分析力学概览

本节我们对分析力学的基本知识框架进行一个简单的梳理. 因为笔者假设读者以前是接触过分析力学的, 所以在这里我们不会讲得很细. 本节的内容是笔者希望读者事先了解的预备知识, 而不是我们要一起学习的知识.

经典分析力学主要分为两部分: Lagrange 力学和 Hamilton 力学. 对于经典力学问题而言, 同一个问题既可以用 Lagrange 力学来描述, 又可以用 Hamilton 力学来描述, 并且的二者是等价的, 使用哪一个完全取决于我们从什么视角来看待问题. 当然, 从现代几何学的视角来看, Hamilton 力学会更好地展露出力学问题背后的辛几何结构, 这是 Hamilton 力学相较于 Lagrange 力学的最主要优势, 这也是本讲义最终会为大家呈现的. 但另一方面, 当我们关注力学问题的变分结构时, 往往 Lagrange 力学用起来会更加顺手.

Lagrange 力学和 Hamilton 力学之间相差一个 “Legendre 变换”, 它的作用是把 “广义速度” 坐标变成 “广义动量” 坐标. Legendre 变换是一个在数学和物理的很多分支中 “冷不丁就冒出来一下” 的东西, 它的应用并不非常广泛 (相较于 Fourier 变换, Laplace 变换这种实用性极强的函数变换), 但一旦有用就是大用, 就会产生关键性的结论. 此外, 一个有趣的事实是, 几乎没有证据表明 Legendre 与数学家 Legendre (Adrien-Marie Legendre) 有任何关系, “Legendre 变换” 这个叫法似乎是从 20 世纪初的某一段时间开始突然流传开来的 (见 Going round in circles – Legendre transformations 及其评论区),

1Lagrange 力学

Lagrange 力学的核心是 Lagrange 方程组$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}=\frac{\partial L}{\partial q_i},i=1,2,\cdots ,n$$(1)其中$$L=L(q_1,\cdots ,q_n,{\dot{q}}_1,\cdots ,{\dot{q}}_n,t)$$是一个 $2n+1$ 元函数, 并且其连续可微性足够好 (通常要求它是 2 阶可微的). 在我们所考虑的问题中, 通常我们不认为 $L$ 与 $t$ 直接有关, 此时 $L=L(q_1,\cdots ,q_n,{\dot{q}}_1,\cdots ,{\dot{q}}_n)$ 是一个 $2n$ 元函数.

Lagrange 方程组 (1) 有两个差别很大的来源

•	第一个是通过推导变分问题的极值条件得到的, 此时的 (1) 被叫作 Euler-Lagrange 方程
•	第二个则是从保守力下的牛顿第二定律出发, 通过将空间坐标变化成更一般的坐标 (即广义坐标) 得到的, 此时的 $L$ 具有 “动能减势能” 的形式.

当然, 二者能够 “殊途同归” 到 (1) 这个方程组, 其根本原因是牛顿第二定律本身可以写成一个变分问题. 意识到这一点很重要, 也并不容易, 比方说作为分析力学的开创者, Lagrange 本人就没有注意到这一点! 这一点 Hamilton 发现的, 所以被称为 “Hamilton 原理”.

由变分原理得到的 Lagrange 方程

所谓变分问题, 指的是 “泛函求极值” 的问题. 给定 $2n+1$ 元函数 $L=L(q_1,\cdots ,q_n,{\dot{q}}_1,\cdots ,{\dot{q}}_n,t)$ 及 $T_0<T_1$, 求一个 $n$ 维向量值函数$$q(t)=(q_1(t),q_2(t),\cdots ,q_n(t)):[T_0,T_1]\to {\mathbb{R}}^n$$使得泛函$$S[q]={\int }_{T_0}^{T_1}L(q_1(t),\cdots ,q_n(t),{\dot{q}}_1(t),\cdots ,{\dot{q}}_n(t),t)\mathrm{d}t$$(2)取得极小值. 为了方便, 我们再附加一个条件: 我们要求$$q(T_0)=q^{(0)},q(T_1)=q^{(1)}$$(3)是 ${\mathbb{R}}^n$ 中给定的两点, 也就是 $q(t)$ 这条 ${\mathbb{R}}^n$ 中的曲线的两个端点是固定的. 也就是说, 我们想求满足条件 (3) 的所有曲线中, 使得 (2) 中定义的 $S[q]$ 最小的那一条.

$S[q]$ 的最小性, 意味着对 $q$ 进行任意微扰, 使之变成 $q+\delta q$, $S[q+\delta q]$ 都不会小于 $S[q]$. 此处为了使边界条件 (3) 得以满足, 我们要求 $\delta q$ 满足$$\delta q(T_0)=\delta q(T_1)=0,$$(4)此时$$\begin{array}{rl}& S[q+\delta q]-S[q]\\ =& {\int }_{T_0}^{T_1}L(q_1(t)+\delta q_1(t),\cdots ,q_n(t)+\delta q_n(t),{\dot{q}}_1(t)+\delta {\dot{q}}_1(t),\cdots ,{\dot{q}}_n(t)+\delta {\dot{q}}_n(t),t)-{\int }_{T_0}^{T_1}L(q_1(t),\cdots ,q_n(t),{\dot{q}}_1(t),\cdots ,{\dot{q}}_n(t),t)\mathrm{d}t\\ =& {\int }_{T_0}^{T_1}\sum _{i=1}^n\frac{\partial L(q_1(t),\cdots ,q_n(t),{\dot{q}}_1(t),\cdots ,{\dot{q}}_n(t),t)}{\partial q_i}\delta q_i(t)+\sum _{i=1}^n\frac{\partial L(q_1(t),\cdots ,q_n(t),{\dot{q}}_1(t),\cdots ,{\dot{q}}_n(t),t)}{\partial q_i}\delta {\dot{q}}_i(t)\mathrm{d}t+\delta q\text{的高阶无穷小量}\end{array}$$接下来我们把 $L(q_1(t),\cdots ,q_n(t),{\dot{q}}_1(t),\cdots ,{\dot{q}}_n(t),t)$ 省略记作 $L(q(t),\dot{q}(t),t)$. 利用边界条件 (4), 并略去 $\delta q$ 的高阶无穷小量, 我们可以进一步计算

$$\begin{array}{rl}& S[q+\delta q]-S[q]\\ =& {\int }_{T_0}^{T_1}\sum _{i=1}^n\frac{\partial L(q(t),\dot{q}(t),t)}{\partial q_i}\delta q_i(t)+\frac{\partial L(q(t),\dot{q}(t),t)}{\partial {\dot{q}}_i}\delta {\dot{q}}_i(t)\mathrm{d}t\\ =& {\int }_{T_0}^{T_1}\sum _{i=1}^n\frac{\partial L(q(t),\dot{q}(t),t)}{\partial q_i}\delta q_i(t)\mathrm{d}t+{\left[\sum _{i=1}^n\frac{\partial L(q(t),\dot{q}(t),t)}{\partial {\dot{q}}_i}\delta q_i(t)\right]}_{t=T_0}^{t=T_1}-{\int }_{T_0}^{T_1}\sum _{i=1}^n\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L(q(t),\dot{q}(t),t)}{\partial q_i}\right)\delta q_i(t)\mathrm{d}t\end{array}$$其中第 3 行的等号中, 我们对积分 ${\int }_{T_0}^{T_1}{\sum }_{i=1}^n\frac{\partial L(q(t),\dot{q}(t),t)}{\partial {\dot{q}}_i}\delta {\dot{q}}_i(t)\mathrm{d}t$ 使用了分部积分法则. 注意到, 由边界条件 (4) 的存在, 上式第三行第二项 ${\left[{\sum }_{i=1}^n\frac{\partial L(q(t),\dot{q}(t),t)}{\partial {\dot{q}}_i}\delta q_i(t)\right]}_{t=T_0}^{t=T_1}$ 总是等于 0 的, 从而可以进一步计算$$\begin{array}{rl}& S[q+\delta q]-S[q]\\ =& {\int }_{T_0}^{T_1}\sum _{i=1}^n\frac{\partial L(q(t),\dot{q}(t),t)}{\partial q_i}\delta q_i(t)+\frac{\partial L(q(t),\dot{q}(t),t)}{\partial {\dot{q}}_i}\delta {\dot{q}}_i(t)\mathrm{d}t\\ =& {\int }_{T_0}^{T_1}\sum _{i=1}^n\frac{\partial L(q(t),\dot{q}(t),t)}{\partial q_i}\delta q_i(t)\mathrm{d}t-{\int }_{T_0}^{T_1}\sum _{i=1}^n\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L(q(t),\dot{q}(t),t)}{\partial q_i}\right)\delta q_i(t)\mathrm{d}t\\ =& {\int }_{T_0}^{T_1}\sum _{i=1}^n\left(\frac{\partial L(q(t),\dot{q}(t),t)}{\partial q_i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L(q(t),\dot{q}(t),t)}{\partial q_i}\right)\delta q_i(t)\mathrm{d}t\end{array}$$$S[q]$ 的极小性意味着总有 $S[q+\delta q]-S[q]\ge 0$, 同样也意味着 $S[q-\delta q]-S[q]\ge 0$, 但按照上述推导结果, 这两个数应该互为相反数, 从而它们必然全是 $0$, 因此 $S[q+\delta q]-S[q]=0$, 也就是对于任意一个满足限定条件 (4) 的 $\delta q$, 上式中最后一行的表达式必然是 $0$. 这意味着上式中最后一行里括号中的表达式对于所有 $i,t$ 均成立, 也就是说, 我们有方程$$\frac{\partial L(q(t),\dot{q}(t),t)}{\partial q_i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L(q(t),\dot{q}(t),t)}{\partial q_i}=0,i=1,\cdots ,n$$(5)这也就是 Lagrange 方程 (1).

由牛顿第二定律得到的 Lagrange 方程

考一般的牛顿第二定律方程组如下:$$m_i{\ddot{x}}_i=F_i,i=1,2,\cdots ,N.$$(6)

其形式上是 $N$ 个一维空间运动方程, 但实际上在 $N$ 是 $d$ 的倍数, $m_i$ 是 $d$ 个一组相等的的时候, 也可表示一般的 $d$ 维空间中 $N/d$ 个质点的运动.

假设系统可以由 $n$($\le N$) 个参数 $q_1,\cdots ,q_n$(称为广义坐标) 来表示, 从而空间坐标可以写作这 $n$ 个广义坐标分量的函数$$\{\begin{array}{l}{x}_1=x_1(q_1,q_2,\cdots ,q_n)\\ x_2=x_2(q_1,q_2,\cdots ,q_n)\\ ⋮⋮⋮\\ x_N=x_N(q_1,q_2,\cdots ,q_n)\end{array}$$在新的坐标系下, 速度和加速度的公式可以直接利用坐标转换函数得到:$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_i=& \sum _{j=1}^n\frac{\partial x_i}{\partial q_j}{\dot{q}}_j\\ {\ddot{x}}_i=& \sum _{j=1}^n\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial x_i}{\partial q_j}{\dot{q}}_j\right)=\sum _{j=1}^n\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\right){\dot{q}}_j+\frac{\partial x_i}{\partial q_j}{\ddot{q}}_j\\ =& \sum _{j,\ell =1}^n\frac{{\partial }^2{x}_i}{\partial q_j\partial q_{\ell }}{\dot{q}}_j{\dot{q}}_{\ell }+\sum _{j=1}^n\frac{\partial x_i}{\partial q_j}{\ddot{q}}_j\end{array}$$

这里的 $x_i,\frac{\partial x_i}{\partial q_j},\frac{{\partial }^2{x}_i}{\partial q_j\partial q_{\ell }}$ 等, 全部看作 $q_1,\cdots ,q_n$ 的函数. 于是, 原来的 (6) 就变成了$$\sum _{j,\ell =1}^n\frac{{\partial }^2{x}_i}{\partial q_j\partial q_{\ell }}{\dot{q}}_j{\dot{q}}_{\ell }+\sum _{j=1}^n\frac{\partial x_i}{\partial q_j}{\ddot{q}}_j=F_i,$$(7)其中 $\frac{{\partial }^2{x}_i}{\partial q_j\partial q_{\ell }}$, $\frac{\partial x_i}{\partial q_j}$ 以及$$F_i=F_i\left(x_1(q_1,\cdots ,q_n),\cdots ,x_N(q_1,\cdots ,q_n),\sum _{j=1}^n\frac{\partial x_1}{\partial q_j}{\dot{q}}_j,\cdots ,\sum _{j=1}^n\frac{\partial x_N}{\partial q_j}{\dot{q}}_j\right)$$都应被看作 $q_1,\cdots ,q_n,{\dot{q}}_1,\cdots ,{\dot{q}}_n$ 的函数. 此外, 系统的动能则可以表示为$$T=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N{m}_i{\dot{x}}_i^2=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N{m}_i{\left(\sum _{j=1}^n\frac{\partial x_i}{\partial q_j}{\dot{q}}_j\right)}^2$$(8)同样地, $T$ 也应被看作 $q_1,\cdots ,q_n,{\dot{q}}_1,\cdots ,{\dot{q}}_n$ 的函数.

为了把方程 (7) 整理成更简洁的形式, 我们要定义 “广义坐标”$q_1,\cdots ,q_n$ 下的 “广义力”: 假设系统第 $i$ 的广义坐标分量产生一个微小变化 $\delta q_j$,$$\left(q_1,\cdots ,q_j,\cdots ,q_n\right)\to \left(q_1,\cdots q_j+\delta q_j,\cdots ,q_n\right)$$则在空间坐标 $x_1,\cdots ,x_N$ 下, 其产生的位移为 $\delta x_i=\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\delta q_j$, 而各分量上的力 $F_1,\cdots ,F_N$ 所做的功则为$$\sum _{i=1}^N{F}_i\delta x_i=\sum _{i=1}^N{F}_i\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\delta q_j=G_j\delta q_j,$$(9)其中$$G_j=\sum _{i=1}^N{F}_i\frac{\partial x_i}{\partial q_j},j=1,2,\cdots ,n.$$(10)(9) 便类似于说 $G_j$ 是系统在 $q_j$ 方向的 “力”.

利用 (10) 及 (7), 我们有$$G_j=\sum _{i=1}^n{F}_i\frac{\partial x_i}{\partial q_j}=\sum _{i=1}^n{m}_i\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\left(\sum _{\ell ,\mu =1}^n\frac{{\partial }^2{x}_i}{\partial q_{\ell }\partial q_{\mu }}{\dot{q}}_{\ell }{\dot{q}}_{\mu }+\sum _{\mu =1}^n\frac{\partial x_i}{\partial q_{\mu }}{\ddot{q}}_{\mu }\right)$$(11)利用 (8), 我们又可以得到$$\frac{\partial T}{\partial q_j}=\sum _{i=1}^n{m}_i{\dot{x}}_i\frac{\partial {\dot{x}}_i}{\partial q_j},\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_j}=\sum _{i=1}^n{m}_i{\dot{x}}_i\frac{\partial {\dot{x}}_i}{\partial {\dot{q}}_j}=\sum _{i=1}^n{m}_i{\dot{x}}_i\frac{\partial x_i}{\partial q_j}$$(12)由 (11) 及 (12), 可以得到$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_j}-\frac{\partial T}{\partial q_j}=G_j,j=1,2,\cdots n$$(13)假设存在 ${\mathbb{R}}^n$ 上的函数 $V$, 使得 $G_i=-\frac{\partial V}{\partial q_i}$ 对每一个 $i=$ $1,\cdots ,n$ 成立, 那么广义坐标下的力学方程变成了$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_j}-\frac{\partial T}{\partial q_j}=-\frac{\partial V}{\partial q_j},j=1,2,\cdots ,n.$$(14)由于 $V$ 与 ${\dot{q}}_i$ 无关, 故上式可以整理成$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j}-\frac{\partial L}{\partial q_j}=0j=1,2,\cdots ,n,$$(15)其中 $L=T-V$, 和之前一样, $L$ 被看作 $q_1,\cdots ,q_n,{\dot{q}}_1,\cdots ,{\dot{q}}_n$ 的函数. 这便得到了 Lagrange 方程 (1).

Lagrange 当年的工作停留在了 (14), 他没有进一步探究 (15) 与变分原理之间的关系.