作业: Archimedes 对抛物线面积的计算, Gauss 积分

Fubini 定理与积分的计算

A. 经典习题, 计算与反例

我们假设 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 和 $(Y,\mathcal{B},\nu )$ 是测度空间并且 $\mu$ 和 $\nu$ 是 $\sigma$-有限的.

A1)	(Fubini 定理的反例) 函数 $f(x,y)$ 在 $[0,1]\times [0,1]$ 上定义: $$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2},& (x,y)\ne (0,0);\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$$证明, $${\int }_0^1\left({\int }_0^{1}f(x,y)dy\right)dx\ne {\int }_0^1\left({\int }_0^{1}f(x,y)dx\right)dy.$$Fubini 定理的那个条件没有被满足?
A2)	(Fubini 定理的反例) 我们考虑测度空间 $([0,1],\mathcal{B},m)$ (Borel 代数加上 Lebesgue 测度) 和 $([0,1],\mathcal{P}([0,1]),\mu )$, 其中 $\mathcal{P}([0,1])$ 是 $[0,1]$ 上所有的子集所构成的 $\sigma$-代数, $\mu (A)$ 为 $A$ 中的元素个数. ∘ 证明, $([0,1],\mathcal{P}([0,1]),\mu )$ 是测度空间但不是 $\sigma$ 有限的. ∘ 我们考虑在 $[0,1]\times [0,1]$ 上定义的函数: $$f(x,y)=1_{x=y}(x,y).$$证明, $${\int }_0^1\left({\int }_0^{1}f(x,y)dy\right)dx\ne {\int }_0^1\left({\int }_0^{1}f(x,y)dx\right)dy.$$Fubini 定理的那个条件没有被满足?
A3)	假设 $f$ 和 $g$ 是 ${\mathbb{R}}^1$ 上的局部上 Riemann 可积 (即在每个闭区间上面都可积) 的实值函数. 对任意的 $x\in \mathbb{R}$, 我们定义$$F(x)={\int }_0^{x}f(s)ds,G(x)={\int }_0^{x}g(s)ds.$$证明, 对任意的 $a<b$, 我们都有$$F(b)G(b)=F(a)G(a)+{\int }_a^{b}F(t)g(t)dt+{\int }_a^{b}G(t)f(t)dt.$$
A4)	假设 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 和 $(Y,\mathcal{B},\nu )$ 是测度空间并且 $\mu$ 和 $\nu$ 是 $\sigma$-有限的. ∘ 证明, 集合 $D_{\mu }=\{x\in X\mid \mu (\{x\})>0\}$ 是可数的. ∘ 证明, 集合 $\Delta =\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^1\times {\mathbb{R}}^1\mid x=y\}\subset X\times Y$ 是 $\mathcal{A}\otimes \mathcal{B}$-可测的. ∘ 证明如下的公式$$\mu \otimes \nu (\Delta )=\sum _{x\in D_{\mu }}\mu (\{x\})\nu (\{x\}).$$
A5)	(Archimedes, 公元前三世纪) 假设 $\Gamma$ 是 $y=-c{x}^2$ 在平面上所定义的抛物线, 其中 $c>0$. $A,B\in \Gamma$ 是给定的两点, $AB$ 是这两点所连的线段 (我们称它为 $\Gamma$ 的一条弦) . ∘ 证明, $\Gamma$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 中的 $1$ 维光滑子流形. 进一步证明, 存在唯一的点 $C\in \Gamma$, 使得 $\Gamma$ 在 $C$ 处的切线与 $AB$ 平行. ∘ 假设 $C$ 的坐标是 $(C_1,C_2)$, 那么由 $x=C_1$ 定义的直线与 $AB$ 相交于 $AB$ 的中点. ∘ 证明, 由 $\Gamma$ 与 $AB$ 所围成的图形的面积是三角形 $ABC$ 面积的 $\frac{4}{3}$ 倍.
A6)	(Gauss 积分的计算) 试计算下面的积分: $$\begin{array}{rl}\bullet & {\int }_{x^2+y^2⩽R^2}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy,\text{其中}R>0;\\ \bullet & {\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-a{x}^2+bx+c}dx,\text{其中}a>0;\\ \bullet & {\int }_{{\mathbb{R}}^n}\exp (-\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^n{A}_{ij}{x}_i{x}_j)dx,\text{其中}A=(A_{ij})\text{是 n×n 的正定（对称）矩阵};\\ \bullet & {\int }_{{\mathbb{R}}^n}\exp (-\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^n{A}_{ij}{x}_i{x}_j+\sum _{i=1}^n{B}_i{x}_i)dx,\text{其中}A=(A_{ij})\text{是 n×n 的正定（对称）矩阵.}\end{array}$$
A7)*	假设 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 是 Borel-可测的函数, 证明, 存在零测集 (Lebesgue 意义下) $N\subset \mathbb{R}$, 使得对任意的 $y\notin N$, 我们有$$m\left(\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid f(x)=y\}\right)=0.$$

积分的计算

注记 (符号约定). 人们通常用 $\iint$ 表示在 ${\mathbb{R}}^2$ 上的区域上积分, 用 $\iiint$ 表示在 ${\mathbb{R}}^3$ 上的区域上积分, 这和平时的一个积分号 $\int$ 表达的意思是一致的.

B. 计算积分: 第一组

$$\begin{array}{rlrl}& (B1){\iint }_{[0,\pi /2]\times [0,1]}x\cos (xy)dxdy& & (B2){\iint }_{[0,\pi {]}^2}\sin (x+y)dxdy\\ & (B3){\iint }_{[3,4]\times [1,2]}\frac{dxdy}{(x+y{)}^2}& & (B4){\iint }_{[0,2{]}^2}[x+y]dxdy\\ & (B5){\iint }_{[0,\pi {]}^2}|\cos (x+y)|dxdy& & (B6){\iint }_{\{|x|+|y|⩽1\}}{e}^{x+y}dxdy\end{array}$$$$\begin{array}{rlrl}& (B7){\iint }_{\{x^2+y^2⩽a^2\}}|xy|dxdy& & (B8){\iint }_{\{x^2+y^2⩽a^2\}}x\cos (xy)dxdy.\\ & (B9){\iint }_{\{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}⩽1\}}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}dxdy& & (B10){\iint }_{\{x^4+y^4⩽1\}}|xy|dxdy\\ & (B11){\iint }_{\{x^2+y^2⩽x+y\}}\sqrt{x^2+y^2}dxdy& & (B12){\iint }_{\{x^2+y^2⩽Rx\}}\sqrt{R^2-x^2-y^2}dxdy.\end{array}$$

C. 计算积分: 第二组

$$\begin{array}{rl}& (C1){\iint }_D{y}^{2}dxdy,D\text{由旋轮线}\{(a(t-\sin t),a(1-\cos t)),t\in [0,2\pi ]\}\text{与}y=0\text{围成}.\\ & (C2){\iint }_D{e}^{\frac{y}{x+y}}dxdy,D\text{是以}(0,0),(0,1),(1,0)\text{为顶点的三角形}.\\ & (C3){\iint }_D(x-y{)}^2\sin (x+y)dxdy,D\text{是以}(\pi ,0),(2\pi ,\pi ),(\pi ,2\pi ),(0,\pi )\text{为顶点的正方形}.\\ & (C4){\iint }_D{x}^2+y^{2}dxdy,D\text{由曲线}{x}^2-y^2=1,x^2-y^2=2,xy=1,xy=2\text{围成}.\end{array}$$$$\begin{array}{rl}& (C5){\iint }_D\frac{1}{xy}dxdy,D\text{由四条抛物线}{y}^2=px,y^2=qx,x^2=ay,x^2=by(0<p<q,0<a<b)\text{围成}.\\ & (C6){\iiint }_D\frac{dxdydz}{(1+x+y+z{)}^3},D=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x+y+z⩽1,x,y,z⩾0\}.\\ & (C7){\iiint }_D(x^2+y^2+z^2)dxdydz,D\text{由球面}{x}^2+y^2+z^2=a^2\text{与锥面}z=\sqrt{x^2+y^2}\text{围成}.\\ & (C8){\iiint }_{D}zdxdydz,D\text{由两个球面}{x}^2+y^2+z^2=2az,x^2+y^2+z^2=az\text{围成}.\end{array}$$

D. 计算体积

计算下列集合的体积:

D1)	$n$ 维单形 $\{(x_1,\cdots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n\mid x_1,\cdots ,x_n⩾0,x_1+\cdots x_n⩽a\},a>0$.
D2)	心脏线 $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid (x^2+y^2{)}^2+4ax(x^2+y^2)-4a^2{y}^2=0\}$ 围成的区域面积.
D3)	球体 $x^2+y^2+z^2⩽a^2$ 被圆柱体 $x^2+y^2=ax$ 截下的立体的体积.

寄语. I never failed in mathematics. Before I was fifteen I had mastered differential and integral calculus.

—— Albert Einstein