1. 奇异支集

本讲义中, 我们在无穷范畴里工作. “范畴” 一词默认指代无穷范畴.

考虑一个光滑流形 $M$ 和一个可表现范畴 $\mathcal{C}$. 记 $M$ 上取值在 $\mathcal{C}$ 里的层构成的范畴为 $\mathrm{Sh}(M;\mathcal{C})$. 特别地, 如果 $\mathcal{C}$ 是空间范畴 $Spc$, 那么我们将 $\mathrm{Sh}(M;Spc)$ 简记为 $\mathrm{Sh}(M)$. 关于取值在无穷范畴里的层范畴, 可以参考 [Lurie 2009, §7].

1.1奇异支集的定义

对于一个 $M$ 上的层的 $\mathcal{F}\in \mathrm{Sh}(M)$, 奇异支集的想法是考虑 $\mathcal{F}$ 在一个开集 $U$ 上的截面 $\mathcal{F}(U)$ 是如何随着 $U$ 的变化而变化的.

定义 1.1.1. 考虑一个锥状开集 $\Omega \subset T^{\ast }M$. 一个 $\Omega$-透镜是指一个 $[0,1]\times M$ 上的光滑函数 $f_t(x)$, 满足以下条件:

1.	固定 $x$, 透镜 $f_t(x)$ 对 $t$ 非增.
2.	透镜 $f_t$ 在一个紧集 $K$ 之外的取值与 $t$ 无关.
3.	对所有的 $x\in K$, 如果 $f_t(x)=0$, 那么 ${\mathrm{d}}_x{f}_t\in \Omega$.

这里的锥状 (conic) 是指在 ${\mathbb{R}}_{+}$ 作用下不变.

对一个透镜 $f_t$, 记 $U_t=\{x\in M\mid f_t(x)<0\}$. 注意到 $f$ 对于 $t$ 非增, 所以 $U_t$ 随着 $t$ 变大会不断变小. 于是我们得到了 $\mathrm{Sh}(M)$ 里的一个箭头:$$[U_1]⟶[U_0]$$(1.1)这里 $[U]$ 表示开集 $U$ 的米田嵌入.

定义 1.1.2. 对于锥状开集 $\Omega \subset T^{\ast }X$, 我们用 $S_{\Omega }$ 表示所有 $\Omega$-透镜对应的箭头生成的饱和类. 对一个 $X$ 上的层 $\mathcal{F}$, 如果 $\mathcal{F}$ 对于 $S_{\Omega }$ 局部, 那我们就说 $\mathcal{F}$ 在 $\Omega$ 上非奇异. 所有在 $\Omega$ 上非奇异的层 $F$ 构成的范畴记作 ${\mathrm{Sh}}_{T^{\ast }X\backslash \Omega }(X)$.

注意到 ${\mathrm{Sh}}_{T^{\ast }X\backslash \Omega }(X)$ 是 $\mathrm{Sh}(X)$ 的反射子范畴.

引理 1.1.3. 饱和类 $S_{{\Omega }_1\cup {\Omega }_2}$ 被 $S_{{\Omega }_1}$ 和 $S_{{\Omega }_2}$ 生成.

证明. 单位分解.

$\square$

推论 1.1.4. 如果 $\mathcal{F}$ 在一组锥状开集 ${\Omega }_{\alpha }$ 上非奇异, 那么 $\mathcal{F}$ 在 ${\cup }_{\alpha }$ 上非奇异.

定义 1.1.5. 对一个层 $\mathcal{F}$, 考虑使得 $\mathcal{F}$ 在其上非奇异的最大锥状开集 $\Omega$. 定义层 $\mathcal{F}$ 的奇异支集为 $T^{\ast }X\backslash \Omega$, 记作 $\mathrm{SS}(\mathcal{F})$. 在一些文献里奇异支集也被称为微局部支集.

注 1.1.6. Dima 给出的定义不同于 [Kashiwara–Schapira] 中原本的定义. 此定义更为直观, 并且对空间系数的层也使用. 对于稳定系数的层, 可以说明此定义与 [Kashiwara–Schapira, 5.1.1] 中的第三种定义等价.

1.2基本性质

命题 1.2.1. 嵌入函子$$\mathrm{Sh}(X)⟶{\mathrm{Sh}}_C(X)$$保持滤余极限.

如果我们知道 $[U_t]$ 是紧对象, 那这一命题根据定义就是显然的. 很可惜, $\mathrm{Sh}(X)$ 里的紧对象只有紧支局部系统. 不过我们可以使用如下技巧.

命题 1.2.2. 考虑一个透镜给出的 $U_t$. 要验证 $\mathcal{F}(U_0)\stackrel{\sim }{⟶}\mathcal{F}(U_1)$, 只需要说明$$\mathcal{F}(\overline{U_0})\stackrel{\sim }{⟶}\mathcal{F}(\overline{U_1})$$(1.2)

证明. 只需注意到$$\mathcal{F}(K)=\underset{U\supset K}{\lim }\mathcal{F}(U)$$与$$\mathcal{F}(U)=\underset{K\subset U}{\lim }\mathcal{F}(K)$$

$\square$

命题 1.2.1 的证明. 注意到对一个滤系统 $I$ 和紧子集 $K\subset X$, 我们有$${\mathrm{colim}}_I{F}_i(K)=({\mathrm{colim}}_I{F}_i)(K)$$结合命题 1.2.2, 命题得证.

$\square$

推论 1.2.3. 对稳定系数的层, (1.2) 和余极限交换.

考虑 $\Omega ={\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}_{+}^n\subset T^{\ast }{\mathbb{R}}^n$. 下面引理给出了一个判别一个层在 $\Omega$ 上非奇异的办法.

命题 1.2.4. 一个层在 $\mathcal{F}$ 上非奇异当且仅当限制映射$$\mathcal{F}({\Pi }_{i=1}^n(a_i,b_i))⟶\mathcal{F}({\Pi }_{i=1}^n(a_i,b_i)\backslash {\Pi }_{i=1}^n(a_i^{\prime },b_i))$$对所有的 $\{a_i^{\prime }<a_i<b_i{\}}_{i=1,\cdots ,n}$ 都是同构.

证明. (1) 假定 $\mathcal{F}$ 在 $\Omega$ 上非奇异.

$\square$

1.3参考文献

•	Jacob Lurie (2009). Higher topos theory, vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ. (doi) ()

•	Masaki Kashiwara, Pierre Schapira. Sheaves on manifolds, vol. 292. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin. With a chapter in French by Christian Houzel, Corrected reprint of the 1990 original.

术语翻译

透镜 • 英文 Lens

奇异支集 • 英文 Singular Support