1.1. 定义与例子

定义 1.1.1. 给定集合 $G$, 如果有二元运算 $m:G\times G\to G$ (常写作乘法), 一元运算 $i:G\to G$ (称为逆元, 常写作 ${\square }^{-1}$), 元素 $e:G$ (称为单位元), 满足$$\begin{array}{rl}x\cdot (y\cdot z)& =(x\cdot y)\cdot z\\ e\cdot x& =x\\ x\cdot e& =x\\ x^{-1}\cdot x& =e\\ x\cdot x^{-1}& =e\end{array}$$则称 $[G,m,i,e]$ 构成群.

记号 1.1.2. 我们使用中括号表示数学对象的构建. 严格来说, 定义一个群总是需要定义 $G,m,i,e$ 四个组分, 但是往往只需要提供 $G$ 即可猜出其他部分, 因此在熟练之后我们只用集合 $G$ 指代群 $[G,m,i,e]$.

由于结合律 $x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$, 群的运算可以看作是有顺序的一列元素相乘 $x_1\cdot x_2\cdots x_n$ 而不会有歧义. 当 $n=0$ 时, 规定运算的结果是单位元 $e$.

例 1.1.3. 考虑非零实数集 ${\mathbb{R}}^{\times }$, $[{\mathbb{R}}^{\times },\times ,i,1]$ 构成群. 其中 $i(x)=\frac{1}{x}$ 是取倒数运算.