作业: Fourier 逆变换, 分布的扩张与张量积

习题 A. (课堂细节的补充) 我们总假设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是非空的开集.

A1)	在第七课中 (命题 43) , 对于 $u,v\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 其中 $\mathrm{supp}(u)$ 和 $\mathrm{supp}(v)$ 是可卷的, 我们定义了$$u\ast v\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n).$$我们课程上没有验证 $u\ast v$ 满足分布定义中所要求的不等式. 试补充这部分的细节.
A2)	对于 $u,v,w\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 假设 $\mathrm{supp}(u)$, $\mathrm{supp}(v)$ 和 $\mathrm{supp}(w)$ 是可卷的. 试证明: 1) $\mathrm{supp}(u\ast v)\subset \mathrm{supp}(u)+\mathrm{supp}(v)$; 2) $u\ast v=v\ast u$; 3) $(u\ast v)\ast w=u\ast (v\ast w)$;
A3)	在第七课中, 对于给定的光滑初始值, 我们证明 ${\mathbb{R}}^{1+3}$ 上的波动方程的解的表示公式: 对于 $t⩾0$, 有$$u(t,x)=-t{\int }_{{\mathbf{S}}^2}{u}_1(x-t{\vartheta }^{\prime })\frac{d{\sigma }_{{\mathbf{S}}^2}({\vartheta }^{\prime })}{4\pi }-{\partial }_t\left[t{\int }_{{\mathbf{S}}^2}{u}_0(x-t{\vartheta }^{\prime })\frac{d{\sigma }_{{\mathbf{S}}^2}({\vartheta }^{\prime })}{4\pi }\right].$$证明的过程中我们假设了初始值 $u_0$ 和 $u_1$ 都有紧支集. 证明, 这个紧支集的要求是冗余的.
A5)	证明, 对任意的 $f\in L^2({\mathbb{R}}^n)$, 我们都有$$\hat{\hat{f}}=(2\pi {)}^n\check{f}\iff {\mathcal{F}}^2(f)=(2\pi {)}^n\check{f}.$$
A4)	把 $L^2$ 意义下的 Fourier 变换记作 ${\mathcal{F}}_2$; $L^1$ 函数的 Fourier 变换可以用 Fourier 积分表示的, 我们把它记做 ${\mathcal{F}}_1$. 证明, 对于 $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)\cap L^2({\mathbb{R}}^n)$, 我们有$${\mathcal{F}}_1(f)={\mathcal{F}}_2(f).$$
A6)	对于 Schwartz 函数 $\phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$, 对它求若干次导数或者乘以一个多项式仍然是一个 Schwartz 函数, 即对任意的多重指标 $\alpha$, $\beta$, 我们有$$\begin{array}{rl}{x}^{\alpha }& :\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)\to \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n),\\ {\partial }^{\beta }& :\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)\to \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n).\end{array}$$
A7)	(平移不变算子与卷积) 给定连续 $\mathbb{C}$-线性映射 (线性算子) $$T:C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)\to C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n),$$其中, 连续性指的是对任意的紧集 $K\subset {\mathbb{R}}^n$, 对任意的非负整数 $p$, 存在紧集 $L\subset {\mathbb{R}}^n$、非负整数 $q$ 和常数 $C>0$, 使得对任意的 $\phi \in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, 我们都有$$\underset{|\alpha |⩽p}{\sup }\Vert {\partial }^{\beta }(T\phi ){\Vert }_{L^{\infty }(K)}⩽C\underset{|\beta |⩽q}{\sup }\Vert {\partial }^{\beta }\phi {\Vert }_{L^{\infty }(L)}.$$我们假设 $T$ 与 ${\mathbb{R}}^n$ 上的平移算子交换, 即对任意的 $a\in {\mathbb{R}}^n$, 对任意的 $\phi \in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, 我们都有$$T\left({\tau }_a\phi \right)={\tau }_a\left(T(\phi )\right).$$证明, 存在 $u\in {\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 使得对任意的 $\phi \in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, 我们都有$$T(\phi )=u\ast \phi .$$

习题 B. 一个分布的问题

对于 $\lambda \in (-2,+\infty )$ 和 $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, 我们定义$$⟨u_{\lambda },\phi ⟩={\int }_0^1{x}^{\lambda }(\phi (x)-\phi (0))dx.$$

B1)	证明, $u_{\lambda }\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 并确定它的阶和支集.
B2)	证明, $u_{\lambda }\notin L^2(\mathbb{R})$.
B3)	证明, $x{u}_{\lambda }\in L^2(\mathbb{R})$.
B4)	证明, 当 $\lambda \in (-2,+\infty )$ 时, 我们有$$(u_{\lambda +1}{)}^{\prime }=(\lambda +1)u_{\lambda }-{\delta }_1+{\delta }_0-\frac{1}{\lambda +2}{\delta }_0^{\prime }.$$
B5)	对于 $\lambda \in (-2,-1)\cup (-1,+\infty )$, 试找出 $u_{\lambda }$ 的一个原函数, 即某个 $v_{\lambda }\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$, 使得$$v_{\lambda }^{\prime }=u_{\lambda }.$$
B6)	对于 ${\lambda }_0\in (-2,+\infty )$, 证明, 当 $\lambda \to {\lambda }_0$ 时, 我们有$$u_{\lambda }\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})}{⟶}{u}_{{\lambda }_0}.$$
B7)	证明, 当 $\lambda \to -2$ 时 ($\lambda >-2$) , $\underset{\lambda \to -2}{\lim }(\lambda +2)u_{\lambda }$ 作为分布的极限存在并计算该分布.
B8)	证明, 存在 $v_{-1}\in L^2(\mathbb{R})$, 使得 $u_{-1}=(v_{-1}{)}^{\prime }$.

习题 C. Fourier 逆变换的另一个计算

我们对 $f\in L^1(\mathbb{R})$, 定义其 Fourier 逆变换为$$({\mathcal{F}}^{-1}f)(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{e}^{ix\xi }f(\xi )d\xi .$$

C1)	对正数 $a>0$, 试计算积分$${\int }_0^{\infty }\cos (ax)e^{-x}dx.$$
C2)	我们定义函数$$h(\xi )=e^{-|\xi |},d(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}.$$证明, $$d(x)=\left({\mathcal{F}}^{-1}h\right)(x).$$
C3)	给定 $\epsilon >0$, 定义$$h_{\epsilon }(\xi )=h(\epsilon \xi ),d_{\epsilon }(x)=\frac{1}{\epsilon }d\left(\frac{x}{\epsilon }\right).$$证明, $$\left({\mathcal{F}}^{-1}{h}_{\epsilon }\right)(x)=d_{\epsilon }(x).$$
C4)	证明, $$(f\ast d_{\epsilon })(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{h}_{\epsilon }(\xi )\hat{f}(\xi )e^{ix\xi }d\xi .$$
C5)	证明, 函数$$g(y)={\int }_{\mathbb{R}}|f(x-y)-f(x)|dx$$是 $\mathbb{R}$ 上的有界连续函数.
C6)	证明, 当 $\epsilon \to 0$ 时, 我们有$$\Vert f\ast {\delta }_{\epsilon }-f{\Vert }_{L^1}\to 0.$$
C7)	证明, 存在序列 $\{{\epsilon }_k{\}}_{k⩾1}$, 使得 ${\epsilon }_n\to 0$ 并且$$(f\ast {\delta }_{\epsilon })(x)\to f(x)$$几乎处处成立.
C8)	假设 $\hat{f}(\xi )\in L^1(\mathbb{R})$, 证明,$$\left({\mathcal{F}}^{-1}\hat{f}\right)(x)=f(x)$$几乎处处成立.

习题 D. 关于分布扩张的一个问题

D1)	证明, 线性映射$$\mathcal{D}(\mathbb{R})\to \mathbb{R},\phi \mapsto \sum _{k=1}^{\infty }\left(\phi (\frac{1}{k})-\phi (0)\right),$$定义了 $\mathbb{R}$ 上的分布并确定该分布的支集.
D2)	给定实数序列 $\{{\alpha }_k{\}}_{k⩾1}\subset \mathbb{R}$, 考虑如下两个线性映射$$\begin{array}{rl}u& :\mathcal{D}((0,+\infty ))\to \mathbb{R},\phi \mapsto u(\phi )=\sum _{k=1}^{\infty }{\alpha }_k\phi \left(\frac{1}{k}\right),\\ v& :\mathcal{D}((0,+\infty ))\to \mathbb{R},\phi \mapsto v(\phi )=\sum _{k=1}^{\infty }{\alpha }_k{\phi }^{(k)}\left(\frac{1}{k}\right),\end{array}$$其中 ${\phi }^{(k)}$ 为 $\phi$ 的 $k$-阶导数. 证明, $u$ 和 $v$ 是 $(0,+\infty )$ 上的分布.
D3)	证明, 如下两个命题等价: ∘ $u$ 是 $\mathbb{R}$ 上某个分布的限制, 即存在 $\tilde{u}\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$, 使得 $u=\tilde{u}{|}_{(0,\infty )}$; ∘ 序列 $\{{\alpha }_k{\}}_{k⩾1}$ 是多项式增长的, 即存在正实数 $C>0$ 和正整数 $\ell$, 使得对任意的 $k⩾1$, 我们都有$$|{\alpha }_k|⩽C{k}^{\ell }.$$
D4)	证明, 如下两个命题等价: ∘ $v$ 是 $\mathbb{R}$ 上某个分布的限制, 即存在 $\tilde{v}\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$, 使得 $v=\tilde{v}{|}_{(0,\infty )}$; ∘ 序列 $\{{\alpha }_k{\}}_{k⩾1}$ 是具有紧支集, 即存在正整数 $k_0$, 使得当 $k⩾k_0$ 时, 有 ${\alpha }_k=0$.
D5)	给定 $f\in L_{\mathrm{loc}}^1((0,\infty ))$, 其中 $f⩾0$ 几乎处处成立. 证明, 如下两个命题等价: ∘ $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上某个分布的限制, 即存在 $w\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$, 使得 $f=w{|}_{(0,\infty )}$, 亦即对任意 $\phi \in \mathcal{D}((0,\infty ))$, 我们有$$⟨w,\phi ⟩={\int }_0^{+\infty }f(x)\phi (x)dx;$$ ∘ 存在实数 $C>0$ 和正整数 $\ell$, 使得对一切 $\epsilon \in (0,1)$, 我们都有$${\int }_{\epsilon }^{1}f(x)dx⩽\frac{C}{{\epsilon }^{\ell }}.$$

习题 E. 分布的张量积

假设 ${\Omega }_1\subset {\mathbb{R}}^{n_1}$ 和 ${\Omega }_2\subset {\mathbb{R}}^{n_2}$ 是两个非空的开集.

E1)	对于 $u_1\in C({\Omega }_1)$ 和 $u_2\in C({\Omega }_2)$, 我们定义它们的张量积 $u_1\otimes u_2$ 为 ${\Omega }_1\times {\Omega }_2$ 上的连续函数$$(u_1\otimes u_2)(x_1,x_2)=u_1(x_1)u_2(x_2).$$证明, 对任意的 $\phi (x_1,x_2)\in \mathcal{D}({\Omega }_1\times {\Omega }_2)$, 其中 $x_1\in {\Omega }_1$, $x_2\in {\Omega }_2$, 我们有$$⟨u_1\otimes u_2,\phi ⟩=⟨u_1(x_1),⟨u_2(x_2),\phi (x_1,x_2)⟩⟩.$$特别地, (证明) ${\phi }_1\in \mathcal{D}({\Omega }_1)$ 和 ${\phi }_2\in \mathcal{D}({\Omega }_2)$, 那么, ${\phi }_1\otimes {\phi }_2\in \mathcal{D}({\Omega }_1\times {\Omega }_2)$ 并且$$⟨u_1\otimes u_2,{\phi }_1\otimes {\phi }_2⟩=⟨u_1,{\phi }_1⟩⟨u_2,{\phi }_2⟩.$$
E2)	对于 $u_1\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_1)$ 和 $u_2\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_2)$, 我们定义 $\mathcal{D}({\Omega }_1\times {\Omega }_2)$ 上的连续线性泛函: $$u:\mathcal{D}({\Omega }_1\times {\Omega }_2)\to \mathbb{C},\phi \mapsto ⟨u_1(x_1),⟨u_2(x_2),\phi (x_1,x_2)⟩⟩.$$证明, $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_1\times {\Omega }_2)$. 我们把它记做是 $u_1\otimes u_2$. 进一步验证, 如果 ${\phi }_1\in \mathcal{D}({\Omega }_1)$, ${\phi }_2\in \mathcal{D}({\Omega }_2)$, 那么$$⟨u_1\otimes u_2,{\phi }_1\otimes {\phi }_2⟩=⟨u_1,{\phi }_1⟩⟨u_2,{\phi }_2⟩.$$ 对于 $a_1\in {\Omega }_1$, $a_2\in {\Omega }_2$, 试计算 ${\delta }_{a_1}\otimes {\delta }_{a_2}$.
E3*)	我们定义 $\mathcal{D}({\Omega }_1\times {\Omega }_2)$ 的子空间: $$\mathcal{D}({\Omega }_1)\otimes \mathcal{D}({\Omega }_2)={\mathrm{span}}_{\mathbb{C}}\{{\phi }_1\otimes {\phi }_2|{\phi }_1\in \mathcal{D}({\Omega }_1),{\phi }_2\in \mathcal{D}({\Omega }_2)\}.$$证明, $\mathcal{D}({\Omega }_1)\otimes \mathcal{D}({\Omega }_2)$ 在 $\mathcal{D}({\Omega }_1\times {\Omega }_2)$ 中是稠密的. (提示: 先证明对任意的 $\phi \in \mathcal{D}({\Omega }_1\times {\Omega }_2)$, 存在关于 $x_1\in {\mathbb{R}}^{n_1},x_2\in {\mathbb{R}}^{n_2}$ 的多项式序列 $\{P_k(x_1,x_2){\}}_{k⩾1}$, 使得对任意的多重指标 $\alpha$, 在 $\mathrm{supp}(\phi )$ 上, 当 $k\to \infty$ 时, ${\partial }^{\alpha }{P}_k$ 一致收敛到 ${\partial }^{\alpha }\phi$)
E4)	对于 $u_1\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_1)$ 和 $u_2\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_2)$, 证明, 存在唯一的分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_1\times {\Omega }_2)$, 使得对任意的 ${\phi }_1\in \mathcal{D}({\Omega }_1)$ 和 ${\phi }_2\in \mathcal{D}({\Omega }_2)$, 我们有$$⟨u,{\phi }_1\otimes {\phi }_2⟩=⟨u_1,{\phi }_1⟩⟨u_2,{\phi }_2⟩.$$
E5)	我们用 $(x_1,\cdots ,x_{n_1})$ 表示 ${\Omega }_1$ 上的坐标, 用 $(y_1,\cdots ,y_{n_2})$ 表示 ${\Omega }_2$ 上的坐标. 对于 $u_1\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_1)$ 和 $u_2\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_2)$ 和任意的 $1⩽k⩽n_1$, 证明, $${\partial }_{x_k}\left(u_1\otimes u_2\right)\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}\left({\partial }_{x_k}{u}_1\right)\otimes u_2.$$
E6)	对任意的非负整数 $k$, 考虑 ${\mathbb{R}}^n$ 上的常系数微分算子$$P={\partial }_1^{k+2}{\partial }_2^{k+2}\cdots {\partial }_n^{k+2}.$$证明, 函数$$E(x_1,\cdots ,x_n)=\left(\frac{x_1^{k+1}H(x_1)}{(k+1)!}\right)\otimes \left(\frac{x_2^{k+1}H(x_2)}{(k+1)!}\right)\otimes \cdots \otimes \left(\frac{x_n^{k+1}H(x_n)}{(k+1)!}\right),$$是 $C^k$ 的并且是 $P$ 的基本解, 其中 $H(x)$ 是 Heavisde 函数.