作者: 埃格先生
本讲义从微分流形的视角来介绍经典分析力学 (Lagrange 力学即 Hamilton 力学).
目前的计划是将笔者在 mathcha 平台分享的讲义移植过来并加以润色.
敬请期待!
简介
分析力学概览
1 微分流形的基本概念
1.1 作为流形的位形空间
1.2 欧氏空间中的微分流形
1.3 一般微分流形的定义
1.4 微分流形之间的映射
1.5 切向量与切丛
1.6 切向量场, 单参数微分同胚群, Lie 导数
1.7 Lie 群及其 Lie 代数
2 微分流形上的 Lagrange 力学
2.1 微分流形上的变分原理
2.2 经典力学方程的 Lagrange 形式, Lagrange 向量场
2.3 一些 Lagrange 方程的实例
2.4 静力学问题
2.5 小振动问题
2.6 刚体的位形空间与 Lagrange 力学
3 微分流形上的张量场与微分形式
3.1 余切向量, 微分
3.2 张量及张量场
3.3 协变张量场的拉回映射, Lie 导数
3.4 Riemann 度量
3.5 微分形式
3.6 微分形式的外微分等运算
张量及微分形式常用公式一览
4 辛流形与 Hamilton 力学
4.1 辛线性代数
4.2 辛流形及辛映射
4.3 辛向量场及 Hamilton 向量场
4.4 Poisson 括号
4.5 Liouville 向量场
4.6 余切从上的辛结构
4.7 Lagrange 力学到 Hamilton 力学的转换
4.8 Hamilton 系统, Noether 定理
4.9 可积性 Hamilton 系统, Arnold-Liouville 定理
4.10 遍历性与统计力学基本假设
4.11 应用实例: 利用辛方法求 Hamilton 方程的数值解