-\phi )+N_{p_0}({\phi }_{\ell }-\phi )\stackrel{k,\ell \to \infty }{⟶}0.\end{array}$$这说明 $\{⟨u,{\phi }_k⟩{\}}_{k⩾1}$ 是 Cauchy 列, 所以所讨论的极限是存在的.

下面再说明这个极限不依赖于逼近序列 $\{{\phi }_k{\}}_{k⩾1}\subset \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ 的选取. 假设 $\{{\psi }_k{\}}_{k⩾1}\subset \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ 是另一个逼近序列, 那么, 我们有$$\begin{array}{rl}\left|N_{p_0}({\phi }_k)-N_{p_0}({\psi }_k)\right|& =N_{p_0}({\phi }_k-{\psi }_k)\\ & ⩽N_{p_0}({\phi }_k-\phi )+N_{p_0}({\phi }_{\ell }-\phi )\stackrel{k,\ell \to \infty }{⟶}0.\end{array}$$所以, $$\left|⟨u,{\phi }_k⟩-⟨u,{\psi }_k⟩\right|⩽C_0{N}_{p_0}({\phi }_k-{\psi }_k)\to 0.$$所以, $$\underset{k\to \infty }{\lim }⟨u,{\phi }_k⟩=\underset{k\to \infty }{\lim }⟨u,{\psi }_k⟩.$$最后, 我们证明 $T_{\mu }$ 所满足的不等式: $$\begin{array}{rl}\left|⟨u,{\phi }_k⟩\right|& ⩽C_0{N}_{p_0}({\phi }_k)⩽C_0\left(\underset{\to 0,k\to \infty }{\underbrace{N_{p_0}({\phi }_k-\phi )}}+N_{p_0}(\phi )\right)\end{array}$$两边同时取极限, 这就完成了定理的证明.

$\square$