作业: 齐次函数与 Euler 公式

基本习题

$\bullet$ 热身: 多元函数的连续性

试判断下列极限是否存在; 如果存在, 计算之. $$\begin{array}{rlrlrlr}& & (1)& \underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{\sin (xy)}{x}& & (2)& \underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{\log (x+e^y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ & & (3)& \underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }{1}_{\{(x,y)|0<y<x^2,x\in \mathbb{R}\}}.& & (4)& \underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }(x+y)\sin \frac{1}{x}\sin \frac{1}{y}\\ & & (5)& \underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^2{y}^2}{x^2{y}^2+(x-y{)}^2}& & (6)& \underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{\sin (xy)}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ & & (7)& \underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}& & (8)& \underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{\sqrt{xy}}{(x^2+y^2{)}^p},p>0\end{array}$$

微分的定义与计算

习题 A 我们总假设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是开集, $x_0\in \Omega$ 是一个给定的点. 如果不另加说明 $f:\Omega \to \mathbb{R}$ 将代表一个函数.

A1)	(微分的唯一性) 考虑映射 $f:\Omega \subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$. 假设存在两个线性映射 $A_i:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ ($i=1,2$) , 使得对 $i=1$ 和 $2$ 和 $v\to 0$ 时, 都有$$f(x_0+v)=f(x_0)+A_i(v)+o(v).$$证明, $A_1=A_2$.
A2)	假设 $f$ 在 $x_0\in \Omega$ 处可微, $x_1,\cdots ,x_n$ 是 $n$ 个坐标函数. 证明, $df(x_0)=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)d{x}_i(x_0)$. 我们通常将这个式子记作 $df=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i$.
A3)	沿用上一问题的符号. 证明, $\{d{x}_i(x_0){\}}_{1⩽i⩽n}$ 给出了 $\mathrm{Hom}(T_{x_0}\Omega ,\mathbb{R})$ (这是 $T_{x_0}\Omega$ 的对偶空间, 即它上面的线性函数所构成的线性空间) 的一组基, 其中 $T_{x_0}\Omega ={\mathbb{R}}^n$.
A4)	假设 $\Omega$ 是凸集 (定义请参考课堂笔记) , $f$ 是 $\Omega$ 上的可微函数. 如果对任意的 $x\in \Omega$, 都有 $df(x)=0$. 证明, $f$ 是常值函数.
A5)	考察函数 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}},& \text{若}(x,y)\ne (0,0),\\ 0,& \text{若}(x,y)=(0,0).\end{array}$ 试计算 $f$ 的偏导数并证明 $f$ 的两个偏导数在 $(0,0)$ 处均不连续但是 $f$ 在 $(0,0)$ 处可微.
A6)	考察函数 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x{y}^2}{x^2+y^4},& \text{若}(x,y)\ne (0,0),\\ 0,& \text{若}(x,y)=(0,0).\end{array}$ 试计算 $f$ 在 $(0,0)$ 处所有方向导数并证明 $f$ 在 $(0,0)$ 不可微.
A7)	假设函数 $f$ 在 $\Omega$ 上的所有偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ ($i=1,2,\cdots ,n$) 都存在并且有界 (即存在 $M$, 使得对任意的 $i⩽n$, 任意的 $x\in \Omega$, 我们都有 $\left|\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|⩽M$) . 证明, $f$ 在 $\Omega$ 上连续. $f$ 是否在 $\Omega$ 上可微? 如果是, 请证明; 否则给出反例.
A8)	$\Omega \subset {\mathbb{R}}^2$ 为开集, 我们用 $(x,y)$ 来表示 ${\mathbb{R}}^2$ 上的坐标. 函数 $f:\Omega \to \mathbb{R}$ 的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 处处存在. 如果偏导数 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 在 $\Omega$ 上连续. 证明, $f$ 在 $\Omega$ 上可微.
A9)	考虑在 ${\mathbf{M}}_n(\mathbb{R})$ 上定义的行列式函数$$\det :{\mathbf{M}}_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R},A\mapsto \det (A).$$任意给定 $A\in {\mathbf{M}}_n(\mathbb{R})$, 试计算 $d\det {|}_{X=A}$. (如果你可以证明 $\det$ 是可微的, 那么可以用上学期第 6 次作业的 A9))
A10)	(偏导数的计算) 计算下列函数的偏导数: $$\begin{array}{rlrlrlr}& & (1)& f(x,y)=e^{xy}& & (2)& f(x,y,z)=\log (x+y^2+z^3)\\ & & (3)& f(x,y,z)=x^{y^z}& & (4)& f(x,y)=x+y+\sqrt{x^2+y^2}\\ & & (5)& f(x,y)=e^{x+y^2}+\sin (x^{2}y)& & (6)& f(x_1,x_2,x_3)=\tan \frac{x_1{x}_2}{x_3^2}\end{array}$$

导数和微分的计算

习题 B (复合函数求偏导数) (请熟练掌握)

假设 $f$ 为可微函数, 用 $f$ 的偏导数表达下列多元函数的偏导数: $$\begin{array}{rlrlrlrlrl}& & (1)& u(x,y)=f(x+y,xy)& & (2)& u(x,y,z)=f(x,xy,xyz)& & (3)& u(x,y,z)=f(\frac{x}{y},\frac{y}{z})\\ & & (4)& u(x,y)=f(x^2+y^2)& & (5)& u(x,y)=f(\log x+\frac{1}{y})& & (6)& u(x,y)=f(xy+e^{f(y)})\end{array}$$

习题 C

C1)	求如下坐标变换 $f$ 的 Jacobi 矩阵 $J(f)$ 并计算 $\det J(f)$: $$\begin{array}{rl}& (1)f:{\mathbb{R}}_{>0}\times (0,2\pi )\to {\mathbb{R}}^2,(r,\theta )\mapsto (r\cos \theta ,r\sin \theta );\\ & (2)f:{\mathbb{R}}_{>0}\times (0,2\pi )\times \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^3,(r,\theta ,z)\mapsto (r\cos \theta ,r\sin \theta ,z);\\ & (3)f:{\mathbb{R}}_{>0}\times (0,\pi )\times (0,2\pi )\to {\mathbb{R}}^3,(r,\theta ,\phi )\mapsto (r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta );\\ & (4)f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2,(u,v)\mapsto (u^2-v^2,2uv);\\ & (5)f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2,(u,v)\mapsto (e^u\cos v,e^u\sin v);\\ & (6)f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2,(u,v)\mapsto (\frac{u}{u^2+v^2},\frac{v}{u^2+v^2}).\end{array}$$
C2)	我们考虑 ${\mathbb{R}}^3$ 上的柱面坐标系: $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=z$. 这个坐标变换用映射来写就是$$\Phi :{\mathbb{R}}_{>0}\times (0,2\pi )\times \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^3,(r,\theta ,z)\mapsto (r\cos \theta ,r\sin \theta ,z).$$设 $f$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 上的二次可微函数. 当 $(x,y)\ne (0,0)$ 时, 试通过计算来证明: $$\begin{array}{rl}& \frac{\partial f}{\partial r}=\cos \theta \frac{\partial f}{\partial x}+\sin \theta \frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial \theta }=-r\sin \theta \frac{\partial f}{\partial x}+r\cos \theta \frac{\partial f}{\partial y},\\ & {\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}^2={\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)}^2+\frac{1}{r^2}{\left(\frac{\partial f}{\partial \theta }\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}^2,\\ & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}.\end{array}$$
C3)	我们考虑 ${\mathbb{R}}^3$ 上的球坐标系 $(x,y,z)=(r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta )$. 证明, $$\begin{array}{rl}{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}^2& ={\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)}^2+\frac{1}{r^2}{\left(\frac{\partial f}{\partial \theta }\right)}^2+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }{\left(\frac{\partial f}{\partial \phi }\right)}^2,\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}& =\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta }\right)+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}.\end{array}$$

习题 D (齐次函数与 Euler 公式) 考虑函数 $f:{\mathbb{R}}^n-\{0\}\to \mathbb{R}$. 如果存在 $k\in \mathbb{R}$, 使得对任意的 $\lambda >0$ 和任意的 $x\ne 0$, 我们都有 $f(\lambda x)={\lambda }^{k}f(x)$, 我们就称 $f$ 为 $\mathbf{k}$ 次齐次的, 其中 $k$ 称作是它的次数.

D1)	证明, 下面的函数 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 是齐次函数: $$\begin{array}{rl}& (1)f\text{是线性函数 };\\ & (2)f(x_1,\cdots ,x_n)=x_1{x}_2+\cdots +x_{n-1}{x}_n;\\ & (3)f(x_1,\cdots ,x_n)=\min \{x_1,\cdots ,x_n\};\\ & (4)f(x)=\frac{g(x)}{h(x)},\text{其中当}x\ne 0\text{时},h(x)\ne 0,\text{并且 g 和 h 都是齐次函数}.\end{array}$$
D2)	(Euler) 假设 $f$ 是可微的. 证明: $f$ 是 $k$ 次齐次函数当且仅当它满足 Euler 等式 $\sum _{i=1}^n{x}_i\frac{\partial f}{\partial x_i}=kf$.
D3)	假设可微函数 $f$ 是 $k$ 次齐次函数. 证明, 对任意 $v\in {\mathbb{R}}^n$, ${\nabla }_{v}f$ 是 $k-1$ 次齐次函数.
D4)	令 $f(x_1,\cdots ,x_n)=\det \left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & 1\\ x_1& \cdots & x_n\\ ⋮& & ⋮\\ x_1^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right)$. 证明, $\sum _{i=1}^n{x}_i\frac{\partial f}{\partial x_i}=\frac{n(n-1)}{2}f$ 和 $\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}=0$.

思考题: 切空间的抽象／几何定义 (这是理解微分和切空间的重要习题)

习题 T 给定开集 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 和 $p\in \Omega$. 我们令 $\mathcal{C}(p)$ 是所有通过 $p$ 的 $C^1$ 的曲线的集合. 按照定义, 我们有$$\mathcal{C}(p)=\{\gamma :I\to \Omega |I\subset \mathbb{R}\text{是开区间且}0\in I,\gamma (0)=p,\gamma \text{是C1的}\},$$我们在 $\mathcal{C}(p)$ 定义如下的等价关系, 其中 ${\gamma }_1,{\gamma }_2\in \mathcal{C}(p)$: $${\gamma }_1\sim {\gamma }_2\text{当且仅当}{\gamma }_1^{\prime }(0)={\gamma }_2^{\prime }(0).$$我们考虑 $\mathcal{C}(p)$ 在上述等价关系下的等价类 $\mathcal{C}(p)/\sim$: $$\mathcal{C}(p)/\sim =\{[\gamma ]|\gamma \in \mathcal{C}(p)\},$$其中, 如果 $\gamma \sim {\gamma }^{\prime }$, 那么在等价类的集合 $\mathcal{C}(p)/\sim$ 中, $[\gamma ]=[{\gamma }^{\prime }]$. 换句话说, 我们把在 $p$ 点处的切向量相同的曲线认为是同一条曲线, 这就是为什么我们把这个空间称作是切空间.

T1)	证明, 映射$${\iota }_p:\mathcal{C}(p)/\sim \to {\mathbb{R}}^n,[\gamma ]\mapsto {\gamma }^{\prime }(0)$$是良好定义的并且是双射
T2)	证明, 将 $\mathcal{C}(p)/\sim$ 定义为一个 $\mathbb{R}$-线性空间使得上述为线性空间的同构, 我们把具有线性空间结构的 $\mathcal{C}(p)/\sim$ (它本来仅是曲线的等价类的集合) 记作是 $T_p{\Omega }_1$.
T3)	令 ${\Omega }^{\prime }={\mathbb{R}}^m$, $f:\Omega \to {\Omega }^{\prime }$ 是 $C^1$ 的映射 (即其微分也连续) , $p^{\prime }=f(p)$. 证明, 映射$$f_{♯,p}:\mathcal{C}(p)\to \mathcal{C}(p^{\prime }),\gamma \mapsto f\circ \gamma ,$$是良好定义的. 换句话说, 通过和 $f$ 复合, 我们可以把 $\Omega$ 上通过 $p$ 点的曲线映射称为 ${\Omega }^{\prime }$ 上通过 $p^{\prime }$ 点的曲线.
T4)	证明, 映射$$f_{\ast p}:T_p\Omega \to T_{p^{\prime }}{\Omega }^{\prime },[\gamma ]\mapsto [f_{♯,p}(\gamma )],$$是良好定义线性映射. 这个映射被称作是切映射.
T5)	在 $\Omega$ 上考虑曲线$${\ell }_k:(-1,1)\to {\Omega }^{\prime },t\mapsto p+\underset{\text{只有第 k 个位置非 0}}{\underbrace{(0,0,\cdots ,0,t,0,\cdots ,0)}}$$证明, ${\iota }_p([{\ell }_k])=\frac{\partial }{\partial x_k}$, 其中, 我们在 ${\mathbb{R}}^n$ 上用 $\{x_1,\cdots ,x_n\}$ 作为坐标系.
T6)	在 $\Omega$ 上考虑曲线$${\ell }_{k^{\prime }}^{\prime }:(-1,1)\to {\Omega }^{\prime },t\mapsto p+\underset{\text{只有第 k′ 个位置非 0}}{\underbrace{(0,0,\cdots ,0,t,0,\cdots ,0)}}$$试用 $f$ 的偏导数和 $[{\ell }_{k^{\prime }}^{\prime }]$ 来表达 $f_{\ast p}([{\ell }_k])$.
T7)	证明, 我们有如下的交换图表: 即对任意的 $[\gamma ]\in T_p\Omega$, 我们有$$f_{\ast p}([\gamma ])={\iota }_{p^{\prime }}^{-1}(df(p)({\iota }_p([\gamma ])\left)\right).$$在这个意义, $f_{\ast p}$ 与 $df(p)$ 是一样的.
T8)	给定 $[{\gamma }_1],[{\gamma }_2]\in T_p\Omega$, 如果它们都不是 $0$, 我们可以计算它们的角度: $$\cos (\angle ([{\gamma }_1],[{\gamma }_2]))=\frac{{\gamma }_1^{\prime }(0)\cdot {\gamma }_2^{\prime }(0)}{|{\gamma }_1^{\prime }(0)||{\gamma }_2^{\prime }(0)|},$$我们要求角度是在 $[0,\pi )$ 中的值. 考虑反演变换: $$f:{\mathbb{R}}^n-\{0\}\to {\mathbb{R}}^n-\{0\},x\mapsto \frac{x}{|x{|}^2}.$$证明, $f$ 是 $C^1$ 的并且对任意的 $p\in {\mathbb{R}}^n-\{0\}$, $f_{\ast }:T_p({\mathbb{R}}^n-\{0\})\to T_{f(p)}({\mathbb{R}}^n-\{0\})$ 保持角度.

寄语. Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

— Albert Einstein