3. 从积性能量看 Sum-product 问题

在本节中, 我们将给出命题 8.1 另一版本的证明, 该证明给出了一个更好的下界.

定理 3.1 (Solymosi 2009). 如果 $A\subset {\mathbb{R}}_{>0}$, 则$$|A\cdot A||A+A{|}^2\ge \frac{|A{|}^4}{4\lceil {\log }_2|A|\rceil }$$

推论 3.2. 如果 $A\subset \mathbb{R}$, 则$$\max \{|A+A|,|A\cdot A|\}\ge \frac{|A{|}^{4/3}}{2{\lceil {\log }_2|A|\rceil }^{1/3}}$$

我们定义积性能量 (multiplicative energy) 为$$E_{\times }(A)=\left|\left\{(a,b,c,d)\in A^4:\text{ 存在 }\lambda \in \mathbb{R}\text{ 满足 }(a,b)=(\lambda c,\lambda d)\right\}\right|$$请注意, 积性能量是加性能量 (additive energy) 的乘积版本. 可以看到, 如果 $A$ 的乘法集很小, 那么积性能量就很大. $$\begin{array}{rl}{E}_{\times }(A)& =\sum _{x\in A\cdot A}{\left|\left\{(a,b)\in A^2:ab=x\right\}\right|}^2\\ & \ge \frac{|A{|}^4}{|A\cdot A|}\end{array}$$等号来自积性能量的等价定义 $E_{\times }(A)=\left|\left\{(a,b,c,d)\in A^4:ad=bc\right\}\right|$, 不等号来自柯西-施瓦茨不等式. 因此要证明定理 3.1, 我们只需证明$$\frac{E_{\times }(A)}{\lceil {\log }_2|A|\rceil }\le 4|A+A{|}^2$$

定理 3.1.

我们在这个证明中使用二元分解的方法. 令 $A/A$ 为集合 $\{a/b:a,b\in A\}$$$\begin{array}{rl}{E}_{\times }(A)& =\sum _{s\in A/A}|(s\cdot A)\cap A{|}^2\\ & =\sum _{i=0}^{\lceil {\log }_2|A|\rceil }\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{s\in A/A}{2^i\le ((s\cdot A)\cap A)<2^{i+1}}}|(s\cdot A)\cap A{|}^2\end{array}$$根据鸽巢原理, 存在 $k$ 使得$$\begin{array}{c}\frac{E_{\times }(A)}{\lceil {\log }_2|A|\rceil }\le \sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{s\in A/A}{2^k\le ((s\cdot A)\cap A)<2^{k+1}}}|(s\cdot A)\cap A{|}^2\end{array}$$我们记 $D=\left\{s:2^k\le |(s\cdot A)\cap A|<2^{k+1}\right\}$ 并对 $D$ 中的元素进行排序: $s_1<s_2<\cdots <s_m$. 然后有$$\frac{E_{\times }(A)}{\lceil {\log }_2|A|\rceil }\le \sum _{s\in D}|(s\cdot A)\cap A{|}^2\le |D|2^{2k+2}$$对于每个 $i\in [m]$ , 令 ${\ell }_i$ 为一条线 $y=s_{i}x$ , 并令 ${\ell }_{m+1}$ 为高于 ${\ell }_m$ 的垂直射线 $x=\min (A)$.

令 $L_j=(A\times A)\cap {\ell }_j$, 那么我们有 $\left|L_j+L_{j+1}\right|=\left|L_j\right|\left|L_{j+1}\right|$. 此外, 集合 $L_j+L_{j+1}$ 对于不同的 $j$ 是不相交的, 因为它们张成不相交的区域 (见图 ??) . 我们可以通过对所有 $j$ 求和 $\left|L_j+L_{j+1}\right|$ 来得到 $|A+A{|}^2$ 的下界.

$$\begin{array}{rl}|A+A{|}^2& =|A\times A+A\times A|\\ & \ge \sum _{j=1}^m\left|L_j+L_{j+1}\right|\\ & =\sum _{j=1}^m\left|L_j\right|\left|L_{j+1}\right|\\ & \ge m{2}^{2k}\ge \frac{E_{\times }(A)}{4\lceil {\log }_2|A|\rceil }\end{array}$$其中, 第一个等号右边的叉号代表笛卡尔积. 将上述不等式与 $E_{\times }(A)\ge |A{|}^4/|A\cdot A|$ 结合我们即可完成证明. (...)$L_j+L_{j+1}$ 示意图

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