7. 几何数论

在我们证明本节的主要结果之前, 我们首先介绍一些几何数论的内容. 几何数论涉及格 (lattice) 和凸体的研究, 在数论中有重要的应用.

定义 7.1. 集合 $\Lambda =\mathbb{Z}{v}_1\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}{v}_d$ 被称作 ${\mathbb{R}}^d$ 上的格 (lattice) , 其中 $v_1,\dots ,v_d\in {\mathbb{R}}^d$ 是线性无关向量.

定义 7.2. 格 $\Lambda =\mathbb{Z}{v}_1\oplus$ $\cdots \oplus \mathbb{Z}{v}_d$ 的行列式 $\det (\Lambda )$ 是 $v_1,\dots ,v_d$ 作为列的矩阵行列式的绝对值. $$\det \Lambda :=\left|\det \left(\begin{array}{ccc}|& \cdots & |\\ v_1& \cdots & v_d\\ |& \cdots & |\end{array}\right)\right|$$

例 7.3. $\omega =e^{(2\pi i)/3}$, 则 $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\omega$ 是一个格, 它的行列式是 $\sqrt{3}/2$.

例 7.4. $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\sqrt{2}\subset \mathbb{R}$ 不是格, 因为 1 和 $\sqrt{2}$ 不是线性无关的.

我们现在介绍凸体 $K$ 的连续最小值这一重要概念.

定义 7.5. 给定一个中心对称凸体 $K\subset {\mathbb{R}}^d$ (中心对称意味着 $x\in K$ 当且仅当 $-x\in K$ ) , 定义第 $i$ 个 $K$ 关于 $\Lambda$ 的连续最小值为$${\lambda }_i=\inf \{\lambda \ge 0:\dim (\mathrm{span}(\lambda K\cap \Lambda ))\ge i\}$$$1\le i\le d$. 等价地, ${\lambda }_i$ 是使得 $\lambda K$ 包含来自 $\Lambda$ 的 $i$ 个线性无关格向量的最小 $\lambda$.

定义 $K$ 相对于 $\Lambda$ 方向基为 ${\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_d\in {\mathbb{R}}^d$ , 满足对每个 $i=1,\dots ,d$ 都有 ${\mathbf{b}}_i\in {\lambda }_{i}K$ . 方向基可能有多个.

例 7.6. 令 $e_1,\dots ,e_8$ 为 ${\mathbb{R}}^8$ 中的标准基向量. 令 $v=\left(e_1+\cdots +e_8\right)/2$. 考虑格$$\Lambda =\mathbb{Z}{e}_1\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}{e}_7\oplus \mathbb{Z}v$$令 $K$ 为 ${\mathbb{R}}^8$ 中的单位球. 注意到 $K$ 相对于 $\Lambda$ 的方向基是 $e_1,\dots ,e_8$. 这说明凸体 $K$ 的方向基不一定是 $\Lambda$ 的 $\mathbb{Z}-$ 基.

如下图所示, 想象这样一个过程, 我们在时间 $\lambda$ 时看到凸体 $\lambda K$. 这个不断增长的凸体最初只是原点, 在某个时间点上它包含了第一个非零晶格点 ${\mathbf{b}}_1$. 凸体随着时间变大, 在某个时刻, 它包含了一个新维度中的第一个晶格点 ${\mathbf{b}}_2$. 凸体继续扩大下去, 直到包含所有的方向基 ${\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_d$ . (...) 连续最小值示意图

下面我们介绍 Minkowski 第二定理, 该定理可以用来控制连续最小值的乘积.

定理 7.7 (Minkowski 第二定理, 1896). 令 $\Lambda \in {\mathbb{R}}^d$ 为格, $\mathrm{K}$ 为中心对称体. 令 ${\lambda }_1\le \cdots \le {\lambda }_d$ 是 $K$ 关于 $\Lambda$ 的连续最小值. 有$${\lambda }_1\dots {\lambda }_d\mathrm{vol}(K)\le 2^d\det (\Lambda )$$

例 7.8. 值得一提的是, Minkowski 的第二定理是紧的$$K=\left[-\frac{1}{{\lambda }_1},\frac{1}{{\lambda }_1}\right]\times \cdots \times \left[-\frac{1}{{\lambda }_d},\frac{1}{{\lambda }_d}\right]$$$\Lambda$ 是格 ${\mathbb{Z}}^d$.

我们省略 Minkowski 第二定理的证明. 我们现在用 Minkowski 第二定理来证明: 一个低维的 Bohr 集包含一个大的 GAP.

定理 7.9. 设 $N$ 为素数. $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ 中每个维度为 $d$ 且宽度 $ϵ\in (0,1)$ 的 Bohr 集包含一个适当 GAP, 其维度最多为 $d$, 大小至少为 $(ϵ/d{)}^{d}N$.

证明. 令 $R=\left\{r_1,\dots ,r_d\right\}$, 令$$v=\left(\frac{r_1}{N},\dots ,\frac{r_d}{N}\right)$$令 $\Lambda \subset {\mathbb{R}}^d$ 是由 ${\mathbb{R}}^d$ 中所有满足下面条件的点组成的格: 这些点 $\mathrm{mod}1$ 等于 $v$ 的整数倍. 我们有 $\det (\Lambda )=1/N$. 令凸体 $K=[-ϵ,ϵ{]}^d$. 令 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_d$ 是 $K$ 相对于 $\Lambda$ 的连续最小值. 设 ${\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_d$ 为方向基. 我们知道$${\Vert {\mathbf{b}}_j\Vert }_{\infty }\le {\lambda }_jϵ\text{ for all }j$$对于每个 $1\le j\le d$, 令 $L_j=\lceil 1/\left({\lambda }_{j}d\right)\rceil$. 如果 $0\le l_j<L_j$ , 有$${\Vert l_j{\mathbf{b}}_j\Vert }_{\infty }<\frac{ϵ}{d}$$对于任意 $i$ , 如果有整数 $l_1,\dots ,l_d$ 且 $0\le l_i<L_i$ , 那么$${\Vert l_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +l_d{\mathbf{b}}_d\Vert }_{\infty }\le ϵ$$(7.1)每个 ${\mathbf{b}}_j$ 等于 $x_{j}v$ 加上一个具有整数坐标的向量, $0\le x_j<N$. (7.1) 中 $i^{\text{th }}$ 坐标的上界意味着$${\Vert \frac{\left(l_1{x}_1+\cdots +l_d{x}_d\right)r_i}{N}\Vert }_{\mathbb{R}\backslash \mathbb{Z}}\le ϵ\text{ for all }i$$因此, GAP$$\left\{l_1{x}_1+\cdots +l_d{x}_d:0\le l_i<L_i\text{ for all }i\right\}$$包含在 $\mathrm{Bohr}(R,ϵ)$ 中. 我们要证明这个 GAP 很大并且它是适当的. 首先我们证明它很大. 使用 Minkowski 第二定理, 它的大小$$\begin{array}{rl}{L}_1\cdots L_k& \ge \frac{1}{{\lambda }_1\cdots {\lambda }_d\cdot d^d}\\ & \ge \frac{\mathrm{vol}(K)}{2^d\det (\Lambda )d^d}\\ & =\frac{(2ϵ{)}^d}{2^d\frac{1}{N}{d}^d}\\ & ={\left(\frac{ϵ}{d}\right)}^{d}N\end{array}$$现在我们检查 GAP 是否适当. 我们只需证明$$l_1{x}_1+\cdots +l_d{x}_d\equiv l_1^{\prime }{x}_1+\cdots +l_d^{\prime }{x}_d(\mathrm{mod}N)$$所以对于任意的 $i$, 我们必须有 $l_i=l_i^{\prime }$. 令$$\mathbf{b}=\left(l_1-l_1^{\prime }\right){\mathbf{b}}_1+\cdots +\left(l_d-l_d^{\prime }\right){\mathbf{b}}_d$$我们知道 $\mathbf{b}\in {\mathbb{Z}}^d$. 此外$$\Vert \mathbf{b}{\Vert }_{\infty }\le \sum _{i=1}^d\frac{1}{{\lambda }_{i}d}{\Vert {\mathbf{b}}_i\Vert }_{\infty }\le ϵ<1$$所以 b 必须是 $0$. 因为 ${\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_d$ 是一组基, 所以对于所有 $i$ 有 $l_i=l_i^{\prime }$ .

$\square$