期中考试: 连续函数环的极大理想

考试时间为 2 小时 25 分钟. 两道大题之间是相互独立的. 考试中后面的问题可以使用前面问题的结论 (无论答题人是否已经得到正确的证明或者答案) .

题目 A 基本概念和技巧的考察 (共 8 小题)

A1)	试用 $\epsilon -N$ 语言证明: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n^2+1}=0$.
A2)	试用 $\epsilon -\delta$ 语言说明函数 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin \left(\frac{1}{x}\right),& x\ne 0;\\ 0,& x=0\end{array}$ 在 $x=0$ 处不连续.
A3)	计算极限: $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2\right)}^{\frac{1}{n}}$.
A4)	证明, 级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2n+1}{n^2(n+100{)}^2}$ 收敛.
A5)	给定实数的序列 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$, 假设级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛. 证明, 对任意的实数 $x\in (-1,1)$, 级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 也收敛. (提示: 利用 Abel 判别法)
A6)	假设 $f$ 是非空开区间 $(a,b)$ 上的连续函数, 证明, 对任意的 $x_1,x_2\in (a,b)$, 存在 $x_0\in (a,b)$, 使得$$f(x_0)=\frac{1}{2}(f(x_1)+f(x_2)).$$
A7)	假设函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是以 $1$ 为周期的连续函数, 即对任意的 $x\in \mathbb{R}$, 我们有 $f(x+1)=f(x)$. 证明, $f$ 有界并且能取到其最大值, 即存在 $x_0\in \mathbb{R}$, 使得 $f(x_0)=\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }f(x)$.
A8)	证明, $f(x)=\sqrt{x+1}$ 作为 ${\mathbb{R}}_{⩾0}$ 上的函数是一致连续的.

题目 B

首先回忆一下二项式展开: $(1+z{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})z^k$. 特别地, 当 $z=1$ 时, 我们有 $2^n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$.

给定一个复数的数列 $\{a_k{\}}_{k⩾0}$, 我们定义新的数列 $\{a_n^{\ast }{\}}_{n⩾0}$, 其中$$a_n^{\ast }=\frac{1}{2^n}\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)a_k.$$

第一部分: 等比数列

这一部分中, 我们假设对任意的 $k⩾0$, $a_k=z^k$, 其中 $z$ 为复数.

B1)	证明, 如果 $|z|<1$, 那么级数 $\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k$ 收敛. 我们用 $A(z)$ 表示这个极限.
B2)	证明, 如果 $|z|<1$, 那么级数 $\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k^{\ast }$ 收敛. 我们用 $A^{\ast }(z)$ 表示这个极限.
B3)	证明, 如果 $|z|⩾1$, 那么级数 $\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k$ 不收敛.
B4)	试找出一个 $z\in \mathbb{C}$, $|z|>1$, 级数 $\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k^{\ast }$ 收敛.
B5)	证明, 如果 $|z|=1$ 并且 $z\ne \pm 1$, 那么级数 $\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k^{\ast }$ 收敛.

第二部分: 收敛性比较

这一部分中, 我们假设 $\{a_k{\}}_{k⩾0}$ 为实数的序列.

B6)	证明, 当 $k\in {\mathbb{Z}}_{⩾0}$ 固定的时候, 我们有$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)/\frac{n^k}{k!}=1,\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)/2^n=0.$$
B7)	任意给定非负整数 $n>q$, 我们定义$$a_{n,q}^{\ast }=\frac{1}{2^n}\sum _{k=0}^q\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)a_k.$$对每个固定的 $q$, 计算 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{n,q}^{\ast }$.
B8)	如果 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$, 证明, $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n^{\ast }=0$.
B9)	如果 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ 存在, 证明, $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n^{\ast }$ 存在并且恰好等于 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$.
B10)	如果 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n^{\ast }$ 存在, $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ 是否一定存在?

在后面的问题中, 对任意的 $n⩾0$, 我们定义部分和$$S_n=\sum _{k=0}^n{a}_k,S_n^{\ast }=\sum _{k=0}^n{a}_k^{\ast },U_n=2^n{S}_n^{\ast }.$$

B11)	证明, 对任意的 $n⩾0$, $U_n$ 都可以写成 $S_0,S_1,\cdots ,S_n$ 的整系数线性组合: $$U_n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1}\right)S_k.$$
B12)	证明, 如果级数 $\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k$ 收敛, 那么 $\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k^{\ast }$ 也收敛.

题目 C: $C([a,b])$ 的极大理想

假设 $a<b$ 是实数, 我们研究有界闭区间上的实数值连续函数的空间 $C([a,b])$. 对于子集 $I\subset C([a,b])$, 如果它满足如下三个条件:

1)	$I\ne \varnothing$, $I\ne C([a,b])$;
2)	对任意的 $\phi \in I$, $\psi \in I$, 我们有 $\phi +\psi \in I$;
3)	对任意的 $\phi \in I$, $f\in C([a,b])$, 我们有 $\phi \cdot f\in I$.

我们就称 $I$ 是 $C([a,b])$ 的一个理想. 假设 $\mathfrak{m}$ 是 $C([a,b])$ 的理想并且不存在其它的包含 $\mathfrak{m}$ 的理想, 我们就称 $\mathfrak{m}$ 是 $C([a,b])$ 的一个极大理想 (即若理想 $I\supset \mathfrak{m}$, 那么 $I=\mathfrak{m}$) .

C1)	对任意的子集 $A\subset [a,b]$, 令 $I(A)=\left\{f\in C([a,b])|\text{对任意的 x∈A，f(x)=0}\right\}$. 证明, $I(A)$ 是 $C([a,b])$ 的理想. $I([a,b])$ 是什么? 证明, 如果有两个子集 $A\subset B\subset [a,b]$, 那么 $I(A)\supset I(B)$. 是否存在 $A\subset [a,b]$ 为真子集, 使得 $I(A)=\{0\}$?
C2)	证明, 如果 $I\subset C([a,b])$ 是理想, 那么常值函数 $1\notin I$. 进一步证明, 如果 $I\subset C([a,b])$ 是理想, 那么对任意的 $f\in I$, $f$ 在 $[a,b]$ 上一定有零点 (即 $f(x)=0$ 在 $[a,b]$ 上有解) .
C3)	对于 $f\in C([a,b])$, 证明, 集合 $V(f)=\{x\in [a,b]|f(x)=0\}$ 是闭集. 进一步证明, 对于理想 $I\subset C([a,b])$, 集合 $V(I)=\{x\in [a,b]|\text{对任意的 f∈I},f(x)=0\}$ 是闭集. 如果理想 $I\subset C([a,b])$ 使得 $V(I)$ 为全空间 $[a,b]$, 你是否能够确定 $I$?
C4)	对任意的点 $x\in [a,b]$, 我们令 $A=\{x\}$ 并记 ${\mathfrak{m}}_x=I(A)=I(\{x\})$, 即$${\mathfrak{m}}_x=\left\{f\in C([a,b])|f(x)=0\right\}.$$证明, ${\mathfrak{m}}_x$ 是极大理想.
C5)	证明, 如果 $\mathfrak{m}$ 是 $C([a,b])$ 的极大理想, 那么存在 $x\in [a,b]$ 使得 $\mathfrak{m}={\mathfrak{m}}_x$. (提示: 利用 $[a,b]$ 是紧的)
C6)**	假设 $A$ 是闭集, 证明, $V(I(A))=A$.

注记. 上面的结论可以推广到紧的距离空间的情形: 假设 $(X,d)$ 是紧的距离空间, $C(X)$ 是 $X$ 上复数值的连续函数的全体, 那么我们有如下的一一对应: $$X⟶\left\{\text{C(X) 的极大理想}\right\},x\mapsto {\mathfrak{m}}_x,$$其中 ${\mathfrak{m}}_x=\left\{f\in C\left(X\right)|f(x)=0\right\}$. 据此, 我们把可以把环 $C(X)$ 中的极大理想想象成空间的点, 从而通过 $C(X)$ 中的代数对象来研究 $X$ 上的几何, 这是代数几何的开端.