32. 微分同胚与光滑子流形

微分同胚与坐标变换

给定映射 , 其中开区域 , 用坐标分量表示, 我们有如果对任意的 对任意的 , 对任意的 个正整数 , 偏导数都存在并且是连续的, 那么我们就称 光滑的. 如果 , 我就称之为光滑函数, 并记为 .

练习. 证明以下三个关于光滑函数的基本性质:

1)

是一个 -代数, 即对任意的 , 它们的任意实线性组合以及乘积都是光滑函数.

2)

假设 . 如果对任意的 , , 那么 也是光滑函数.

3)

证明, 对任意的 , 对任意的 , 有 .

对于两个开区域 , 如果存在双射映射 , 使得都是光滑的, 我们就称 微分同胚的 (光滑同胚) .

我们把 之间的光滑映射的全体记作是 . 当然, 光滑的映射不见得是光滑的同胚.

例子. 考虑如下映射很明显, 是光滑的并且是双射. 但是 不是光滑的.

根据上次课逆映射微分的命题, 我们一定有 (维数相同) .

注记.

1)

微分同胚是两个区域的一种等价性, 这个等价性是用光滑的双射定义的. 一个好的类比是研究线性空间: 两个线性空间之间等价指的是用线性的双射定义的线性同构.

2)

两个区域微分同胚, 但是上述的映射 不一定唯一. 比如说, 令 , 任意一个可逆的线性映射都可以被选作 .

有了微分同胚这个概念, 我们可以讨论坐标变换. 考虑两个开区域 , 其中 (为了区别起见) . 我们在第一个 上面用 作为坐标系, 在第二个 上面用 作为坐标系, 假设存在光滑的同胚: 我们认为通过 这个映射可以用 上的点来参数化  上的点: 用 这个坐标系统也可以描述 上的点. 比如说, 给定坐标 , 它对应的 中的点是 ; 根据双射的性质, 对任意的 , 我们总能找到 , 使得 . 所以, 我们有两种不同的方式描述 上的同一个点 :

第一种方式是 -坐标 ;

第二种是 -坐标 .

我们强调之前所谈论的坐标函数的含义: 分别视作是 上的函数.

所以, 给定了 来描述 , 它所对应的 的坐标应该是很多文献习惯上将这个写成 .

同学们也许会发现, 上面这段讨论实际上根本没有用到 是光滑的, 只需要 是双射就好: 实际上, 光滑性保证了光滑函数的拉回还是光滑的. 当给定了 上的一个函数 , 通过复合映射, 我们可以将它看作是 的函数, 我们通常将它记作 (称作是 拉回) , 下面的交换图表给出了拉回的定义:

引理 32.1. 假设 (即 上的光滑函数) , 那么 .

证明. 我们只需证明对任意的 上的光滑函数, 对任意的 , 的各阶偏导数都存在且连续即可. 对所求的偏导数的次数 进行归纳. 如果 , 由于 是连续映射, 根据连续映射的符合仍然连续, 我们知道此时 是连续的. 假设对任意的 , 的连续 次的偏导数存在且连续, 那么根据链式法则, 我们知道此时, 每一个 都是光滑函数, 对 利用归纳假设 (这是那个被拉回的函数) , 对上述函数再求 次偏导数也连续, 所以命题成立.

注记. 上面的证明仅仅用到了 的光滑性, 换句话说, 我们证明了如下的命题, 如果 是光滑函数, 是光滑映射, 那么它们的复合 是光滑函数, 其中, 我们假设 , .

最终, 我们考虑常见的但是容易产生混淆的一种情形: 我们假设有两个坐标系统 来描述 中的点. 此时, 我们把每一个坐标函数都理解为 上的函数, 那么, 如果用第一个坐标系统来描述第二个坐标系统的坐标函数, 我们就可以写成反过来, 我们可以用第二个坐标系统来描述第一个坐标系统的坐标函数: 假设 上的函数. 通过利用不同的坐标, 我们可以将 写成 或者 . 如此用变量来写函数很容易产生混乱. 当然, 如果 是用第二个坐标系统写的, 即 , 我们所说的 应该是事实上, 我们应该将 区分开, 在 中我们用 作为坐标, 在 中我们用 作为坐标, 其中 . 我们考虑映射它的逆映射就是此时, 上面谈到的函数 上的函数.

另外 的偏导数 (或者微分) 也可以用 来表达, 这就是说要计算 的偏导数 (用 坐标来算, 就是 ) .

练习 (重要). 利用链式法则证明:

据此可知, 由偏导数的定义是依赖于坐标系的选取的. 特别地, 在不同的坐标系之间它们的差别由坐标变换 (即上述的 ) 的 Jacobi 矩阵决定.

注记. 偏导数的定义不是内蕴的, 它依赖于具体坐标系的选取. 然而, 微分 (按定义) 不依赖于坐标系统的选取, 是内蕴的.

我们现在回到学习的主线上来. 我们现在证明偏导数运算具有可交换性 (这个定理的几何表述是函数的 Hasse 算子是对称的) :

定理 32.2 (Clairaut-Schwarz). 给定 上的开集 () 和函数 是函数, 是两个不同的指标. 假设在 上, 函数 , 存在并且连续. 那么, 也存在并且对任意的 , 我们有

为了证明这个命题, 我们从一个引理开始:

引理 32.3. 假设函数 处的极限 存在. 如果存在 , 使得对于任意给定的 , 极限 都存在. 那么, 极限 存在并且

引理的证明. 按照距离空间中函数极限存在的定义, 存在指的是存在 , 使得对任意的 , 存在 , 当 时, 有 .

任意固定 . 在上述极限的定义中, 我们现在选取 使得 . 考虑任意一个 , 其中 . 下面认为 是固定的.

那么, 自然有 , 使得 . 此时, 我们令 , 我们就有 (因为 ) : 即对任意的 , 我们找到了 , 使得对任意的 , 上面的不等式成立. 按照极限的定义, 这就是说 存在并且等于 .

Clairaut-Schwarz 定理的证明. 不妨假设 , . 为了简单期间, 我们将函数 记为其中 , . 对任意的 , 定义根据 Lagrange 中值定理, 我们有其中 . 当然, 简单地运用中值定理不能保证 . 为说明基本的想法, 我们先假设 . 此时, 根据二阶导数存在, 我们可以继续运用中值定理: 其中, . 再根据 的连续性, 我们知道 存在.

我们要对函数来运用前面的引理. 我们可以先令 , 根据定义, 我们有反过来, 我们也可以先令 . 类似的, 我们得到根据引理, 上面两式子左端的极限是相同的, 这就证明了命题.

最终, 我们解决上述 的技术性问题. 我们把函数写成: 我们只需要将 作为整体视作是 的函数 (此时, 都是固定的) 来运用 Lagrange 中值定理即可.

注记. 基于这个命题, 我们可以引入一个方便的记号来记多重的偏导数: 令 为一个多重指标, 也就是说对于每个 , 有 , 我们用 表示 , , , 作用在 上, 即 足够多次连续可微时, 上述命题保证了这些算子的复合不依赖于它们作用的顺序. 我们还令传统上我们还吧上面的多重偏导数 记作比如说, 我们经常看到

例子 (Clairaut-Schwarz 的反例). 如果 Clairaut-Schwarz 定理中的连续性不成立, 那么命题可能并不成立. 考察函数

那么, 我们有从而, 我们有类似地 (利用对称性) , 我们有这表明 Clairaut-Schwarz 定理并不成立. 请思考定理中的哪个条件没有被满足.

多元函数的 Taylor 展开

我们现在来证明高维空间 Lagrange 余项 Taylor 公式, 也就是在一个点附近用高次的多项式函数来逼近函数. 证明的想法很直接: 将问题沿不同的方向化为 1 维的情形. 其余余项的 Taylor 公式证明是类似的.

定理 32.4. 假设 是凸的开集, 次可微分 (我们通常要求更多的条件: 不超过 阶的偏导数存在并且连续, 这对于应用来说是足够的) . 那么, 对于任意的 , 其中 , , 存在 (可能依赖于 ) , 使得其中,

证明. 我们考虑 之间的连线并把函数 限制到这条线上. 用分析的语言写, 我们考虑函数这里用到了 的凸性. 我们首先来计算 -次导数 () : 这个式子可以用归纳法来证明: 是显然的. 假设根据方向导数的性质, 对任意的函数 , 我们有所以, 最后一个等号需要搞清楚如下的组合性质: 为了从前一步的某个 得到固定的 , 其中 , 有如下 中可能性: 所以, 所求的系数应该是 (这个等价于 ) :现在对 用 Taylor 公式 (在 ) 之间, 我们有 , 使得 的值代入即可.

中的光滑子流形: 曲线和曲面的定义

中, 我们考虑 , 此时的 是按照下面精确的方式定义的这是由 个线性函数的零点定义出来的线性子空间. 这就是最基本的 -维子流形的例子. 所谓的 子流形, 中的一个子集, 在每个局部上来看, 它长得样子就像是线性的 落在 中一样. 我们可以设想 中的一个曲面, 在一个点的附近, 这个曲面和切平面很近, 从而变化不大. 它的样子大概是

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曲面的两面用灰色和绿色表示, 其中绿色的一面上画有一条线. 这个曲面落在 中和右边的 中的 上的圆盘很相似.

为了理解子流形的概念, 我们先看两个 (不平凡的) 例子, 它们维数或者余维数为 (在 种这已经给出了所有的维数) . 维数为 的基本例子是 中的点, 余维数为 基本例子是 本身, 这些都没有太多的意思. 另外, 子流形是一个局部的概念, 所以我们现在只关心局部的情况.

我们首先研究曲线.

假设 是光滑的映射 ( 就可以) , 我们要求对任意的 , . 这个条件称作是曲线的非退化条件, 一定程度上可以认为是要排除 这种极端的例子 (此时, 我们得到的是一个点而不是曲线) . 由于 , 我们不妨假设 ( 的情况可以类似地讨论) , 即 分量在 附近 (我们总可以假设 很小) 是严格递增的. 我们要说明 附近与 非常相似. 事实上, 我们构造映射 附近, 这是一个良好定义并且是可逆的映射: 它的逆可以用下面的公式表达

不难看出, 这是一个微分同胚. 所在, 在用一个微分同胚把曲线 (的像) 拉直了之后或者说换到了 这个坐标系下看, 我们的曲线就是标准的 -轴:

MathAnalysis-N0302.svg

其次, 我们研究由方程的图像定义的曲面. 给定函数 . 我们考虑它的图像这是 中的超曲面 (余维数为 ) . 我们定义映射很明显, 是双射, 其逆映射为这两个映射显然是光滑的, 所以 是微分同胚. 从而, 通过用一个微分同胚把这个曲面拉直了之后或者说换到了 这个坐标系下看, 我们的曲线就是标准的 (由一个线性方程的零点给出) :

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最终, 我们再研究一个经典的例子, 考虑 3 维空间中的单位球面 , 也即是很明显, 可以被写成 个半球面的并: 每一个部分都是一个函数的图像, 比如说, 其中, 函数 定义在 平面的一个单位圆盘的内部. 所以说, 在局部上来看是一个微分子流形.

练习. 证明, 在如下的意义下永远都不是一个函数的图像: 不存在微分同胚 中的区域 (任意区域不一定是开集) 以及 上的光滑函数 , 使得 的图像

将这些例子作为基本的图像, 我们就可想办法定义 中的子流形了, 这是所有的那些在局部上复合一个微分同胚 (换一下坐标系) 之后就变成了线性子空间的一部分的那样的子集合. : 1

定义 32.5 (-维子流形). 假设 是非空子集, 这个 中的坐标用 表示. 如果存在整数 , 使得对任意的 , 存在开集 , 以及 (可能是另外一个) 中的开集 (这个 中的坐标用 表示) 以及微分同胚使得其中我们把 写成 , 上述的表达式要求后面的 个坐标都取 , 我们就称 的一个 -维的 (微分) 子流形. 其中, 称作是 维数, 记作 .

MathAnalysis-N0304.svg

注记. 我们还把 称作是 余维数, 它有着如下具体的含义: 存在 个函数, 使得 恰好是这些函数的公共零点集合. 实际上, 我们可以取 , 其中 .

我们需要说明维数 是良好的定义. 换句话说, 把 局部上看成是某个 维的线性子空间中的集合的方式又可能不唯一. 按照定义, 对于给定的 , 我们有可能有 (很明显有很多) 另外的 和开集 , 以及 (可能是另外一个) 中的开集 (这个 中的坐标用 表示) 以及微分同胚使得通过考虑 , 我们可以要求 .

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我们考虑映射这是两个微分同胚的复合, 所以还是微分同胚. 特别地, 如果我们把映射 限制到 上面, 我们就得到了微分同胚这是 中的两个开集之间的微分同胚, 我们上周已经利用复合映射的链式法则证明了 .