25. 最速降线问题, 积分中值定理

最速降线问题

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从点 的距离是 . 根据重力势能到动能的转化 (能量守恒) , 我们知道 处, 小球的速度应该是 , 所以从 所需要的时间是这样, 如果曲线 由函数 给出, 即小球经过整个曲线需要的时间为其中, 指的是对 变量求导数. 为了保证曲线的两个端点是固定的, 我们还要求对于最速降线 而言, 我们必然有为此, 我们假设 , 即在函数中代换变量 , . 此时, 我们有 (我们总是假设足够的光滑性使得积分与导数可以交换) : 最后一项中, 我们利用两个导数可以交换 (下学期) , 所以 . 令 并记 , 我们就有最后一步分部积分的过程中, 我们用到了 , , 从而另外, 对任意的函数 () , 我们通过定义 就可以使得所以, 通过选取我们就得到了 必须满足的方程 (这被称作是 Euler-Lagrange 方程) : 假设上述方程成立, 那么这表明, 存在常数 , 使得按照定义, 我们有所以, 我们令 , 那么, 我们就有如果把 看作参数, , 那么, 根据反函数的导数的计算, 我们有从而, 作为原函数, 我们有为了能积分出这个函数, 我们做变量替换从而, 这样子, 我们就得到了这条曲线的参数方程 (原函数差一个常数 ) 重新参数化之后, 我们得到一条曲线这种曲线叫做被称作是摆线或者旋轮线. 我们注意到, 初始时刻 , 所以, , 这表明 , , 通过再次调整 , 我们可以假设 , , 所以我们要找的参数曲线为从而, 可以确定 .

命题 25.1 (等时性, Huygens). 考虑摆线

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那么, 从任意一点 出发的小球滚动到 的时间都是一样的.

证明. 实际上, 小球在 处要经过的距离为: 小球的速度为: 所以, 从 滑到底一共需要我们可以令 进行换元积分, 据此, 得到 .

积分中值定理

定理 25.2 (第一积分中值定理). 是有界闭区间, 是实值 Riemann 可积函数. 我们假设对任意的 , . 令那么, 存在 , 使得特别地, 如果进一步要求 是连续函数, 那么存在 , 使得

证明. 由于 , 根据 以及积分保持不等号的性质, 我们有如果 , 显然存在 使得命题成立; 如果 , 由于 , 所以 在一个零测集之外恒为 , 从而 在一个零测集之外都是 , 从而 , 所以 可以任意选.

如果 是连续的, 所以 可以取到最大值 和最小值 , 即有 , 使得 , , 根据连续函数的中值定理, 存在 之间的数 , 使得 .

推论 25.3. 假设 是连续函数, 那么存在 , 使得 .

证明. 只要取 即可.

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