作业: Sturm–Liouville 理论的一个例子

凸函数的研究

如果不另加说明, $f$ 总代表某区间 $I$ 上实值函数. 如果对任意的 $x,y\in I$ 和 $t\in (0,1)$, 都有 $f(tx+(1-t)y)<tf(x)+(1-t)f(y)$, 我们就称 $f$ 为严格凸的. 仿照课堂上凹函数的定义, 我们可以类似地定义严格凹的函数 (即 $-f$ 是严格凸的) .

习题 A: 凸函数的基本性质

A1)	试判断下列函数的凸 (凹) 或者严格凸 (凹) 性: $$\begin{array}{rlrlrl}& (1)f(x)=|x|,I=\mathbb{R}& & (2)f(x)=x^p,p\in \mathbb{R},I={\mathbb{R}}_{>0},& & (3)f(x)=\sin x,I=[0,\pi ],\\ & (4)f(x)=x\log x,I={\mathbb{R}}_{>0}& & (5)f(x)=\{\begin{array}{l}1,x=0,1\\ 0,0<x<1.\end{array}I=[0,1]& & \end{array}$$
A2)	试证明凸函数的如下基本性质: 1. 如果 $f,g$ 是区间 $I$ 上的凸函数, 那么 $f+g$ 也是凸函数. 2. 如果 $f,g$ 是区间 $I$ 上的单调递增的非负的凸函数, 那么 $fg$ 是凸函数. 3. 如果 $f$ 是区间 $I$ 上的凸函数, $g$ 是区间 $J\supset f(I)$ 上的单调递增凸函数, 那么 $g\circ f$ 是凸函数. 4. 如果 $f,g$ 是区间 $I$ 上的凸函数, 那么 $h(x)=\max \{f(x),g(x)\}$ 是凸函数.
A3)	假设 $f\in C((a,b))$. 如果对任意的 $x,y\in (a,b)$, 都有 $f\left(\frac{x+y}{2}\right)⩽\frac{f(x)+f(y)}{2}$, 证明, $f$ 是凸函数.
A4)	$f$ 是 $[a,b]$ 上的凸函数. 如果存在 $c\in (a,b)$, 使得 $f(c)⩾\max \{f(a),f(b)\}$. 试证明, $f$ 是常值函数.
A5)	$f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的凸函数. 如果 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上有界, 证明, $f$ 是常值函数.
A6)	设 $f$ 是区间 $I$ 上的严格凸函数. 假设 $f(x_0)\in I$ 是 $f$ 的局部极小值, 证明, $x_0$ 是 $f$ 唯一的整体极小值点, 即对任意的 $x\in I-\{x_0\}$, 我们有 $f(x_0)<f(x)$.
A7)	$I$ 是开区间. 证明, $f$ 是凸函数等价于对任意点 $x_0\in I$, 存在实数 $a\in \mathbb{R}$, 使得对任意的 $x\in I$, 我们都有 $f(x)⩾a(x-x_0)+f(x_0)$.

习题 B: 凸函数与不等式

B1)	证明下面的不等式: $$\begin{array}{rl}& (1)x-\frac{x^2}{2}<\log (1+x)<x,x>0;(2)(x^{\alpha }+y^{\alpha }{)}^{1/\alpha }>(x^{\beta }+y^{\beta }{)}^{1/\beta },x,y>0,\beta >\alpha >0\\ & (3)x-\frac{x^3}{6}<\sin x<x,x>0;(4){\left(\frac{1+x}{2}\right)}^p+{\left(\frac{1-x}{2}\right)}^p⩽\frac{1}{2}(1+x^p),p⩾2,x\in [0,1].\end{array}$$
B2)	试求所有的正数 $a$, 使得不等式 $a^x⩾x^a$ 对任意的 $x>0$ 都成立.
B3)	证明如下不等式并给出等号成立的条件: 对任意正数 $x_i$ 和 $t_i$ ($i=1,\cdots ,n$) , $\sum _{i=1}^n{t}_i=1$, 都有$${\left(\sum _{i=1}^n{t}_i{x}_i\right)}^{\sum _{i=1}^n{t}_i{x}_i}⩽\prod _{i=1}^n{x}_i^{t_i{x}_i}.$$
B4)	证明, Young 不等式并给出等号成立的条件: 对于任意正数 $a,b$, 任意的实数 $p,q$, 其中 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ (我们要求 $p$ 和 $q$ 不是 $0$ 或者 $1$) , 我们有$$ab⩽\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q},\text{如果}p>1;ab⩾\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q},\text{如果}p<1.$$
B5)	证明 Hölder 不等式并给出等号成立的条件: 设 $x_i,y_i⩾0$, 其中 $i=1,\cdots ,n$, $p,q\ne 0,1$, 其中 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, 我们有$$\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i⩽{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^p\right)}^{1/p}{\left(\sum _{i=1}^n{y}_i^q\right)}^{1/q},\text{如果}p>1;\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i⩾{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^p\right)}^{1/p}{\left(\sum _{i=1}^n{y}_i^q\right)}^{1/q},\text{如果}p<1.$$在上述不等式中, 如果 $p<0$, 我们假设 $x_i>0$. (这个不等式的结论比证明重要得多, 同学们可以参考其它资料来写下证明)

导数的性质和应用: 复习

习题 C: 利用 (高阶) 导数的信息刻画函数 (低阶导数)

在本习题中, 我们把函数 $f$ 也记为 $f^{(0)}$.

C1)	我们假设 $f\in C([0,1])$, $g$ 在 $[0,1]$ 上可导且 $g(0)=0$. 如果存在常数 $\lambda \ne 0$, 使得对任意的 $x\in [0,1]$, 都有 $|g(x)f(x)+\lambda g^{\prime }(x)|⩽|g(x)|$, 证明, $g(x)\equiv 0$.
C2)	$f$ 在 $(-1,1)$ 上二阶可导, $f(0)=f^{\prime }(0)=0$. 如果对任意的 $x\in (-1,1)$, 都有 $|f^{\prime \prime }(x)|⩽|f(x)|+|f^{\prime }(x)|$, 证明, $f(x)\equiv 0$.
C3)	$n$ 是正整数, $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上 $n$ 阶可导, $f(0)=f^{\prime }(0)=\cdots =f^{(n-1)}(0)=0$. 如果 $C\in {\mathbb{R}}_{>0}$ 和 $\ell \in {\mathbb{Z}}_{⩾0}$, 使得对任意 $x\in \mathbb{R}$ 都有 $|f^{(n)}(x)|⩽C|f^{(\ell )}(x)|$, 证明, $f(x)\equiv 0$.
C4)	$n$ 是正整数, 证明, 多项式 $P(x)=\sum _{k=0}^{n+1}{C}_{n+1}^k(-1{)}^k(x-k{)}^n$ 是 $0$.
C5)	$f\in C^{\infty }(\mathbb{R})$. 假设存在正实数 $C$, 使得对任意 $n\in {\mathbb{Z}}_{⩾0}$ 和任意的 $x\in \mathbb{R}$, 我们都有 $|f^{(n)}(x)|⩽C$. (i) 证明, 给定任意的 $x_0\in \mathbb{R}$, 我们可以 (以 $x_0$ 为中心) 将 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上展开为无穷 Taylor 级数, 即$$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k,\forall x\in \mathbb{R}.$$ (ii) $E\subset \mathbb{R}$ 是一个无穷集并且有界. 证明, 如果 $f$ 在 $E$ 上的取值都是零, 那么 $f\equiv 0$.
C6)	假设 $f\in C^2((0,1))$, $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=0$. 如果存在 $C>0$, 使得对任意 $x\in (0,1)$, 我们都有不等式 $(1-x{)}^2|f^{\prime \prime }(x)|⩽C$. 证明, $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(1-x)f^{\prime }(x)=0$.

习题 D: 利用导数求极值

求下列函数在给定集合 $I$ 上的极值 $\underset{x\in I}{\sup }f(x)$ 和 $\underset{x\in I}{\inf }f(x)$, 其中 $m,n$ 为正整数.

D1)	$f(x)=\frac{(\log x{)}^2}{x}$, $I={\mathbb{R}}_{>0}$;
D2)	$f(x)=|x(x^2-1)|$, $I=\mathbb{R}$;
D3)	$f(x)=\frac{x(x^2+1)}{x^4-x^2+1}$, $I=\mathbb{R}$;
D4)	$f(x)=x^{\frac{1}{3}}(1-x{)}^{\frac{2}{3}}$, $I=(0,1)$;
D5)	$f(x)=\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}\right)e^{-x}$, $I=\mathbb{R}$;
D6)	$f(x)={\sin }^{2m}x{\cos }^{2n}x$, $I=\mathbb{R}$.

习题 E: 利用导数比较函数 (或实数) 大小

E1)	$f(x)=e^x$ 和 $g(x)=1+x{e}^x$, 其中 $x>0$;
E2)	$f(x)=x{e}^{\frac{x}{2}}$ 和 $g(x)=e^x-1$, 其中 $x>0$;
E3)	$f(x)={\left(\frac{x+1}{2}\right)}^{x+1}$ 和 $g(x)=x^x$, 其中 $x>0$;
E4)	$2^{\sqrt{2}}$ 和 $e$;
E5)	$f(x)=\log (1+\sqrt{1+x^2})$ 和 $g(x)=\frac{1}{x}+\log x$, 其中 $x>0$;
E6)	${\log }_{e}8$ 和 $2$.

习题 F: 函数的重根

上传者注: 本题题设条件下可以举出很多反例, 建议读者将可微条件全部改为足够高阶连续可微, 或者光滑.

如果 $f$ 在 $x_0$ 的一个邻域内满足 $f(x)=(x-x_0{)}^{r}g(x)$, 其中 $r\in {\mathbb{Z}}_{⩾0}$, $g$ 在 $x_0$ 处连续并且 $g(x_0)\ne 0$, 那么我们就称 $x_0$ 为 $f$ 的 $r$-重根. 我们注意到, $0$-重根并非根.

F1)	假设 $x_0$ 是 $f$ 的 $r$-重根, 其中 $r⩾1$. 证明, 如果 $g(x)=\frac{f(x)}{(x-x_0{)}^r}$ 可微, 那么 $x_0$ 是 $f^{\prime }$ 的 $(r-1)$-重根.
F2)	假设 $f$ 为 $\mathbb{R}$ 上 $n$ 阶的可微函数. 证明, 如果 $f(x)=0$ 有 $n+1$ 个不同的实根, 那么 $f^{(n)}(x)=0$ 至少有一个实根.
F3)	$f$ 为 $\mathbb{R}$ 上的可微函数. 假设 $f(x)=0$ 按重数计算恰有 $r$ 个实根, 也就是说, $f(x)=0$ 有 $s$ 个相异的实根 $x_1,x_2,\cdots ,x_s$, 它们的重数分别为 $r_1,r_2,\cdots ,r_s$ 并且 $r_1+r_2+\cdots +r_s=r$. 证明, $f^{\prime }(x)=0$ 按重数计至少有 $r-1$ 个根.
F4)	假设 $f$ 为 $\mathbb{R}$ 上 $n$ 阶的可微函数. 证明, 如果 $f(x)=0$ 按重数计恰有 $n+1$ 个实根, 那么 $f^{(n)}(x)=0$ 至少有一个实根.

习题 G

设 $a\in \mathbb{R}$, $f:(a,\infty )\to \mathbb{R}$ 在 $(a,\infty )$ 上二阶可微, 并且$$M_0:=\underset{x\in (a,\infty )}{\sup }|f(x)|,M_1:=\underset{x\in (a,\infty )}{\sup }|f^{\prime }(x)|,\text{和}{M}_2:=\underset{x\in (a,\infty )}{\sup }|f^{\prime \prime }(x)|$$均为实数.

G1)	证明: $M_1^2⩽4M_0{M}_2$. (提示: 对任意的 $h>0$ 和任意的 $x\in (a,\infty )$, 证明, 有 $\xi \in (x,x+2h)$, 使得$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2h}[f(x+2h)-f(x)]-h{f}^{\prime \prime }(\xi )$$成立, 继而用 $M_0,M_2$ 来控制 $M_1$.)
G2)	令 $a=-1$, 考察函数 $f:(-1,\infty )\to \mathbb{R}$:$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2-1& x\in (-1,0),\\ \frac{x^2-1}{x^2+1}& x\in [0,\infty ),\end{array}$$验证 $f$ 二阶可微, 验证 $M_0=1,M_1=4$, $M_2=4$. 因此, 在不等式 1) 中, 等号可能取到.
G3)	假设 $\mathbf{f}:(a,\infty )\to {\mathbb{R}}^n$ 是 $(a,\infty )$ 上二阶可微的在 ${\mathbb{R}}^n$ 中取值的向量值函数, 记 $M_0,M_1$ 和 $M_2$ 分别为 $|\mathbf{f}|$, $|{\mathbf{f}}^{\prime }|$ 和 $|{\mathbf{f}}^{\prime \prime }|$ 的上确界. 证明: $M_1\le 4M_0{M}_2$.

题目 S: Sturm–Liouville 理论的一个例子 (8 字班期末考试题之一, 不交作业)

在这个问题中, 我们仿照 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的构造来研究一类微分方程的解的零点. 我们假设如下的唯一性定理成立:

定理. 假设 $a(t)\in C^1(\mathbb{R})$, $t_0\in \mathbb{R}$. 如果 $x(t),y(t)\in C^2(\mathbb{R})$, 满足同样的方程$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime \prime }(t)+a(t)x(t)& =0,\\ y^{\prime \prime }(t)+a(t)y(t)& =0.\end{array}$$并且它们的初始值 $(x(t_0),x^{\prime }(t_0))=(y(t_0),y^{\prime }(t_0))$ 是一样的, 那么 $x(t)\equiv y(t)$.

这个定理说的是在任意一个点 $t_0\in \mathbb{R}$ 处, 一个解 $x$ 和它的导数 $x^{\prime }$ 在这个点的值决定了 $x$. 作为定理的一个应用, 假设$$\begin{array}{r}{x}^{\prime \prime }(t)+a(t)x(t)=0.\end{array}$$如果 $x(0)=0$ 并且 $x^{\prime }(0)=0$, 那么 $x(t)\equiv 0$.

对任意的函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $t⩾0$, 我们用 ${\mathrm{Z}}_t(f)$ 表示 $f$ 在区间 $[0,t]$ 上的零点的个数, 即$$Z_t(f)=\left|\right\{x\in [0,t]|f(x)=0\}|.$$

第一部分

在此部分中, 函数 $a(t),b(t)\in C^1(\mathbb{R})$ 并且对任意的 $t\in \mathbb{R}$, 都有 $a(t)⩽b(t)$. 假设 $x(t),y(t)\in C^2(\mathbb{R})$, 满足如下两个方程$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime \prime }(t)+a(t)x(t)& =0,\\ y^{\prime \prime }(t)+b(t)y(t)& =0.\end{array}$$我们还假设 $x(t)$ 和 $y(t)$ 都不恒为 $0$.

S1)	假设 $t_1$ 是 $x$ 的一个零点 (即 $x(t_1)=0$) , 如果存在 $t>t_1$, 使得 $x(t)=0$, 证明, 一定存在 $t_2>t_1$, 使得 $x(t_2)=0$ 并且 $x$ 在 $(t_1,t_2)$ 上无零点. 我们将这样的两个零点 $t_1$ 和 $t_2$ 称作是 $x$ 的两个相邻的零点. (提示: 利用我们证明过的微分方程解的唯一性: 如果 $x^{\prime \prime }(t)+a(t)x(t)=0$ 并且 $x(t_0)=x^{\prime }(t_0)=0$, 那么 $x(t)\equiv 0$. )
S2)	假设 $t_2>t_1$ 是 $x$ 的两个相邻的零点. 证明, $y$ 在 $(t_1,t_2]$ 上有零点. (提示: 考察函数 $h(t)=x^{\prime }(t)y(t)-x(t)y^{\prime }(t)$)
S3)	证明, 对任意的 $t⩾0$, 我们都有 $Z_t(y)⩾Z_t(x)-1$.
S4)	假设 $t_2>t_1$ 使得 $x(t_1)=0$, $x^{\prime }(t_2)=0$. 证明 (任选其一) , ∘ 如果 $y(t_1)=0$, 那么存在 $t_3\in [t_1,t_2]$, 使得 $y^{\prime }(t_3)=0$. ∘ 如果 $y^{\prime }(t_2)=0$, 那么存在 $t_4\in [t_1,t_2]$, 使得 $y(t_4)=0$.

第二部分

在此部分中, $p(t)\in C^1(\mathbb{R})$ 是正函数, 即对任意的 $t\in \mathbb{R}$, 都有 $p(t)>0$. $x(t),y(t)\in C^2(\mathbb{R})$ 都不恒为 $0$ 并且满足$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime \prime }(t)+p(t)x(t)& =0,\\ y^{\prime \prime }(t)+p(t)y(t)& =0.\end{array}$$

S5)	证明, 对任意的 $t⩾0$, 我们都有 $|Z_t(x)-Z_t(y)|⩽1$.
S6)	证明下面的两个命题 (任选其一) : ∘ 如果 $t_1$ 和 $t_2$ 是 $x$ 的两个相邻的零点, 那么存在唯一的 $t_3\in [t_1,t_2]$, 使得 $x^{\prime }(t_3)=0$. ∘ 如果 $t_1^{\prime }$ 和 $t_2^{\prime }$ 是 $x^{\prime }$ 的两个相邻的零点, 那么存在唯一的 $t_3^{\prime }\in [t_1,t_2]$, 使得 $x(t_3^{\prime })=0$.
S7)	证明下面的两个命题 (任选其一) : ∘ $t_0$ 是 $|x(t)|$ 的局部最大值当且仅当 $x^{\prime }(t_0)=0$. ∘ $t_0^{\prime }$ 是 $|x^{\prime }(t)|$ 的局部最大值当且仅当 $x(t_0^{\prime })=0$.

第三部分

在此部分中, 我们假设 $p(t)\in C^1(\mathbb{R})$ 是递减的函数并且 $\underset{t\to +\infty }{\lim }p(t)>0$. 我们记$$p(\infty ):=\underset{t\to +\infty }{\lim }p(t).$$$x(t)\in C^2(\mathbb{R})$ 不恒为 $0$ 并且满足$$x^{\prime \prime }(t)+p(t)x(t)=0.$$

*S8)	证明, $\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{Z_t(x)}{t}$ 存在并计算这个极限.
S9)	假设 $0⩽t_1<t_2<t_3<\cdots$ 是 $x(t)$ 在 $[0,+\infty )$ 上所有的零点, $0⩽t_1^{\prime }<t_2^{\prime }<t_3^{\prime }<\cdots$ 是 $x^{\prime }(t)$ 在 $[0,+\infty )$ 上所有的零点. 证明, 数列 $\{|x^{\prime }(t_k)|{\}}_{k⩾1}$ 是递减的而数列 $\{|x(t_k^{\prime })|{\}}_{k⩾1}$ 是递增的, 并且$$\underset{k\to \infty }{\lim }|x^{\prime }(t_k)|=\sqrt{p(\infty )}\underset{k\to \infty }{\lim }|x(t_k^{\prime })|.$$(提示: 考察函数 $E(t)=p(t)x(t{)}^2+x^{\prime }(t{)}^2$ 和 $F(t)=x(t{)}^2+\frac{1}{p(t)}{x}^{\prime }(t{)}^2$. )
*S10)	假设 $0⩽{\tilde{t}}_1<{\tilde{t}}_2<{\tilde{t}}_3<\cdots$ 是 $x(t)x^{\prime }(t)$ 在 $[0,+\infty )$ 上所有的零点. 证明, 数列 $\{{\tilde{t}}_{k+1}-{\tilde{t}}_k{\}}_{k⩾1}$ 是递增的并计算它的极限.