作业: 有无穷多素数的拓扑证明

基本习题

习题 A: 连续, 一致连续和一致收敛

A1)	证明, 函数 $e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上不是一致连续的而在 $(-\infty ,0]$ 上是一致连续的.
A2)	证明, 幂函数映射 ${\mathbb{R}}_{>0}\times \mathbb{R},(x,\alpha )\mapsto x^{\alpha }$ 是 ${\mathbb{R}}_{>0}\times \mathbb{R}$ 上的连续函数.
A3)	证明, 第九次课中定义的幂函数满足如下的性质: 对任意 $x,y>0$ 和 $\alpha ,\beta$, 我们有 $(xy{)}^{\alpha }=x^{\alpha }{y}^{\alpha }$, $(x^{\alpha }{)}^{\beta }=x^{\alpha \beta }$; $a^{{\log }_{a}x}=x$; 如果 $x>0$, $y>0$, 那么 $a^{x+y}=a^x{a}^y$, ${\log }_a(x\cdot y)={\log }_a(x)+{\log }_a(y)$.
A4)	在 $[0,1)$ 区间上考虑连续函数的序列 $\{f_n(x){\}}_{n⩾1}$, 其中 $f_n(x)=x^n$. 证明, 对任意的 $a<1$, $\{f_n(x){\}}_{n⩾1}$ 在 $[0,a]$ 上一致收敛到 $0$ 这个函数; 但是 $\{f_n(x){\}}_{n⩾1}$ 在 $[0,1)$ 上不一致收敛.
A5)	在 $\mathbb{R}$ 上考虑连续函数的序列 $\{f_n(x){\}}_{n⩾1}$, 其中 $f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2{x}^2}$. 证明, $\{f_n(x){\}}_{n⩾1}$ 在 $\mathbb{R}$ 上逐点收敛到 $0$ 这个函数但是 $\{f_n(x){\}}_{n⩾1}$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致收敛.
A6)	在 $\mathbb{R}$ 上考虑连续函数的序列 $\{f_n(x){\}}_{n⩾1}$, 其中 $f_n(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{n{x}^2}{1+nx},& x>0;\\ & \\ \frac{n{x}^3}{1+n{x}^2},& x⩽0\end{array}$. 试研究 $\{f_n(x){\}}_{n⩾1}$ 在 $\mathbb{R}$ 上逐点收敛性和一致收敛性.
A7)	给定连续函数 $\phi :{\mathbb{R}}_{⩾0}\to \mathbb{R}$, 满足 $\phi (0)=0$, $\underset{x\to \infty }{\lim }\phi (x)=0$ 并且 $\phi$ 不恒为零. 证明, ${\mathbb{R}}_{⩾0}$ 上的连续函数的序列 $\{f_n(x){\}}_{n⩾1}$ 和 $\{g_n(x){\}}_{n⩾1}$ 逐点收敛到 $0$ 这个函数但是不一致收敛, 其中 $f_n(x)=\phi (nx)$, $g_n(x)=\phi \left(\frac{x}{n}\right)$.
A8)*	(一致连续性的应用: 积分的定义) $[a,b]$ 是有限闭区间, $f\in C([a,b])$ 是实数值的函数. 给定 $n⩾1$, 我们将 $[a,b]$ 均分为 $n$ 份: $$[a,b]=[a_1,b_1]\cup [a_2,b_2]\cup \cdots \cup [a_n,b_n],a_1=a,b_k=a_{k+1}(k=1,\cdots ,n-1),b_n=b,$$其中对于 $k=1,2,\cdots ,n$, $a_k=a+\frac{k-1}{n}(b-a)$. 我们定义$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{b-a}{n}f(a_k).$$证明, $\{S_n{\}}_{n⩾1}$ 收敛, 我们用 ${\int }_a^{b}f$ 这个符号来记极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$. 进一步证明, 映射$${\int }_a^b:C([a,b])\to \mathbb{R},f\mapsto {\int }_a^{b}f$$是线性映射并且如果我们在 $C([a,b])$ 用距离函数 $d_{\infty }$ 来考虑, 那么这是连续映射. 注记. 和式 $S_n$ 直观上计算的是下图中阴影柱形表的面积: 所以, 如果 $f$ 是正函数, 我们认为 ${\int }_a^{b}f$ 表示的是 $f$ 的图像下的面积. 另外, 就算是选取 $f(x)=x^m$ 这样简单的函数, ${\int }_a^{b}f$ 的计算都很复杂, 课程后面关于积分的理论的一个重点是如何计算积分. (提示: 为了证明 $\{S_n{\}}_{n⩾1}$ 是 Cauchy 列, 我们可以将 $S_n$ 和 $S_m$ 都与 $S_{nm}$ 做比较)
A9)*	证明 Cauchy 的一个定理: 任给函数 $f:[a,+\infty )\to \mathbb{R}$, 我们假设 $f$ 任意闭子区间 $[a,b]$ 上有界 (上界可能依赖于 $b$), 那么下面两个式子当等号右边极限存在时成立: $$\begin{array}{rl}\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}& =\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x+1)-f(x)],\\ \underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x){]}^{1/x}& =\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x+1)}{f(x)},\text{进一步假设对任意的 x∈[a,∞)，f(x)⩾c>0}.\end{array}$$

习题 B: 一致连续性

研究下列函数 $f$ 在区间 $I$ 上的一致连续性:

B1)	$f(x)=\sqrt[3]{x}$, $I=(0,\infty )$.
B2)	$f(x)=\log x$, $I=(0,1)$.
B3)	$f(x)=\cos \frac{1}{x}$, $I=(0,1)$.
B4)	$f(x)=x\cos \frac{1}{x}$, $I=(0,\infty )$.

习题 C: 极限存在性

研究下列函数极限的存在性:

C1)	$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln x}{(x-1{)}^{\alpha }}$, $\alpha >0$.
C2)	$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{e^x-e}{(x-1{)}^{\alpha }}$, $\alpha >0$.
C3)	$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^x-1}{(x-1{)}^{\alpha }}$, $\alpha >0$.
C4)	$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{1-\sqrt{x}}}{(x-1{)}^{\alpha }}$, $\alpha >0$.
C5)	$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{1-\cos x}$.
C6)	$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x^4}-1}{1-{\cos }^{2}x}$.
C7)	$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1{)}^{\alpha }}{\sin (\pi x)}$, $\alpha >0$.

习题 D: 和一致连续性相关的问题

D1)	如果连续函数 $f$ 在开区间 (有限或无限) $I\subset \mathbb{R}$ 上是单调并且有界的, 那么 $f$ 在 $I$ 上一致连续.
D2)	$I$ 是长度有限的区间 (不一定是闭的) . 证明, $I$ 上的实值函数 $f$ 一致连续的充分必要条件是 $f$ 把 Cauchy 列映成 Cauchy 列 (即如果 $\{x_n{\}}_{n⩾1}\subset I$ 是 Cauchy 列, 那么 $\{f(x_n){\}}_{n⩾1}$ 也是 Cauchy 列) .
D3)	$f$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续. 证明, 存在 $a,b\in {\mathbb{R}}_{>0}$, 使得对任意的 $x\in \mathbb{R}$, 我们都有$$|f(x)|⩽a|x|+b.$$
D4)	假设函数 $f$ 在 $[0,\infty )$ 上一致连续并且对任意的 $x\in [0,1]$, 我们都有 $\underset{n\to +\infty }{\lim }f(x+n)=0$ (这里 $n$ 是整数) . 证明, $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0.$$如果我们将条件减弱为 $f$ 在 $[0,\infty )$ 连续, 结论是否依然成立? 证明或举出反例.
D5)	假设 $X$ 是区间, $f:X\to \mathbb{R}$ 是连续函数. 如果存在正常数 $L$, 使得对任意的 $x,y\in X$, 都有$$|f(x)-f(y)|⩽L|x-y|,$$我们就称 $f$ 在 $X$ 上满足 Lipschitz 条件. 1. 证明, $f$ 在 $X$ 上满足 Lipschitz 条件是 $f$ 在 $X$ 一致连续的充分条件. 2. 判断上述条件是否是必要条件? 证明或举出反例. 3. 假设 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上满足 Lipschitz 条件, 其中 $a>0$, 试证明 $\frac{f(x)}{x}$ 在 $[a,+\infty )$ 一致连续.

习题 E: 利用连续性研究方程根的存在性

E1)	证明, 方程 $x^3+2x-1=0$ 在 $\mathbb{R}$ 上有唯一的根且此根在 $(0,1)$ 内.
E2)	设 $0⩽\lambda <1$, $b>0$, 试判断方程 $x-\lambda \sin x=b$ 的实根的存在性.
E3)	证明, 方程 $\sin x=\frac{1}{x}$ 有无穷多个实根.
E4)	假设实数值函数 $f\in C([0,2])$ 并且 $f(0)=f(2)$. 证明, 方程 $f(x)-f(x+1)=0$ 在 $[0,1]$ 上有一个根.

习题 F: 计算极限

试计算下面函数的极限: $$\begin{array}{rlrl}& F1)\underset{x\to \pi }{\lim }\frac{\sin mx}{\sin nx},m,n\in {\mathbb{Z}}_{⩾0},& & F2)\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x\sqrt[2]{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{x^2}\\ & F3)\underset{x\to +\infty }{\lim }\sin \sqrt{1+x}-\sin \sqrt{x}& & F4)\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x\sin x}-1}{e^{x^2}-1}\\ & F5)\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{n\text{个}}{\underbrace{\sin \sin \cdots \sin x}}& & \end{array}$$

思考题 (不交作业)

问题 G

连续函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 满足如下性质: 对任意的 $\delta >0$, 我们都有$$\underset{n\to \infty }{\lim }f(n\delta )=0.$$证明, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$.

问题 H

连续函数 $\phi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 满足如下两个性质:

1)	它在无穷远的行为如下: $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\phi (x)-x)=+\infty$.
2)	$\phi$ 的不动点集 $\{x\in \mathbb{R}|\phi (x)=x\}$ 是非空的有限集.

证明, 如果 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是连续函数并且满足 $f\circ \phi =f$, 那么 $f$ 一定是常值函数.

问题 I

连续函数 $f:{\mathbb{R}}_{⩾0}\to \mathbb{R}$ 满足 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=0$. 假设 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 是一列非负实数的数列并且数列 $\{\frac{a_n}{n}{\}}_{n⩾1}$ 是有界的, 证明, $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{f(a_n)}{n}=0$

课外补充: 拓扑空间的定义

本节也不交作业.

定义 1 (拓扑空间). $X$ 是集合, $\mathcal{T}=\{U\mid U\subset X\}$ 是 $X$ 的某些子集所组成的集合. 如果下面三个条件成立

1)	$\varnothing \in \mathcal{T}$, $X\in \mathcal{T}$.
2)	对任意的 $\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathcal{A}}\subset \mathcal{T}$, 其中 $\mathcal{A}$ 为指标集合, 我们有 $\bigcup _{\alpha \in \mathcal{A}}{U}_{\alpha }\in \mathcal{T}$.
3)	对任意有限个 $U_1,U_2,\cdots ,U_m\in \mathcal{T}$, 我们有 $\bigcap _{1⩽i⩽m}{U}_i\in \mathcal{T}$.

我们就称 $\mathcal{T}$ 是 $X$ 上的一个拓扑, 每个 $U\in \mathcal{T}$ 都被称作是 (拓扑 $\mathcal{T}$ 下的) 开集. 我们把二元组 $(X,\mathcal{T})$ 称作是一个拓扑空间.

给定拓扑空间 $(X,\mathcal{T})$, 考虑子集 $F\subset X$, 如果其补集 $X-F$ 是开集 (即 $X-F\in \mathcal{T}$) , 我们就称 $F$ 是在拓扑 $\mathcal{T}$ 下的) 闭集. 对于闭集, 我们有如下的性质 (简单的练习) :

1)	$\varnothing$ 和 $X$ 都是闭集.
2)	任意多闭集的交集是闭集.
3)	有限个闭集的并集是闭集.

娱乐问题: 素数无限多的拓扑证明 (Furstenberg, 1955)

考虑 $X=\mathbb{Z}$ 为全体整数的集合, 对于 $a,b\in \mathbb{Z}$, 其中 $a⩾1$, 我们定义 $U_{a,b}=\{ka+b\mid k\in \mathbb{Z}\}$ (就是以 $b$ 为某一项的双边的等差数列) . 我们定义 $X$ 的子集的集合 $\mathcal{T}$: $U\in \mathcal{T}$ 当且仅当 $U=\varnothing$, 或者 $U$ 可表作一些 $U_{a,b}$ 的并集.

1)	$U\in \mathcal{T}$. 证明, $x\in U$ 当且仅当存在 $a⩾1$, 使得 $U_{a,x}\subseteq U$.
2)	证明, $\mathbb{Z}\in \mathcal{T}$.
3)	证明, 对于任意的 $\{U_i{\}}_{i\in I}\subset \mathcal{T}$, 有 $\bigcup U_i\in \mathcal{T}$.
4)	证明, 如果 $U,V\in \mathcal{T}$, 那么 $U\cap V\in \mathcal{T}$. 因此 $\mathcal{T}$ 是 $X$ 上的拓扑.
5)	证明, 在此拓扑下, 任何非空有限集合都不是开集; 任何补集非空有限的集合都不是闭集.
6)	证明, $U_{a,b}$ 既是开集也是闭集.
7)	证明, $\mathbb{Z}-\{-1,1\}=\bigcup _{p\text{是素数}}{U}_{p,0}$.
8)	综上, 用反证法证明, 存在无限多个素数.

寄语. As for everything else, so for a mathematical theory: beauty can be perceived but not explained.

——A. Cayley