作业: 高木贞治函数

基本习题

习题 A: 导数的定义和计算

A1)	${\mathbb{R}}^n$ 上配有范数 $\Vert (x_1,\cdots ,x_n){\Vert }_2=\sqrt{(x_1{)}^2+\cdots +(x_n{)}^2}$, 我们考虑映射$$f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n,x\mapsto f(x)=(f_1(x),\cdots ,f_n(x)).$$证明, $f$ 在 $x_0$ 处的导数存在当且仅当对每个分量函数 $f_k$, 它在 $x_0$ 处的导数都存在并且$$f^{\prime }(x)=(f_1^{\prime }(x),\cdots ,f_n^{\prime }(x)).$$
A2)	考虑函数 $e^{ix}$, 将它视作是映射$$f:\mathbb{R}\to \mathbb{C},x\mapsto e^{ix}.$$利用定义证明, $f^{\prime }(0)=i(\in \mathbb{C})$. 仿照课堂上的做法证明 $(e^{ix}{)}^{\prime }=i{e}^{ix}$.
A3)	利用上面两个问题的结论计算 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的导数.
A4)	对 $n=3$ 来验证 Faà di Bruno 公式.
A5)	定义映射$$E:\mathbb{R}\to \mathbb{C}={\mathbb{R}}^2,\theta \mapsto (\cos \theta ,\sin \theta ).$$我们用下面符号表示平面上的单位圆: $${\mathbf{S}}^1=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2=1\}.$$ 证明, ${\mathbf{S}}^1$ 上的点可以写成 $(\sin \theta ,\cos \theta )$ 的形式, 即 $E(\mathbb{R})={\mathbf{S}}^1$. 试计算 $E^{\prime }(\theta )$ 并验证对于这个映射 (${\mathbb{R}}^2$ 上取值) , Rolle 中值定理并不成立.
A6)	求下列函数的导数 (如果 $f$ 在 $x_0$ 不可微, 但单侧左导数或右导数存在时, 求出左导数或右导数) $$\begin{array}{rlrl}& (1)f(x)=a^x,a>0.& & (2)f(x)=\arcsin x.\\ & (3)f(x)=\arctan x& & (4)f(x)=x^{x^x},x>0\\ & (5)f(x)=\log \left(\log \right(\log x\left)\right).& & (6)f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}.\\ & (7)f(x)=|x|.& & (8)f(x)=\log |x|.\\ & (9)f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^n\sin \frac{1}{x},x\ne 0,\\ 0,x=0.\end{array}n=1,2,\cdots .& & \end{array}$$
A7)	求下列函数的 $3$-阶导数: $$\begin{array}{rlrl}& (1)f(x)=\log (1+x).& & (2)f(x)=x^{-1}\log x.\\ & (3)f(x)=\frac{x^m}{1-x},m\in {\mathbb{Z}}_{⩾0}.& & (4)f(x)=x^m{e}^x,m\in {\mathbb{Z}}_{⩾0}.\\ & (5)f(x)=e^{ax}\sin (bx),a,b\in \mathbb{R}.& & (6)f(x)=e^{-x^2}.\end{array}$$
A8)	如果函数 $f$ 在点 $x_0$ 处的导数 $>0$, 不能推出存在该点的领域 $U$, 使得 $f$ 在这个邻域上是递增的: 考虑函数$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2x^2\sin \left(\frac{1}{x}\right),& x\ne 0;\\ 0,& x=0.\end{array}$$ 证明, $f$ 在 $0$ 处导数存在且大于零, 但是对任意的 $\epsilon >0$, $f$ 在 $(-\epsilon ,\epsilon )$ 上的限制都不是单调函数.
A9)	(重要) ${\mathbf{I}}_n$ 是 $n\times n$ 的单位矩阵, $A\in {\mathbf{M}}_n(\mathbb{R})$, 计算 $\frac{d}{dx}{|}_{x=0}\det (\mathbf{I}+xA)$, 即 $\det (\mathbf{I}+xA)$ 在 $x=0$ 处的导数.
A10)	证明, (可微的) 奇函数的导数是偶函数, (可微的) 偶函数的导数是奇函数.
A11)	证明, Riemann 函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1/q,& x=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q},q⩾1,p\text{和}q\text{互素};\\ 0,& x\text{是无理数}.\end{array}$ 在 $\mathbb{R}$ 上处处不可微.

习题 B

B1)

定义双曲函数: $$\begin{array}{r}\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}.\end{array}$$ 1. 证明, $$\begin{array}{rlrl}& (1){\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1.& & (2)\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y.\\ & (3)\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y.& & (4)\tanh (x+y)=\frac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}.\end{array}$$ 2. 求导数 ${\sinh }^{\prime }(x)$, ${\cosh }^{\prime }(x)$ 和 ${\tanh }^{\prime }(x)$. 3. 证明, 存在 $\sinh :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 的反函数 $\mathrm{arcsinh}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 并计算 ${\mathrm{arcsinh}}^{\prime }(x)$.

B2)

设 $a,b\in \mathbb{R}$, $b>0$, 考察函数 $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$, 其中$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^a\sin (x^{-b}),& \text{如果}x\ne 0,\\ 0,& \text{如果}x=0.\end{array}$$证明, 下述关于 $f$ 的结论都成立: 1. $f\in C([-1,1])$ 当且仅当 $a>0$; 2. $f$ 在 $0$ 处可微当且仅当 $a>1$; 3. $f^{\prime }$ 在 $[-1,1]$ 上有界当且仅当 $a⩾1+b$; 4. $f\in C^1([-1,1])$ 当且仅当 $a>1+b$; 5. $f^{\prime }$ 在 $0$ 处可微当且仅当 $a>2+b$; 6. $f^{\prime \prime }$ 在 $[-1,1]$ 上有界当且仅当 $a⩾2+2b$; 7. $f\in C^2([-1,1])$ 上有界当且仅当 $a>2+2b$.

习题 C: 无穷小量与无穷大量的阶的比较

如果函数 $f$ 在 $x_0$ 的附近 (即某个 $x_0$ 的开邻域去掉 $x_0$) 满足 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$, 我们就称 $f$ 是 $x\to x_0$ 时的无穷小量; 类似地, 如果 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty$ 或者 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=-\infty$ (其注意我们用的 “或者” 这个词的含义) , 我们就称 $f$ 是 $x\to x_0$ 时的无穷大量.

现在假设 $f,g$ 都是 $x\to x_0$ 时的无穷小量并且 $g(x)$ 在 $x_0$ 的附近不取零值, 我们现在引进记号:

•	如果 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=0$, 我们就称 $f$ 是比 $g$ 高阶的无穷小, 记作 $f(x)=o(g(x)),x\to x_0$;
•	如果 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\ell ,\ell \ne 0$, 我们就称 $f$ 是与 $g$ 同阶的无穷小;
•	特别地, 如果 $f$ 与 $g$ 同阶并且 $\ell =1$, 我们就称 $f$ 是与 $g$ 等价的无穷小, 记作 $f(x)\sim g(x),x\to x_0$;
•	如果 $\underset{x\to x_0}{\mathrm{limsup}}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}<+\infty$, 我们将这种情况记作 $f(x)=O(g(x)),x\to x_0$.

类似地, 我们可以定义无穷大量的阶之间的比较. 这是通用的术语, 同学们可参考任一本参考书或者网络.

C1)

假设 $x\to x_0$ 时, 函数 $a(x)$ 满足 $a=o(1)$. 试证明: $$\begin{array}{rlrl}& (1)o(a)+o(a)=o(a)& & (2)o(ca)=co(a),c\in \mathbb{R}\\ & (3)o(a{)}^k=o(a^k),& & (4)\frac{1}{1+a}=1-a+o(a).\end{array}$$

C2)

假设 $f(x),g(x)$ 是 $x\to x_0$ 时的无穷小, 那么 1. 证明, $f(x)\sim g(x)⟺f(x)-g(x)=o(g(x)),x\to x_0$. 2. 如果把 $g$ 作为基本的比较单位 (小量) , 我们可以将另外的无穷小量与 $g(x{)}^k$ ($k$ 是正整数) 进行比较. 如果 $f(x)\sim cg(x{)}^k$, 我们就称 $c{g}^k$ 是 $f$ 的主部 (这里 $c$ 是常数) . 试定出下列无穷小或无穷大的主部 (与 $x-x_0$ 或者 $x$ 比较) : $$\begin{array}{rlrl}& (1)\frac{1}{\sin \pi x},x\to 1.& & (2)\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x},x\to 0.\\ & (3)\sin \left(\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}-\sqrt{2}\right),x\to 0^{+}.& & (4)\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\sin x},x\to 0.\\ & (5)\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}},x\to 0^{+}.& & (6)\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}},x\to +\infty .\end{array}$$ 3. 我们假设 $f(x)\sim c{x}^k,x\to 0$ (即 $f(x)=c{x}^k+o(x^k)$) . 如果 $f(x)-c{x}^k$ 可以再分出主部 $c^{\prime }{x}^{k^{\prime }}$, 其中 $k^{\prime }>k$, 那么我们就将它写为 $f(x)=c{x}^k+c^{\prime }{x}^{k^{\prime }}+o(x^{k^{\prime }})$. 试将下列无穷小展开到 $o(x^2)$: $$\begin{array}{rlrl}& (1)\sqrt{1+x}-1,& & (2)\sqrt[m]{1+x}-1,m\in {\mathbb{Z}}_{⩾1}.\end{array}$$

习题 T (思考题, 不交作业): 处处连续处处不可微的 Takagi(高木贞治) 函数, 1903

我们先在 $[0,1]$ 区间上定义 $\psi (x)=\{\begin{array}{l}x,0⩽x<\frac{1}{2};\\ 1-x,\frac{1}{2}⩽x⩽1.\end{array}$ 接下来, 以 $1$ 为周期, 我们可以将 $\psi$ 延拓成 $\mathbb{R}$ 上的周期函数 (连续) 并且仍然将它记作 $\psi$, 它的函数图像好像是锯齿一般:

我们定义 Takagi 函数 $T:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 如下: $$T(x)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{2^k}\psi (2^{k}x).$$我们实际上可以考虑部分和 $T_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{1}{2^k}\psi (2^{k}x)$. 当 $n=1,2,3$ 时, 它们的图像如下:

当 $n$ 越来越大的时候, 它们的图像看起来逐渐地收敛:

这个习题的目标是粗略地研究 Takagi 函数的性质.

T1)	证明, $T(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上良好定义的有界连续函数. 它图像貌似:
T2)	对于 $x\in [0,1]$, 假设 $x=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{2^n}$ 是 $x$ 的 $2$-进制展开, 其中 $a_n=0$ 或者 $1$. 我们令 $v_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$. 我们定义函数 ${\sigma }_n(y)=a_n+(1-2a_n)y$, 其中 $y=0$ 或者 $1$. 证明, $$\psi (2^{m}x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\sigma }_{m+1}(a_{m+n})}{2^n}.$$
T3)	对于 $x\in [0,1]$, 假设 $x=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{2^n}$ 是 $x$ 的 $2$-进制展开. 证明, $$T(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(1-a_n)v_n+a_n(n-v_n)}{2^n}.$$
T4)	假设 $x_0=\frac{k_0}{2^{m_0}}\in (0,1]$, 其中 $k_0\in {\mathbb{Z}}_{⩾1}$ 是奇数, $m_0\in {\mathbb{Z}}_{⩾0}$. 令 $h_n=\frac{1}{2^n}$, 其中 $n\in {\mathbb{Z}}_{⩾m_0}$. 证明, 数列 $\{\frac{T(x+h_n)-T(x)}{h_n}{\}}_{n⩾m_0}$ 不收敛.
T5)	$f$ 是定义在非空的开区间 $I$ 上实数值函数. 如果 $f$ 在 $a$ 处可导, 证明, $$\begin{gathered} \underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(h,h^{\prime })\to (0,0),}{ \\ h>0,h^{\prime }>0}}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a-h^{\prime })}{h+h^{\prime }}=f^{\prime }(a), \end{gathered}$$这里极限 $$\begin{gathered} \underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(h,h^{\prime })\to (0,0),}{ \\ h>0,h^{\prime }>0}}{\lim } \end{gathered}$$ 的意义指的是任意的序列 $(h_n,h_n^{\prime })\to (0,0),h_n>0,h_n^{\prime }>0$ 所对应的序列都收敛.
T6)	$f$ 是定义在非空的开区间 $I$ 上实数值函数. 假设 $f\in C^1(I)$ (连续可微) , $a\in I$, 证明, $$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(h,h^{\prime })\to (0,0),}{h+h^{\prime }\ne 0}}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a-h^{\prime })}{h+h^{\prime }}=f^{\prime }(a).$$
T7)	假设 $x\in [0,1]$, 使得对任意的正整数 $n$, $2^{n}x$ 都不是整数. 对于每个正整数 $n$, 我们用下面的公式定义序列 $\{h_n{\}}_{n⩾1}$ 和 $\{h_n^{\prime }{\}}_{n⩾1}$: $$\lfloor 2^{n}x\rfloor =2^n(x-h_n^{\prime }),\lfloor 2^{n}x\rfloor +1=2^n(x+h_n),$$其中函数 $\lfloor y\rfloor$ 按照定义是不超过 $y$ 的最大的整数 (即 $y$ 的整数部分 (如果 $y⩾0$) ) . 证明, 对每个给定的 $n$, $h_n+h_n^{\prime }=2^{-n}$ 并且对每个整数 $1⩽\ell ⩽n-1$, 开区间 $(2^{\ell }(x-h_n^{\prime }),2^{\ell }(x+h_n))$ 中不包含任何的整数和半整数.
T8)	假设 $x\in [0,1]$, 使得对任意的正整数 $n$, $2^{n}x$ 都不是整数, 我们沿用 E7) 中的符号, 证明, 数列 $\{\frac{T(x+h_n)-T(x-h_n^{\prime })}{h_n+h_n^{\prime }}{\}}_{n⩾1}$ 不收敛.
T9)	证明, $T(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上处处连续处处不可微的函数.
T10)	证明, 我们有如下的函数方程: $$T(x)=\{\begin{array}{l}2x+\frac{T(4x)}{4},0⩽x<\frac{1}{4};\\ \frac{1}{2}+\frac{T(4x-1)}{4},\frac{1}{4}⩽x<\frac{1}{2};\\ \frac{1}{2}+\frac{T(4x-2)}{4},\frac{1}{2}⩽x<\frac{3}{4};\\ 2-2x+\frac{T(4x-3)}{4},\frac{3}{4}⩽x⩽1.\end{array}$$
T11)	(Takagi 函数图像的自相似性) 令 $\Gamma =\{(x,T(x))\mid 0⩽x⩽1\}\subset {\mathbb{R}}^2$ 是 $T$ 在区间 $[0,1]$ 上的函数图像. 我们定义如下四个仿射变换 ${\Phi }_i:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$: $$\begin{array}{rlrl}{\Phi }_0\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& 0\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),& & {\Phi }_1\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& 0\\ 0& \frac{1}{4}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right),\\ {\Phi }_2\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& 0\\ 0& \frac{1}{4}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right),& & {\Phi }_3\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{4}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\frac{3}{4}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right).\end{array}$$证明, ${\Phi }_i$ 恰好把 $\Gamma$ 变成 $T$ 在区间 $[\frac{i}{4},\frac{i+1}{4}]$ 上的图像, 其中 $i=0,1,2,3$.
T12)	令 $S_0=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid 0⩽x⩽1,0⩽y⩽1\}$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 上的闭方块. 对每个 $n⩾0$, 我们定义 $S_{n+1}=\bigcup _{k=0}^3{\Phi }_k(S_n)$. 证明, $S_n$ 是平面上一列单调下降的紧集并且 $\Gamma =\bigcap _{n⩾0}{S}_n$. 我们有 $S_1$ 和 $S_2$ 的示意图:
T13)	证明, $\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }T(x)⩽\frac{2}{3}$.
T14)	找一个 $c\in [0,1]$, 使得 $T(c)=\frac{2}{3}$.
T15)	($T^{-1}(\frac{2}{3})$ 的 Cantor 集的结构) 对于 $x\in [0,1]$, 假设 $x=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{b_n}{4^n}$ 是 $x$ 的 $4$-进制展开, 其中 $b_n=0,1,2,3$. 证明, $$\{x\in [0,1]|T(x)=\frac{2}{3}\}=\{x\in [0,1]|x=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{b_n}{4^n},b_n\in \{1,2\}\}.$$
T16)	仿照 T11), 研究 ${\Phi }_1$ 和 ${\Phi }_2$ 在集合 $\{(x,T(x))|x\in [0,1],T(x)=\frac{2}{3}\}$ 上自相似的作用. (这是一个 Hausdorff 维数为 $\frac{1}{2}$ 的集合) .