作业: 二平方和数的密度

基本习题

习题 A (Riemann 积分的概念)

A1)	(积分第一中值定理的一个变体) $f$ 是有界闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数, $g\in \mathcal{R}([a,b])$ 是 Riemann 可积的并且对任意的 $x\in [a,b]$, $g(x)>0$. 证明, 存在 $\xi \in (a,b)$, 使得$${\int }_a^{b}fg=f(\xi ){\int }_a^{b}g.$$
A2)	(单调函数是 Riemann 可积的) 不用 Lebesgue 定理证明: $f$ 是 $[a,b]$ 上的单调增函数, 那么 $f\in \mathcal{R}(I)$. (提示: 利用 Darboux 上下和)
A3)	证明, 函数 $1_{\mathbb{Q}}(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\end{array}$ 在 $[0,1]$ 上不是 Riemann 可积的.
A4)	证明: 如果 $f\in \mathcal{R}([a,b])$, 那么 $|f{|}^p\in \mathcal{R}([a,b])$, 其中 $p⩾0$ 是实数.
A5)	我们证明过 Hölder 不等式: 对 $x_i,y_i⩾0,p,q>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, 有$$\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i⩽\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^p{)}^{1/p}\right(\sum _{i=1}^n{y}_i^q{)}^{1/q}.$$试证明积分形式的 Hölder 不等式并给出等号成立的条件: $f,g\in \mathcal{R}([a,b])$, $p,q>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, 那么$$\left|{\int }_a^{b}fg\right|⩽{\left({\int }_a^b|f{|}^p\right)}^{1/p}{\left({\int }_a^b|g{|}^q\right)}^{1/q}.$$
A6)	证明积分形式的 Minkowski 不等式并给出等号成立的条件: 如果 $f,g\in \mathcal{R}([a,b])$, $p\ge 1$, 那么$${\left({\int }_a^b|f+g{|}^p\right)}^{1/p}⩽{\left({\int }_a^b|f{|}^p\right)}^{1/p}+{\left({\int }_a^b|g{|}^p\right)}^{1/p}.$$

习题 B (凸函数与积分)

B1)	假设 $f\in \mathcal{R}([a,b])$ 并且 $f$ 为凸函数. 证明, $$f\left(\frac{a+b}{2}\right)⩽\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx⩽\frac{f(a)+f(b)}{2}.$$
B2)	假设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导并且对任意 $x$, $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f(x)⩽0$. 证明, 对任意 $x$, 我们有$$f(x)⩾\frac{2}{b-a}{\int }_a^{b}f(y)dy.$$
B3)	假设 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上二阶可导且 $f^{\prime \prime }(x)⩾0$, $\phi \in C([a,b])$. 证明, 我们有$$\frac{1}{b-a}{\int }_a^b(f\circ \phi )(t)dt⩾f\left(\frac{1}{b-a}{\int }_a^b\phi (t)dt\right).$$
B4)	假设 $f\in C([a,b])$ 并且对任意 $x$, $f(x)>0$. 证明, $$\log \left(\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\right)⩾\frac{1}{b-a}{\int }_a^b\log (f(x))dx.$$
B5)	证明积分形式的 Jensen 不等式并给出等号成立的条件: 如果 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的凸函数, $\phi \in C([0,1])$, 那么$$f\left({\int }_0^1\phi \right)⩽{\int }_0^{1}f\circ \phi .$$

习题 C (积分和导数)

C1)	假设 $f\in C^1([0,2])$, $|f^{\prime }|⩽1$, $f(0)=f(2)=1$. 证明, $1⩽{\int }_0^{2}f(x)dx⩽3$.
C2)	假设 $f\in C^2([0,1])$. 证明, 存在 $\xi \in [0,1]$, 使得 ${\int }_0^{1}f(x)dx=f\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{24}{f}^{\prime \prime }(\xi )$.
C3)	假设 $f\in C^1([a,b])$. 证明, $\underset{x\in [a,b]}{\max }|f(x)|\le \frac{1}{b-a}\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|+{\int }_a^b|f^{\prime }(x)|dx$.
C4)	设 $f\in C([0,1])$ 而且对任意满足 $g(0)=g(1)=0$ 的 $g\in C([0,1])$, 都有 ${\int }_0^{1}f(x)g(x)dx=0$. 证明, $f(x)\equiv 0$.
C5)	设 $f\in C([0,1])$ 而且对任意 $n\in {\mathbb{Z}}_{⩾0}$, 都有 ${\int }_0^{1}f(x)x^{n}dx=0$. 证明, $f(x)\equiv 0$.
C6)	(Gronwall 不等式) 设 $\phi \in C([0,T])$ 且对任意 $t\in [0,T]$, 有 $|\phi (t)|⩽M+k{\int }_0^t|\phi (s)|ds$, 其中 $M,k$ 为正实数. 试证明, 对任意 $t\in [0,T]$, $|\phi (t)|⩽M{e}^{kt}$.
C7)	假设 $a,b>0$, $f\in C([-a,b])$. 如果对任意 $x\in (-a,b)$, $f(x)>0$ 并且 ${\int }_{-a}^{b}xf(x)=0$. 试证明, ${\int }_{-a}^b{x}^{2}f(x)⩽ab{\int }_{-a}^{b}f(x)$.
C8)	假设 $f\in C([-1,1])$. 证明, $\underset{\lambda \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{-1}^1\frac{\lambda }{{\lambda }^2+x^2}f(x)dx=\pi f(0)$.
C9)	假设 $f$ 在 $[1,\infty )$ 上可导并且 ${\int }_1^{\infty }f(x)$ 与 ${\int }_1^{\infty }{f}^{\prime }(x)$ 都收敛 (作为反常积分, 请回忆反常积分的定义) . 证明, $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$.
C10)	试证明, ${\int }_0^{\infty }\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}={\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x},{\int }_0^{\infty }\frac{\cos x}{1+x}={\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{(1+x{)}^2}$.

习题 D (反常积分的计算)

试计算如下反常积分的数值:

$$\begin{array}{rlrl}& (1){\int }_0^1\log xdx& & (2){\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{1+x^2}\\ & (3){\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{1+x^4}& & (4){\int }_0^{+\infty }\frac{1+x^2}{1+x^4}dx\\ & (5){\int }_{-\infty }^{0}x{e}^{x}dx& & (6){\int }_0^{+\infty }{e}^{-\sqrt{x}}dx\\ & (7){\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{(a^2+x^2{)}^{3/2}}& & (8){\int }_2^{+\infty }\frac{dx}{x^2+x-2}\\ & (9){\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{(x^2+x+1{)}^2}& & (10){\int }_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\\ & (11){\int }_{-1}^1\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}dx& & (12){\int }_{-1}^1\frac{dx}{(2-x{)}^2\sqrt{1-x^2}}\\ & (13){\int }_0^1\frac{\arcsin \sqrt{x}}{x(1-x)}dx& & (14){\int }_0^1\frac{(1-x{)}^n}{\sqrt{x}}dx,n\in {\mathbb{N}}_{+}\\ & (15){\int }_0^1\frac{x^n}{\sqrt{1-x^2}}dx,n\in {\mathbb{N}}_{+}& & (16){\int }_0^1{x}^m(\log x{)}^{n}dx,n\in {\mathbb{N}}_{+},m⩾0\\ & (17){\int }_2^{+\infty }\frac{dx}{x(\log x{)}^p},p>1& & (18){\int }_0^{+\infty }\frac{\log x}{x^2+a^2}dx\\ & (19){\int }_0^{+\infty }{x}^n{e}^{-x}dx,n\in {\mathbb{N}}_{+}& & (20){\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{(a{x}^2+2bx+c{)}^n},ac-b^2>0\\ & (21){\int }_0^{+\infty }{x}^{2n-1}{e}^{-x^2}dx,n\in {\mathbb{N}}_{+}& & (22){\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1-r^2}{1-2r\cos x+r^2}dx,0<r<1\\ & (23){\int }_0^{+\infty }{e}^{-ax}\cos bxdx,a>0& & (24){\int }_0^{+\infty }{e}^{-ax}\sin bxdx,a>0\\ & (25){\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{x(x+1)\cdots (x+n)}& & (26){\int }_0^{\pi }\log \sin xdx\\ & (27){\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx& & \end{array}$$

题目 E (可写成两个完全平方数的和的整数的密度) (期末考试模拟题, 不交作业, 鼓励讨论)

在此问题中, $I=(0,\infty )$.

第一部分: 一个含参数积分的研究

E1)	证明, 函数 $\frac{e^{-u}}{\sqrt{u}}$ 是 $I$ 上的可积函数 (作为反常积分可积) , 记 $K={\int }_0^{\infty }\frac{e^{-u}}{\sqrt{u}}du$.
E2)	证明, 对任意的 $x\in I$, $F(x)={\int }_0^{\infty }\frac{e^{-u}}{\sqrt{u}(u+x)}du$ 是良好定义的 (即此反常积分收敛) .
E3)	证明, $F\in C^1(I)$ 并写下 $F^{\prime }(x)$ 的积分表达式.
E4)	证明, 对任意的 $x\in I$, 我们有$$x{F}^{\prime }(x)-(x-\frac{1}{2})F(x)=-K.$$
E5)	通过 $G(x)=\sqrt{x}{e}^{-x}F(x)$ 定义 $G:I\to \mathbb{R}$. 证明, 存在实数 $C$, 使得$$G(x)=C-K{\int }_0^x\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}dt.$$
E6)	计算 $K$ 的值 (提示: 计算 $G$ 在 $0$ 和 $+\infty$ 处的极限) .

第二部分: 两个函数级数的研究.

我们用级数定义函数$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{e^{-nx}}{\sqrt{n}},g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\sqrt{n}{e}^{-nx}.$$

E7)	证明, $f$ 和 $g$ 在 $I$ 上是良好定义的并且是 $I$ 上的连续函数.
E8)	证明, 对任意 $x\in I$, 我们都有$${\int }_1^{\infty }\frac{e^{-ux}}{\sqrt{u}}du⩽f(x)⩽{\int }_0^{\infty }\frac{e^{-ux}}{\sqrt{u}}du.$$
E9)	证明, 存在常数 $C_0$, 使得$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{x}f(x)=C_0.$$
E10)	我们定义序列 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 如下: $$a_n=\left(\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\right)-2\sqrt{n}.$$证明, $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ 存在.
E11)	证明, 对任意的 $x\in I$, 由级数定义的函数$$h(x)=\sum _{n⩾1}\left(\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\right)e^{-nx}$$是良好定义的 (即上面的级数是收敛的) .
E12)	试用 $f(x)$ 来表达 $h(x)$ 并证明存在常数 $C_1$, 使得$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\frac{3}{2}}h(x)=C_1.$$
E13)	证明, $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\frac{3}{2}}g(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}.$$

第三部分: 由自然数的子集所定义的函数级数的研究.

给定 $A\subset {\mathbb{Z}}_{⩾0}$, 我们可以定义一个数列 $\{a_n{\}}_{n⩾0}$: $$a_n=\{\begin{array}{l}1,\text{如果 }n\in A;\\ 0,\text{如果 }n\notin A.\end{array}$$我们定义集合 $I_A\subset {\mathbb{R}}_{⩾0}$ 如下: $$I_A=\{x⩾0|\text{级数 }\sum _{n⩾0}{a}_n{e}^{-nx}\text{ 收敛}\}.$$我们定义函数 $f_A:I_A\to \mathbb{R}$ 如下: $$f_A(x)=\sum _{n⩾0}{a}_n{e}^{-nx}.$$我们记 $\Phi (A)=\underset{x\to 0}{\lim }x{f}_A(x)$ (如果极限存在的话) 并令$$\mathcal{S}=\{A\subset {\mathbb{Z}}_{⩾0}|\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x{f}_A(x)\text{ 存在}\}.$$作为例子, 我们令 $A_1$ 表示所有的非零完全平方数, $A_2$ 表示两个非零完全平方数的和: $$A_1=\{1,4,9,16,\cdots ,n^2,(n+1{)}^2,\cdots |n\in {\mathbb{Z}}_{⩾1}\},A_2=\{p^2+q^2|p,q\in {\mathbb{Z}}_{⩾1}\}.$$

E14)	如果 $A$ 是有限集, 试确定 $I_A$; 如果 $A$ 是无限集, 试确定 $I_A$.
E15)	给定 $A\subset {\mathbb{Z}}_{⩾0}$, 对于任意 $n⩾0$, 我们定义集合 $A_{⩽n}$: $$A_{⩽n}=\{\ell \in A|\ell ⩽n\}.$$我们用 $|A_{⩽n}|$ 表示它所包含的元素的个数. 证明, 对任意的 $x>0$, 级数$$\sum _{n=0}^{\infty }|A_{⩽n}|\cdot e^{-nx}$$是收敛的, 并且满足$$\sum _{n=0}^{\infty }|A_{⩽n}|\cdot e^{-nx}=\frac{f_A(x)}{1-e^{-x}}.$$
E16)	证明, 对任意 $x>0$, 都有$$\frac{f_{A_1}(x)}{1-e^{-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }\lfloor \sqrt{n}\rfloor e^{-nx},$$其中 $\lfloor \sqrt{n}\rfloor$ 代表不超过 $\sqrt{n}$ 的最大整数 (即它的整数部分) .
E17)	证明, 极限$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{x}{f}_{A_1}(x)$$存在并计算 $\Phi (A_1)$.
E18)	令 $v(n)$ 为集合 $\{(p,q)\in {\mathbb{Z}}_{⩾1}\times {\mathbb{Z}}_{⩾1}|p^2+q^2=n\}$ 的元素个数. 证明, 对任意的 $x>0$, 级数$$\sum _{n⩾1}v(n)e^{-nx}$$是收敛的并且$$\sum _{n⩾1}v(n)e^{-nx}=(f_{A_1}(x){)}^2.$$
E19)	证明, 对任意 $x>0$, 我们都有$$f_{A_2}(x)⩽(f_{A_1}(x){)}^2$$据此给出 $\Phi (A_2)$ 的一个上界 (我们假设 $\Phi (A_2)$ 存在) .

第四部分: 一个 Tauber 型定理及应用.

我们现在假设 $\{a_n{\}}_{n⩾0}$ 是非负实数组成的序列, 使得对任意的 $x>0$, 级数$$S(x)=\sum _{n⩾0}{a}_n{e}^{-nx}$$收敛. 我们进一步假设下面的极限存在: $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }xS(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\sum _{n⩾0}{a}_n{e}^{-nx}=\ell \in [0,+\infty ).$$令 $F$ 为 $[0,1]$ 上的全体实值函数的所构成的线性空间, $E_0=C([0,1])$. 令 $E$ 是分段连续的有界函数所组成的空间, 即对任意的 $\phi \in E$, $\phi$ 有界并且存在 $\{b_i{\}}_{i=0,1,\cdots ,m}$, 使得$$0=b_0<b_1<b_2<\cdots <b_{m-1}<b_m=1,$$并且 $\phi$ 在每一段 $(b_i,b_{i+1})$ 上的限制是连续的. 我们在 $E$ 上取范数$$\Vert \psi {\Vert }_{\infty }=\underset{x\in [0,1]}{\sup }|\psi (x)|.$$

E20)	我们定义映射 $L:E\to F$ 如下: $$(L(\psi ))(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{e}^{-nx}\psi (e^{-nx}),\psi \in E.$$证明, $L$ 是良好定义的 (上面等式右边的级数对任意的 $x>0$ 均收敛) 并且是线性映射. 进一步, 如果对任意的 $x\in [0,1]$, ${\psi }_1(x)⩽{\psi }_2(x)$, 那么对任意的 $x\in [0,1]$, 证明, $$(L({\psi }_1))(x)⩽(L({\psi }_2))(x).$$
E21)	定义 $E$ 的子空间$$E_1=\{\psi \in E|\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x(L(\psi ))(x)\text{ 存在}\}.$$我们定义线性映射 $\Delta :E_1\to \mathbb{R}$ 如下: $$\Delta (\psi )=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x(L(\psi ))(x),\psi \in E_1.$$证明, $E_1$ 是 $E$ 的线性子空间并且存在常数 $M>0$, 使得对任意的 $\psi \in E_1$, 我们都有$$|\Delta (\psi )|⩽M\Vert \psi {\Vert }_{\infty }.$$
E22)	对于单项式函数 $P_n(x)=x^n$, 证明, $P_n\in E_1$ 并计算 $\Delta (P_n)$.
E23)	证明, $E_0\subset E_1$ 并对每个 $\psi \in E_0$ 来计算 $\Delta (\psi )$.
E24)	对于 $a\in (0,1)$, $\epsilon \in (0,\min (a,1-a))$, 我们定义函数$$g_{-}(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in [0,a-\epsilon ];\\ \frac{a-x}{\epsilon },& x\in (a-\epsilon ,a)\\ 0,& x\in [a,1]\end{array},g_{+}(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in [0,a];\\ \frac{a+\epsilon -x}{\epsilon },& x\in (a,a+\epsilon )\\ 0,& x\in [a+\epsilon ,1]\end{array},$$证明, $g_{\pm }\in E_0$ 并计算 $\Delta (g_{\pm })$. 进一步证明, 示性函数 $1_{[0,a]}\in E_1$ 并计算 $\Delta (1_{[0,a]})$.
E25)	证明, $E_1=E$ 并对 $\psi \in E$ 给出 $\Delta (\psi )$ 的计算公式.
E26)	我们定义函数$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\in [0,e^{-1});\\ \frac{1}{x},& x\in [e^{-1},1].\end{array}$$通过计算 $L(\psi )\left(\frac{1}{N}\right)$ (这里 $N$ 是正整数) 证明 Tauber 型公式: $$\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{k=0}^N{a}_k=\ell .$$
E27)	考虑 $A\in \mathcal{S}$ (第三部分) , 试计算$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{|A_{⩽n}|}{n}.$$这个数值也被称作是 $A$ 在 ${\mathbb{Z}}_{⩾0}$ 中的自然密度.
E28)	试计算$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{v(1)+v(2)+\cdots +v(n)}{n},$$并给出 $A_2$ 的自然密度的一个上界.

寄语. God does not care about our mathematical difficulties. He integrates empirically.

——Albert Einstein