5. 循环表示

定义 5.0.1. 令$$G\to {\mathrm{Aut}}_{\text{set}}$$$G$ 在 $X$ 上的群作用. 固定 $g\in G$. 我们称 $\mathbf{g}$ 在 $\mathbf{X}$ 上作用为$$⟨g⟩\to G\to {\mathrm{Aut}}_{\text{set}}.$$$⟨g⟩\to G$ 是一个群同态, 因为子群的包含映射也是群同态. $⟨g⟩\to {\mathrm{Aut}}_{\text{set}}$ 是群同态, 因为两个群同态的复合仍是群同态.

本质上, $g$ 在 $X$ 上的作用可以通过将 $g$ 分解为循环来用循环表示法表示, 其中每个循环对应于 $g$ 在 $X$ 上作用的一个轨道.

5.1循环

定义 5.1.1. 一个元素 $\sigma \in S_n$ 被称为一个循环如果 $\sigma$ 在 $\underline{n}$ 上的作用至多有一个轨道的大小 $⩾2$.

例 5.1.2.  

•	$\sigma =1_{S_n}$ 只有大小为 $1$ 的轨道, 所以 $1_{S_n}$ 是一个循环.
•	令 $\begin{array}{rl}\tau :\underline{4}& \to \underline{4}\\ 1& \mapsto 2\\ 2& \mapsto 1\\ 3& \mapsto 4\\ 4& \mapsto 3\end{array}$, 我们可以绘制为 这不是一个循环, 因为它有两个轨道大小 $⩾2$: $\{1,2\}$ 和 $\{3,4\}$.
•	令 $\begin{array}{rl}\tau :\underline{5}& \to \underline{5}\\ 1& \mapsto 1\\ 2& \mapsto 2\\ 3& \mapsto 5\\ 4& \mapsto 3\\ 5& \mapsto 4\end{array}$, 我们可以绘制为这是一个循环.

定义 5.1.3. 如果 $\sigma \in S_n$ 是一个循环, 我们将令 $\underline{\sigma }\subset \underline{n}$ 表示大小 $⩾2$ 的轨道. 对于 $\sigma =1_G$, 我们令$$\underline{1_G}:=\varnothing .$$

5.2不相交循环

例 5.2.1.  

对于 $\sigma \in S_6$ 由下面给出	如果 $\tau \in S_6$ 是
$\underline{\sigma }=\{1,2,3,4,5,6\}\subset \underline{6}$	$\underline{\tau }=\underline{\sigma }$

$\underline{\sigma }$ 是一个子集, 所以元素的顺序无关紧要. 例如, 它不是某个集合加上一个顺序的选择.

定义 5.2.2. 如果 $\sigma$, $\tau \in S_n$ 是循环. 我们称 $\sigma$ 和 $\tau$ 是不相交的循环, 当且仅当 $\underline{\sigma }$ 和 $\underline{\tau }$ 不相交.

例 5.2.3.  

•	$1_G$ 与任何循环都是不相交的.
•	和不是不相交的, 因为 $\{1,2\}$ 和 $\{2,3\}$ 有交集.
•	和是不相交的.

命题 5.2.4. $S_n$ 中不相交循环是可交换的.

证明. 令 $\sigma$ 和 $\tau$ 是不相交循环, 并且取 $k\in \underline{n}=\{1,\dots ,n\}$. Then $$\begin{array}{rl}(\sigma \circ \tau )(k)& =\{\begin{array}{ll}\sigma (k)& \text{如果}k\ne \underline{\tau }\\ \tau (k)& \text{如果}k\in \underline{\tau }\end{array}\\ & =\{\begin{array}{ll}\sigma (k)& \text{如果}k\in \underline{\sigma }\\ k& \text{如果}k\ne \underline{\sigma },\underline{\tau }\\ \tau (k)& \text{如果}k\in \underline{\tau }\end{array}\end{array}$$因为$$\begin{array}{rl}k\notin \underline{\tau }& \Rightarrow \tau (k)=k\\ & \Rightarrow \sigma (\tau (k))=\sigma (k)\\ k\in \underline{\tau }& \Rightarrow \tau (k)\in \underline{\tau }\\ & \Rightarrow \tau (k)\notin \underline{\sigma }\\ & \Rightarrow \sigma (\tau (k))=\tau (k)\end{array}$$同时$$\begin{array}{rl}(\tau \circ \sigma )(k)& =\{\begin{array}{ll}\tau (k)& \text{if}k\ne \underline{\sigma }\\ \sigma (k)& \text{if}k\in \underline{\sigma }\end{array}\\ & =\{\begin{array}{ll}\tau (k)& \text{if}k\in \underline{\tau }\\ k& \text{if}k\ne \underline{\sigma },\underline{\tau }\\ \sigma (k)& \text{if}k\in \underline{\sigma }\end{array}\end{array}$$所以 $\sigma \circ \tau =\tau \circ \sigma$.

$\square$

5.3循环表示

定义 5.3.1. 令 $\sigma$ 是一个循环. $\sigma$ 的一个循环表示是表达式$$(a\sigma (a){\sigma }^2(a)\cdots {\sigma }^{|\sigma |-1}(a))$$对于一些 $a\in \underline{\sigma }$.

例 5.3.2. 如果 $\sigma \in S_5$ 如图所示

则以下都是 $\sigma$ 的循环表示: $$\begin{array}{cccc}(1235),& (2351),& (5123),& (3512).\\ a=1& a=2& a=5& a=3\end{array}$$

例 5.3.3. 如果 $\tau \in S_5$ 如图所示

$\underline{\tau }=\underline{\sigma }$, 但 $\tau$ 的任何循环表示法都不是 $\sigma$ 的循环表示法. $$(1253),(2531),(5312),(3125).$$

隐含地, 我们在对 $\sigma$ 的各种循环表示法进行辨认.

定理 5.3.4. 每个元素$$\sigma \in S_n$$都可以写成不相交循环的乘积, 且除了顺序外是唯一的.

证明. 对于 $\sigma \in S_n$, 令 $\{{\mathcal{O}}_a\}$ 是 $\sigma$ 在 $\underline{n}$ 上作用的轨道集合. $\forall {\mathcal{O}}_a\in \underline{n}/⟨\sigma ⟩$, 选择 $a\in {\mathcal{O}}_a$ 并设$${\sigma }_a=(a\sigma (a)\cdots {\sigma }^{|{\mathcal{O}}_a|-1}(a))$$作为一个循环. 则根据定义, $$\sigma =\prod _{{\mathcal{O}}_a}{\sigma }_a$$这是因为$$\prod _{{\mathcal{O}}_a}{\sigma }_a(k)=\sigma (k)$$根据定义. 此外, 我们写成$$\prod _{{\mathcal{O}}_a}{\sigma }_a={\sigma }_a\cdot {\sigma }_b\cdot \cdots \cdot {\sigma }_z$$而没有指定顺序, 这是因为每个 ${\sigma }_a$ 和 ${\sigma }_b$ 是不相交的 (由于轨道的不相交性), 因此是可交换的 (即顺序无关).

关于唯一性: 如果另一个人写成$$\sigma =\prod {\tau }_i={\tau }_1\cdot {\tau }_2\cdot \cdots \cdot {\tau }_k$$其中 $\{{\tau }_i\}$ 是一组不相交的循环, 那么注意到$$\{{\tau }_i\}=\underline{n}/⟨\sigma ⟩.$$$\Rightarrow$ $\forall i$, $\exists !{\sigma }_a$, 使得 $\underline{{\sigma }_a}=\underline{{\tau }_i}$. 写 ${\tau }_i=(b_0{b}_1\cdots b_{|{\tau }_i|-1})$, 我们看到 $\sigma (b_i)=b_{i+1}$, 因此证明完毕.

$\square$

例 5.3.5. 令 $\sigma \in S_8$ 定义为

$\begin{array}{rl}\sigma :\underline{8}& \to \underline{8}\\ 1& \mapsto 2\\ 2& \mapsto 6\\ 3& \mapsto 5\\ 4& \mapsto 7\\ 5& \mapsto 3\\ 6& \mapsto 1\\ 7& \mapsto 8\\ 8& \mapsto 4\end{array}$
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则$$\begin{array}{rl}\sigma & =(784)\circ (126)\circ (35)\\ & =(126)(784)(35)\\ & =(126)(35)(784)\text{etc.}\end{array}$$我们可以将 $(126)$ 作为 $S_8$ 中的循环及其循环表示. 所以 $(126)$ 是 $S_8$ 中的元素, 其图示为

在第二个等式中, 为了简洁, 我们省略了组合符号 “$\circ$”.

定义 5.3.6. 对于 $\sigma \in S_n$, $\sigma$ 的循环表示法是表达式$$\sigma ={\sigma }_1\cdots {\sigma }_k$$其中每个 ${\sigma }_i$ 是一个循环, 且当 $i\ne j$ 时, 每对 ${\sigma }_i$ 和 ${\sigma }_j$ 是不相交的.

例 5.3.7. 如果 $\sigma \in S_5$ 是

则以下是 $\sigma$ 的循环表示: $$\begin{array}{cc}(124)(35)& (35)(124)\\ (124)(53)& (53)(124)\\ (412)(35)& (35)(412)\\ (412)(53)& (53)(412)\\ (241)(35)& (35)(241)\\ (241)(53)& (53)(241)\end{array}$$所有这些都表示相同的 $\sigma$.

例 5.3.8. 令$$\begin{array}{rl}\sigma & =(12)(34)\\ \tau & =(123)\end{array}$$则循环的逆就是将循环反向读取$$\begin{array}{rl}{\tau }^{-1}& =(321)\\ {\sigma }^{-1}& =(21)(43)=\sigma \end{array}$$我们可以计算$$\begin{array}{rl}\tau \sigma {\tau }^{-1}& =(123)\circ (12)(34)\circ (321)\\ & =(14)(23)\\ \sigma \tau {\sigma }^{-1}& =(12)(34)\circ (123)\circ (12)(34)\\ & =(3)(421)\\ & =(421)\end{array}$$注意 $(\text{某元素})\sigma (\text{某元素}{)}^{-1}$ 与 $\sigma$ 具有相同的循环形状. 这将有助于我们分类 $S_n$ 的共轭类.

5.4$S_n$ 中的共轭类

循环表示给我们带来一些美妙的结果.

命题 5.4.1. (1) 令 $\sigma \in S_n$ 是一个循环, 所以$$\sigma =(a_1\cdots a_k)$$其中, $a_{i+1}=\sigma (a_i)$. 则$${\sigma }^{-1}=(a_k\cdots a_1)$$即: ${\sigma }^{-1}=(b_1\cdots b_k)$, 其中 $b_i=\sigma (b_{i+1})$ 且 $b_k=a_1$.

(2) 更一般地, 如果$$\sigma ={\sigma }_1{\sigma }_2\cdots {\sigma }_k$$其中, ${\sigma }_i$ 是不相交的循环, 则$${\sigma }^{-1}={\sigma }_1^{-1}\cdots {\sigma }_k^{-1}$$

(3) 令 $\sigma ,\tau \in S_n$ 且 $a,b\in \underline{n}$. 如果 $\sigma (a)=b$, 则 $\tau \sigma {\tau }^{-1}$ 将 $\tau (a)$ 映射到 $\tau (b)$.

证明. (1) 需要证明对于所有 $\forall b\in \underline{n}$, 我们有$$(a_k\cdots a_1)\circ (a_1\cdots a_k):b\mapsto b$$且$$(a_1\cdots a_k)\circ (a_k\cdots a_1):b\mapsto b$$我们将做第一个复合, 第二个类似. 注意

•	$\begin{array}{rl}b\notin \{a_1,\dots ,a_k\}& \Rightarrow b\text{被}\sigma \text{固定}\\ & \Rightarrow b\text{被}(a_k\cdots a_1)\text{固定}\\ & \Rightarrow (a_k\cdots a_1)\circ \sigma (b)=b.✓\end{array}$
•	$\begin{array}{rl}b\in \{a_1,\dots ,a_k\}& \Rightarrow b=a_i\text{对于一些}i\in \{1,\dots ,k\}\\ & \Rightarrow \sigma (b)=a_{i+1}(\text{循环记号的定义})\\ & \Rightarrow (a_k\cdots a_1)\text{将}\sigma (b)\text{映射到}b.✓\end{array}$

(2) 一般地, 如果 $g_1,\dots ,g_l\in G$, $$(g_1\cdots g_l{)}^{-1}=g_l^{-1}\cdots g_1^{-1}.$$因为$$\begin{array}{rl}(g_1\cdots g_l)(g_l^{-1}\cdots g_1^{-1})& =g_1\cdots g_{l-1}\underset{\text{消掉}}{\underbrace{g_l{g}_l^{-1}}}{g}_{l-1}^{-1}\cdots g_1^{-1}\\ & =g_1\cdots \underset{\text{消掉}}{\underbrace{g_{l-1}{g}_{l-1}^{-1}}}\cdots g_1^{-1}\\ & ⋮\\ & =g_1{g}_1^{-1}\\ & =1_G.\end{array}$$所以$$({\sigma }_1\cdots {\sigma }_l{)}^{-1}={\sigma }_l^{-1}\cdots {\sigma }_1^{-1}$$但不相交的循环是可交换的, 所以$${\sigma }_l^{-1}\cdots {\sigma }_1^{-1}={\sigma }_1^{-1}\cdots {\sigma }_l^{-1}.$$(3) $$\begin{array}{rl}\tau \sigma {\tau }^{-1}(\tau (a))& =\tau \sigma {\tau }^{-1}\circ \tau (a)\\ & =\tau \sigma (a)\\ & =\tau (b)\end{array}$$

$\square$

注 5.4.2. 共轭类似于基变换. 如果 $v_1,\dots ,v_k$ 是 ${\mathbb{R}}^k$ 的一组基, 那么存在一个可逆矩阵 $T$, 其第 $i$ 列是 $v_i$. 如果线性变换 $A$ 将 $\vec{a}$ 变为 $\vec{b}$, 则 $TA{T}^{-1}$ 将 $T\vec{a}$ 变为 $T\vec{b}$. 因此, 可以将上述的 $\tau$ 看作是 $\underline{n}$ 的 “新基”.

推论 5.4.3. 令 $\sigma ,{\sigma }^{\prime }\in S_n$. 如果 ${\sigma }^{\prime }=\tau \sigma {\tau }^{-1}$ 对于一些 $\tau \in S_n$, 那么我们可以从 $\sigma$ 的循环表示和 $\tau$ 的循环表示构造 ${\sigma }^{\prime }$.

证明. 如果 $\sigma$ 是一个循环, $$\sigma =(a_1\cdots a_l)$$则$$\tau \sigma {\tau }^{-1}=(\tau (a_1)\cdots \tau (a_l)).$$命题 (3) 告诉我们 $\tau (a_i)$ 被 $\tau \sigma {\tau }^{-1}$ 映射到 $\tau (a_{i+1})$. 它还告诉我们, $\sigma (a)=a\Rightarrow \tau \sigma {\tau }^{-1}$ 固定 $\tau (a)$; 因此, $\tau \sigma {\tau }^{-1}$ 是另一个循环, 其非平凡轨道由 $\{\tau (a_i)\}$ 给出.

如果 $\sigma$ 是不相交循环的乘积$$\sigma ={\sigma }_1\cdots {\sigma }_l$$则$$\tau \sigma {\tau }^{-1}=(\tau {\sigma }_1{\tau }^{-1})(\tau {\sigma }_2{\tau }^{-1})\cdots (\tau {\sigma }_l{\tau }^{-1})$$因为 $\tau$ 的共轭是一个群同态. 所以, 如果$$\sigma =(a_1\cdots a_{k_1})(a_{k_1+1}\cdots a_{k_1+k_2})\cdots (a_{k_1+\cdots +k_{l-1}+1}\cdots a_{k_1+\cdots +k_l})$$是 $\sigma$ 的循环表示法, 则$$\tau \sigma {\tau }^{-1}=(\tau (a_1)\cdots \tau (a_{k_1}))(\tau (a_{k_1+1})\cdots \tau (a_{k_1+k_2}))\cdots (\tau (a_{k_1+\cdots +k_{l-1}+1})\cdots \tau (a_{k_1+\cdots +k_l}))$$是 $\tau \sigma {\tau }^{-1}$ 的循环表示法.

$\square$

令 $\sigma \in S_n$.

将 $\sigma$ 写成$$\sigma ={\sigma }_1\cdots {\sigma }_k$$的不相交循环的乘积, 并考虑$$|{\sigma }_i|,\forall i$$(这些是与每个 ${\sigma }_i$ 相关的轨道的大小.) 通过这种方式, 我们得到了一组数字. 由于我们可以重新排列 ${\sigma }_i$, 最方便地将其视为一个无序的集合.

例 5.4.4. 令$$\sigma =(123)(67)(459)\in S_9$$注意我们为了简洁, 不写 $(8)$. 那么我们有与 $\sigma$ 相关的数字$$3,2,3.$$

定义 5.4.5. 我们称这些数字 $\{a_i\}$ 为 $\sigma$ 的循环形状.

例 5.4.6. 令$${\sigma }^{\prime }=(345)(879)(26)$$则 ${\sigma }^{\prime }$ 有数字 $3,3,2$ 与之关联.

除了顺序外, 这与 $\sigma$ 相关的集合相同. 我们说 $\sigma$ 和 ${\sigma }^{\prime }$ 具有相同的循环形状.

命题 5.4.7. 两个元素 $\sigma ,{\sigma }^{\prime }\in S_n$ 是共轭的 (即 $\exists \tau$, 使得 $\sigma =\tau {\sigma }^{\prime }{\tau }^{-1}$) 当且仅当它们具有相同的循环形状.

证明. 设 $\sigma$ 和 ${\sigma }^{\prime }$ 具有相同的循环形状. 然后我们可以重新排列 $\sigma$ 和 ${\sigma }^{\prime }$ 的任何循环表示, 使得$$\begin{array}{rl}\sigma & ={\sigma }_1\circ \cdots \circ {\sigma }_k\\ {\sigma }^{\prime }& ={\sigma }_1^{\prime }\circ \cdots \circ {\sigma }_k^{\prime }\end{array}\text{都是不相交循环的乘积.}$$其中, $|{\sigma }_i|=|{\sigma }_i^{\prime }|$, $\forall i$.

选择任意的 $i$ 和在 ${\sigma }_i$ 的循环表示法中出现的数字 $a$. $${\sigma }_i=(\cdots a\cdots ).$$在 ${\sigma }_i^{\prime }$ 中, 选择任意数字 $a^{\prime }$, $${\sigma }_i^{\prime }=(\cdots a^{\prime }\cdots ).$$定义一个双射如下: $$\begin{array}{rl}\tau :a_i& \mapsto b_i\\ {\sigma }^j(a_i)& \mapsto ({\sigma }^{\prime }{)}^j(b_i)\end{array}$$那么$$\begin{array}{rl}\tau \sigma {\tau }^{-1}(b)& =\tau \sigma {\tau }^{-1}(({\sigma }^{\prime }{)}^j(b_i))\\ & =\tau \sigma ({\sigma }^j(a_i))\\ & =\tau ({\sigma }^{j+1}(a_i))\\ & =({\sigma }^{\prime }{)}^{j+1}(b_i)\\ & ={\sigma }^{\prime }(b).\end{array}$$即: $\tau \sigma {\tau }^{-1}={\sigma }^{\prime }$. 反之亦然, 由上面的推论可知.

$\square$

例 5.4.8. $$\begin{array}{rl}(123)(69)& =\sigma \\ (45)(361)& ={\sigma }^{\prime }\end{array}\in S_9$$具有相同的循环形状. 同样, $$\begin{array}{rl}\sigma & =(12)(34)(567)\\ {\sigma }^{\prime }& =(78)(59)(142)\end{array}\in S_9$$

注 5.4.9. $\sigma$ 的循环形状只是说明: $\sigma$ 的作用将 $\underline{n}$ 分成 $l$ 个轨道; 第 “$i$” 个轨道的大小为 $k_i$. 如果 ${\sigma }^{\prime }$ 也将 $\underline{n}$ 分成 $l$ 个轨道, 并且我们可以将 $k_i^{\prime }$ 与 $\sigma$ 的 $k_i$ 相匹配, 那么 $\sigma$ 和 ${\sigma }^{\prime }$ 具有相同的循环形状.

例 5.4.10. 如何找到 $\tau$ 呢? $$\begin{array}{rl}\sigma & =(123)(46)(785)\\ {\sigma }^{\prime }& =(157)(93)(684)\end{array}$$好吧, 如果 $\tau \sigma {\tau }^{-1}={\sigma }^{\prime }$, 我们知道在 ${\sigma }^{\prime }$ 的循环表示中, 循环$$(b_1\cdots b_k)$$等于$$(\tau (a_1)\cdots \tau (a_k))$$对于 $\sigma$ 的循环分解中的某个循环 $(a_1\cdots a_k)$. 这不是唯一的, 但以下是你可以找到它的方法: 选择一个循环和一个在其循环表示法中出现的数字. 随意地, 我们选择$$4\in (46)$$在 ${\sigma }^{\prime }$ 的循环表示法中, 选择与 $(46)$ 长度相同的循环. 在这种情况下, 我们只能选择 $(93)$ (虽然一般情况下, 我们可能有很多选择). 选择在该循环中出现的一个元素, 比如 $9$.

所以写然后我们来看循环 ${\sigma }_i$ 如何限制 $9$. 在这种情况下, 没有——$9$ 是 $\sigma$ 的一个不动点.

所以选择 ${\sigma }^{\prime }$ 的任意一个不动点——在这里, 我们唯一的选择是 $2$. 现在找到包含 $2$ 的循环 ${\sigma }_i$. 在 ${\sigma }_i^{\prime }$ 中, 找到对应的元素. 在这种情况下, 对应的是 $5$. 所以第四个:

$\stackrel{◯}{5}$ 看到 $(4925)$ 是 $\tau$ 的一个循环后, 选择任何一个尚未写出的元素. 我们任意选择 $1$.

$\stackrel{◯}{6}$ 同样地, 我们选择 $3$. 由于我们从不书写长度为 $1$ 的循环.

5.5交错群

定义 5.5.1. 交错群 $A_n$ 定义为映射$$\begin{array}{rl}{S}_n& \to G{L}_n(\mathbb{R})\stackrel{\det }{\to }{\mathbb{R}}^{\times }\\ \sigma & \mapsto B_{\sigma }\end{array}$$使得$$B_{\sigma }(e_i)=e_{\sigma (i)}$$即: 所有使得 $B_{\sigma }$ 的行列式为 $1$ 的 $\sigma$ 的集合.

命题 5.5.2. $A_n$ 是 $S_n$ 的子群, 包含所有偶置换, 即可以表示为偶数个换位 (两个元素的交换) 的置换. 因此 $A_n$ 的阶为 $\frac{n!}{2}$.

命题 5.5.3. $A_n$ 是 $S_n$ 的正规子群.

有三种方法来证明这一点.

1. 符号同态的核

证明. 定义一个映射 $\mathrm{sgn}:S_n\to \{1,-1\}$, 其中

•	如果 $\sigma$ 是偶置换, $\mathrm{sgn}(\sigma )=1$.
•	如果 $\sigma$ 是奇置换, $\mathrm{sgn}(\sigma )=-1$.

这是一个群同态, 因为$$\mathrm{sgn}(\sigma \tau )=\mathrm{sgn}(\sigma )\cdot \mathrm{sgn}(\tau ).$$我们称其为符号同态.

同态的核是被映射到陪域的单位元的元素集合. 对于 $\mathrm{sgn}$, 单位元是 $1$. 因此, $\ker (\mathrm{sgn})=A_n$.

群同态的核总是域群的正规子群. 因此, $A_n$ 是 $S_n$ 的正规子群.

$\square$

2. 共轭保持置换的奇偶性

证明. 对于任何 $\sigma ,\tau \in S_n$, 共轭保持置换的循环结构和奇偶性. 如果 $\sigma$ 是偶置换, 则其共轭 $\tau \sigma {\tau }^{-1}$ 也是偶置换. 一个子群 $N$ 是正规子群, 如果它在群的元素下共轭不变: $$\tau N{\tau }^{-1}=N\text{for all}\tau \in S_n$$由于偶置换的共轭仍是偶置换, $A_n$ 是 $S_n$ 的正规子群.

$\square$

3. $A_n$ 在 $S_n$ 中的指数

证明. $A_n$ 在 $S_n$ 中的指数为: $$[S_n:A_n]=\frac{|S_n|}{|A_n|}=\frac{n!}{n!/2}=2.$$由于在群中任何指数为 $2$ 的子群都是正规的, $A_n$ 是 $S_n$ 的正规子群.

$\square$