用户: Yao/BMO 空间

1定义

定义 1.1. 设 $0<p<\infty$, 所有使$$M(f;P)(x)=\underset{t>0}{\sup }|(P_t\ast f)(x)|$$为 $L^p$ 函数的 ${\mathbb{R}}^n$ 上的有界缓增分布 $f$ 构成的空间称为实 Hardy 空间, 范数是$$\Vert f{\Vert }_{H^p}=\Vert M(f;P){\Vert }_{L^p}.$$

这里面, ${\mathbb{R}}^n$ 上的有界缓增分布是说对 Schwartz 空间 $\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 中的所有 $\phi$ 都有 $\phi \ast f\in L^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 的缓增分布 $f$, Poisson 核 $P_t(x)=t^{-n}P(x/t)$, 其中$$P(x)=\frac{\Gamma (\frac{n+1}{2})}{{\pi }^{\frac{n+1}{2}}}\frac{1}{(1+|x{|}^2{)}^{\frac{n+1}{2}}}.$$

定义 1.2. 设 $0<p\le 1,1<q\le \infty$. 称符合以下条件的函数 $A$ 为 $H^p({\mathbb{R}}^n)$ 的一个 ${\mathbf{L}}^{\mathbf{q}}$ 原子:

•	$\mathrm{supp}A\subset$ 某方块 $Q$,
•	$\Vert A{\Vert }_{L^q}\le |Q{|}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}$,
•	$\int x^{\alpha }A(x)dx=0$ 对所有 $|\alpha |\le \lfloor \frac{n}{p}-n\rfloor$ 的指标 $\alpha$ 成立.

不难看出, 对 $q<r$, $L^r$ 原子也是 $L^q$ 原子. 命题 2.2 表明, $H^p({\mathbb{R}}^n)$ 的 $L^q$ 原子本身也是 $H^p({\mathbb{R}}^n)$ 的元素.

2性质

命题 2.1.

•	对 $1<p<\infty$, $H^p({\mathbb{R}}^n)=L^p({\mathbb{R}}^n)$, 且 $\Vert f{\Vert }_{L^p}\le \Vert f{\Vert }_{H^p}\le C_{n,p}\Vert f{\Vert }_{L^p}$.
•	对 $p=1$, $H^1({\mathbb{R}}^n)\subset L^1({\mathbb{R}}^n)$, 且 $\Vert f{\Vert }_{L^1}\le \Vert f{\Vert }_{H^1}$.

证明.

•

对 $1<p<\infty$, 设 $f\in H^p({\mathbb{R}}^n)$, 由定义 $\{P_t\ast f{\}}_{t>0}$ 在 $L^p({\mathbb{R}}^n)$ 中一致有界, 故有子列 $\{P_{t_j}\ast f{\}}_{t_j\to 0}$ 弱 * 收敛于某 $f_0\in L^p({\mathbb{R}}^n)$. 下面会说明 $P_{t_j}\ast f$ 作为缓增分布收敛于 $f$, 于是 $f=f_0$, 是 $L^p$ 函数. 由 $\{P_t{\}}_{t>0}$ 是逼近恒等得到 $P_t\ast f$ 在 $L^p$ 空间中收敛于 $f$, 故有 $\Vert f{\Vert }_{L^p}\le \Vert \underset{t>0}{\sup }|P_t\ast f|{\Vert }_{L^p}=\Vert f{\Vert }_{H^p}.$ 现在来验证 $\{P_t\ast f{\}}_{t\to 0}$ 作为缓增分布收敛于 $f$. 取 $\varphi \in C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 且 $\hat{\varphi }$ 在 $0$ 的某邻域等于 $1$, 然后分别说明缓增分布 $P_t\ast (\varphi \ast f)\to \varphi \ast f$ 和 $P_t\ast (({\delta }_0-\varphi )\ast f)\to ({\delta }_0-\varphi )\ast f$ 即可. 前者是因为 $\{P_t\ast f{\}}_{t\to 0}$ 一致有界且点点收敛于 $\varphi \ast f$, 由 Lebesgue 控制收敛定理得到 $⟨P_t\ast (\varphi \ast f),\psi ⟩\to ⟨\varphi \ast f,\psi ⟩$ 对一切 $\psi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$. 后者等价于 $⟨\widehat{P_t}(1-\hat{\varphi })\hat{f},\psi ⟩\to ⟨(1-\hat{\varphi })\hat{f},\psi ⟩$ 对一切 $\psi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$, 这只需说明 $(\widehat{P_t}-1)(1-\hat{\varphi })\psi$ 在 $\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 中收敛到 $0$, 其中 $\widehat{P_t}(\xi )=e^{-2\pi t|\xi |}$, 过程略去. 再证明另一侧不等号. 注意到对任意 $t>0$ 有$$|(P_t\ast f)(x)|\le Mf(x),$$其中 $Mf$ 是 $f$ 的 Hardy–Littlewood 极大函数, 这是因为可以找一列符合 $\sum _{j=1}^N{a}_j|B_{r_j}|=\int P_t=1$ 的 $\sum _{j=1}^N{a}_j{\chi }_{B_{r_j}(0)}$ 在 $L^{p^{\prime }}$ 范数下趋近 $P_t$, 且对所有 $j$ 有$$|({\chi }_{B_{r_j}(0)}\ast f)(x)|=\left|{\int }_{B_{r_j}(x)}fdy\right|\le |B_{r_j}|Mf(x).$$结合熟知的 $\Vert Mf{\Vert }_{L^p}\le C_{n,p}\Vert f{\Vert }_{L^p}$, 就完成了证明.

•

对 $p=1$, 设 $f\in H^1({\mathbb{R}}^n)$, 则 $\{P_t\ast f{\}}_{t>0}$ 在 $L^1({\mathbb{R}}^n)$ 中一致有界, 但 $L^1({\mathbb{R}}^n)$ 不是任何空间的对偶, 需要把它放在有限 Borel 测度空间 $\mathcal{U}$ 之中 (这是 $C_0({\mathbb{R}}^n)=\{f\in C({\mathbb{R}}^n)\mid \underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0\}$ 的对偶) , 得到有子列 $\{P_{t_j}\ast f{\}}_{t_j\to 0}$ 弱 * 收敛于某 $\mu \in \mathcal{U}$. 下面会说明实际上 $\mu \in L^1({\mathbb{R}}^n)$, 又由于 $P_{t_j}\ast f$ 作为缓增分布收敛于 $f$, 得到 $f=\mu$, 是 $L^1$ 函数, 然后同上可得 $\Vert f{\Vert }_{L^1}\le \Vert f{\Vert }_{H^1}$. 现在来说明 $\mu \in L^1({\mathbb{R}}^n)$, 由 Radon–Nikodym 定理, 此即要说明 $\mu$ 相对于 Lebesgue 测度绝对连续. 对任意 $\epsilon >0$, 由于 $\underset{t>0}{\sup }|(P_t\ast f)|\in L^1({\mathbb{R}}^n)$, 存在 $\delta >0$ 使得对所有 $|E|<\delta$ 都有 $\underset{E}{\int }\underset{t>0}{\sup }|(P_t\ast f)|dx<\epsilon$, 那么$$\begin{array}{rl}|& \mu (E)|\le |\mu |(E)=\sup \{\left|{\int }_{{\mathbb{R}}^n}gd\mu \right||g\in C_0({\mathbb{R}}^n),|g|\le 1,\mathrm{supp}g\subset E\}\\ & =\sup \left\{\underset{j\to \infty }{\lim }\right|{\int }_{{\mathbb{R}}^n}g\cdot (P_{t_j}\ast f)dx\left|\right|g\in C_0({\mathbb{R}}^n),|g|\le 1,\mathrm{supp}g\subset E\}\\ & \le {\int }_E\underset{t>0}{\sup }|(P_t\ast f)|dx<\epsilon .\end{array}$$

$\square$

命题 2.2. 设 $0<p\le 1,1<q\le \infty$, $H^p({\mathbb{R}}^n)$ 的所有 $L^q$ 原子都在 $H^p({\mathbb{R}}^n)$ 之中, 且 $H^p$ 范数有一致的上界.

证明. 引用如下结论: 齐次 Triebel–Lizorkin 空间的 ${\dot{F}}_p^{0,2}$ 半范数等价于 $H^p$ 范数, 具体地$$\Vert f{\Vert }_{{\dot{F}}_p^{\alpha ,r}}=\Vert (\sum _{j\in \mathbb{Z}}(2^{j\alpha }|{\Delta }_{j}f|{)}^r{)}^{\frac{1}{r}}{\Vert }_{L^p},$$其中 $0<r\le \infty$, $\alpha \in \mathbb{R}$, ${\Delta }_{j}f=2^{nj}\psi (2^{j}x)\ast f$, $\psi$ 是一个取值仅有关 $|x|$ 的 $\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 函数, 且 $\hat{\psi }(\xi )$ 在 $\frac{6}{7}\le |\xi |\le 2$ 之外为 $0$, 在 $1\le |\xi |\le \frac{12}{7}$ 上等于 $1$, 而且在 ${\mathbb{R}}^n\backslash \{0\}$ 成立 $\sum _{j\in \mathbb{Z}}\hat{\psi }(2^j\xi )\equiv 1$. (这样的 $\psi$ 可以取为 $\hat{\psi }(\xi )=\varphi (\xi )-\varphi (\xi /2)$, $\varphi \equiv 1$ 当 $|\xi |\ge 1$, $\varphi \equiv 0$ 当 $|\xi |\le \frac{6}{7}$)

证明见 [Grafakos 2014] Theorem 1.3.8, Theorem 2.2.9, Corollary 2.2.10.

由此, 问题转化为对 $H^p({\mathbb{R}}^n)$ 的任何 $L^q$ 原子 $A$ 有$$\Vert (\sum _{j\in \mathbb{Z}}|{\Delta }_{j}A{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}{\Vert }_{L^p}\le C_{n,p,q}.$$

不妨设 $A$ 支撑于中心为 $0$ 的 $Q$. 下面分别估计 $\sqrt{n}Q$ 与 $(\sqrt{n}Q{)}^c$ 两部分上的积分.

首先, 利用 ${\dot{F}}_q^{0,2},L^q$ 范数的等价性得到$$\begin{array}{rl}\Vert (\sum _{j\in \mathbb{Z}}|{\Delta }_{j}A{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}{\Vert }_{L^p(\sqrt{n}Q)}& \le |\sqrt{n}Q{|}^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}\Vert (\sum _{j\in \mathbb{Z}}|{\Delta }_{j}A{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}{\Vert }_{L^q(\sqrt{n}Q)}\\ & \le C_{n,p,q}|Q{|}^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}\Vert A{\Vert }_{L^q}\\ & \le C_{n,p,q}.\end{array}$$

接着, 对 $x\in (\sqrt{n}Q{)}^c$ 有$$\begin{array}{rl}{\Delta }_{j}f(x)& =2^{jn}{\int }_Q\psi (2^j(x-y))A(y)dy\\ & =2^{jn}{\int }_Q(\psi (2^j(x-y))-\sum _{|\alpha |\le k}{\partial }^{\alpha }\psi (2^{j}x)\frac{(-2^{j}y{)}^{\alpha }}{\alpha !})A(y)dy\\ & =2^{jn}{\int }_Q(\sum _{|\alpha |=k+1}{\partial }^{\alpha }\psi (2^j(x-\theta y))\frac{(-2^{j}y{)}^{\alpha }}{\alpha !})A(y)dy,\end{array}$$其中 $\theta \in (0,1)$, $k=\lfloor \frac{n}{p}-n\rfloor$, 用到了 $\int x^{\alpha }A=0$ 对 $|\alpha |\le k$. 注意到 $|y|\le \sqrt{n}|Q{|}^{\frac{1}{n}}/2\le |x|/2$ 推出 $|x-\theta y|\ge |x|-|y|\ge |x|/2$, 使用 $|{\partial }^{\alpha }\psi (x)|\le C/|x{|}^N$ ($N$ 待定) 进而得到$$\begin{array}{rl}|{\Delta }_{j}A(x)|& \le 2^{nj}{\int }_Q\sum _{|\alpha |=k}\frac{C}{(1+2^j|x|/2{)}^N}\frac{|2^{j}y{|}^k}{\alpha !}|A(y)|dy\\ & \le \frac{C{2}^{(n+k)j}}{(1+2^{j-1}|x|{)}^N}({\int }_Q|y{|}^{k\frac{q}{q-1}}dy{)}^{\frac{q-1}{q}}\Vert A{\Vert }_{L^q}\\ & =\frac{C_{n,q}{2}^{(n+k)j}}{(1+2^{j-1}|x|{)}^N}|Q{|}^{1-\frac{1}{q}+\frac{k}{n}}\Vert A{\Vert }_{L^q},\end{array}$$于是, 令 $N>n+k$ 就有$$\begin{array}{rl}(\sum _{j\in \mathbb{Z}}|{\Delta }_{j}A{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}dx& \le C_{n,q}(\sum _{j\in \mathbb{Z}}\frac{2^{2(n+k)j}}{(1+2^{j-1}|x|{)}^{2N}}{)}^{\frac{1}{2}}|Q{|}^{1-\frac{1}{q}+\frac{k}{n}}\Vert A{\Vert }_{L^q}\\ & \le C_{n,q}|x{|}^{-(n+k)}|Q{|}^{1-\frac{1}{p}+\frac{k}{n}}.\end{array}$$由此, $$\begin{array}{rl}\Vert (\sum _{j\in \mathbb{Z}}|{\Delta }_{j}A{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}{\Vert }_{L^p((\sqrt{n}Q{)}^c)}& \le C_{n,p,q}{\int }_{\sqrt{n}|Q{|}^{\frac{1}{n}}/2}^{\infty }{r}^{-(n+k)p+n-1}dr|Q{|}^{1-\frac{1}{p}+\frac{k}{n}}\\ & =C_{n,p,q}.\end{array}$$

$\square$

3定义

定义 3.1. 设 $f$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的复值局部可积函数, 定义$$\Vert f{\Vert }_{BMO}=\underset{Q}{\sup }\frac{1}{|Q|}{\int }_Q|f-f_Q|dx,$$其中 $Q$ 取遍 ${\mathbb{R}}^n$ 的方块, $f_Q=\frac{1}{|Q|}{\int }_{Q}f$.
记 $BMO({\mathbb{R}}^n)$ 为所有符合 $\Vert f{\Vert }_{BMO}<\infty$ 的 $f$ 的函数空间.

之后出现的 $Q$ 均表示 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个方块. 容易得到对 $f,g\in BMO({\mathbb{R}}^n),\lambda \in \mathbb{C}$ 有$$\Vert f+g{\Vert }_{BMO}\le \Vert f{\Vert }_{BMO}+\Vert g{\Vert }_{BMO},\Vert \lambda f{\Vert }_{BMO}=|\lambda |\Vert f{\Vert }_{BMO},$$且 $\Vert f{\Vert }_{BMO}=0$ 当且仅当在一切方块 $Q$ 上成立 $f=f_Q$, 当且仅当在 ${\mathbb{R}}^n$ 上 $f$ 几乎处处是常数. 因此 $\Vert {\Vert }_{BMO}$ 是半范数, 且 $BMO({\mathbb{R}}^n)$ 模去常数是赋范线性空间, 命题 4.8 进一步表明这是 Banach 空间.

4性质

命题 4.1. 设存在 $A>0$ 使得对所有 $Q$ 存在常数 $c_Q$ 满足$$\underset{Q}{\sup }\frac{1}{|Q|}{\int }_Q|f-c_Q|dx\le A,$$那么 $f\in BMO({\mathbb{R}}^n)$, 且 $\Vert f{\Vert }_{BMO}\le 2A$.

证明. 由于对任何 $Q$ 有$$|f_Q-c_Q|\le \frac{1}{|Q|}{\int }_Q|f-c_Q|dx\le A,$$得到$$\Vert f{\Vert }_{BMO}=\underset{Q}{\sup }\frac{1}{|Q|}{\int }_Q|f-f_Q|dx\le \underset{Q}{\sup }\frac{1}{|Q|}{\int }_Q|f-c_Q|+Adx\le 2A.$$

$\square$

推论 4.2. 把 $\Vert {\Vert }_{BMO}$ 半范数的定义里的正方体换成球体, 得到的半范数记为 $\Vert {\Vert }_{BM{O}^{\prime }}$, 与原来的半范数等价.

证明. 设 $B$ 是包含 $Q$ 的最小的球, 在上一命题中取 $c_Q=f_Q$, 得到$$\Vert f{\Vert }_{BMO}\le 2\underset{Q}{\sup }\frac{|B|}{|Q|}\frac{1}{|B|}{\int }_Q|f-f_B|dx=2\frac{|B|}{|Q|}\Vert f{\Vert }_{BM{O}^{\prime }},$$其中 $\frac{|B|}{|Q|}$ 是一个定值. 类似地有反过来的不等号.

$\square$

命题 4.3. $L^{\infty }({\mathbb{R}}^n)⊊BMO({\mathbb{R}}^n)$.

证明. 由于$$\Vert f{\Vert }_{BMO}\le \underset{Q}{\sup }\frac{1}{|Q|}{\int }_{Q}2\Vert f{\Vert }_{L^{\infty }}dx=2\Vert f{\Vert }_{L^{\infty }},$$有 $L^{\infty }({\mathbb{R}}^n)\subset BMO({\mathbb{R}}^n)$. 下面说明无界函数 $\log |x|\in BMO({\mathbb{R}}^n)$.
这只需要说明 $\Vert \log |x|{\Vert }_{BM{O}^{\prime }}<\infty$, 与命题 4.1 的推导相同, 只需对所有球 $B$ 找到常数 $c_B$ 使得 $\frac{1}{|B|}{\int }_B|\log |x|-c_B|dx$ 一致有界.
设 $B=B_r(x_0)$. 当 $|x_0|>2r$, 取 $c_B=\log |x_0|$, 则$$\frac{1}{|B_r|}{\int }_{B_r(x_0)}|\log |x|-c_B|dx\le \underset{B_r(x_0)}{\sup }|\log (|x|/|x_0|)|dx\le \max |\log (1\pm 1/2)|;$$当 $|x_0|\le 2r$, $B_r(x_0)\subset B_{3r}(0)$, 取 $c_B=\log r$, 则$$\begin{array}{rl}\frac{1}{|B_r|}{\int }_{B_r(x_0)}|\log |x|-c_B|dx\le \frac{1}{|B_r|}{\int }_{B_r(x_0)}|\log |x/r||dx& \le \frac{1}{|B_r|}{\int }_{B_{3r}(0)}|\log |x/r||dx\\ & =\frac{1}{|B_1|}{\int }_{B_3(0)}|\log |x||dx<\infty .\end{array}$$

$\square$

命题 4.4. 设 $f\in BMO({\mathbb{R}}^n)$, 则 $|f|\in BMO({\mathbb{R}}^n)$, 且 $\Vert |f{\Vert }_{BMO}\le 2\Vert f{\Vert }_{BMO}$.

证明. 注意到 $\pm (|f|-|f_Q|)\le |f-f_Q|$ 以及 $\pm (|f{|}_Q-|f_Q|)\le |f-f_Q{|}_Q$, 相加得$$||f|-|f{|}_Q|\le |f-f_Q|+|f-f_Q{|}_Q.$$两边在 $Q$ 上积分即可.

$\square$

推论 4.5. 设实值函数 $f,g\in BMO({\mathbb{R}}^n)$, 则 $\max (f,g),\min (f,g)\in BMO({\mathbb{R}}^n)$, 且 $\Vert \max (f,g){\Vert }_{BMO}\le \frac{3}{2}(\Vert f{\Vert }_{BMO}+\Vert g{\Vert }_{BMO}),\Vert \min (f,g){\Vert }_{BMO}\le \frac{3}{2}(\Vert f{\Vert }_{BMO}+\Vert g{\Vert }_{BMO})$.

证明. 根据$$\max (f,g)=\frac{1}{2}(|f|+|g|+|f-g|),\min (f,g)=\frac{1}{2}(|f|+|g|-|f-g|)$$得到 ($\min (f,g)$ 相同) $$\begin{array}{rl}\max (f,g){\Vert }_{BMO}& \le \frac{1}{2}(\Vert |f|{\Vert }_{BMO}+\Vert |g|{\Vert }_{BMO}+\Vert f-g{\Vert }_{BMO})\\ & \le \frac{1}{2}(2\Vert f{\Vert }_{BMO}+2\Vert g{\Vert }_{BMO}+\Vert f{\Vert }_{BMO}+\Vert g{\Vert }_{BMO}).\end{array}$$

$\square$

命题 4.6. 设 $f\in BMO({\mathbb{R}}^n)$, 对 $\delta >0$, 存在常数 $C_{n,\delta }$, 对任何球 $B_r(x_0)$ 有$$r^{\delta }{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\frac{|f-f_{B_r(x_0)}|}{(r+|x-x_0|{)}^{n+\delta }}dx\le C_{n,\delta }\Vert f{\Vert }_{BM{O}^{\prime }}.$$

证明. 只需考虑球为 $B_1(0)$ 的情况. 由于$$|f_{B_{2^l}}-f_{B_{2^{l+1}}}|=\frac{1}{|B_{2^l}|}|{\int }_{B_{2^l}}f-f_{B_{2^{l+1}}}dx|\le \frac{2^n}{|B_{2^{l+1}}|}{\int }_{B_{2^{l+1}}}|f-f_{B_{2^{l+1}}}|dx\le 2^n\Vert f{\Vert }_{BM{O}^{\prime }},$$那么对正整数 $k$ 成立$$|f_{B_1}-f_{B_{2^k}}|\le 2^{n}k\Vert f{\Vert }_{BM{O}^{\prime }}.$$于是有$$\begin{array}{rl}& {\int }_{{\mathbb{R}}^n}\frac{|f-f_{B_1}|}{(1+|x|{)}^{n+\delta }}dx\\ \le & {\int }_{B_1}|f-f_{B_1}|dx+\sum _{k=0}^{\infty }{\int }_{B_{2^{k+1}}\backslash B_{2^k}}\frac{|f-f_{B_{2^{k+1}}}|+|f_{B_1}-f_{B_{2^{k+1}}}|}{2^{k(n+\delta )}}dx\\ \le & |B_1|\Vert f{\Vert }_{BM{O}^{\prime }}+\sum _{k=0}^{\infty }\frac{2^{(k+1)n}}{2^{k(n+\delta )}}|B_1|(1+2^n(k+1))\Vert f{\Vert }_{BM{O}^{\prime }}.\end{array}$$

$\square$

注 4.7. 这一命题说明, 对 $f\in BMO({\mathbb{R}}^n)$ 及任何 $\delta >0$, 成立 $\frac{f(x)}{(1+|x|{)}^{n+\delta }}\in L^1({\mathbb{R}}^n)$, 在这个意义上 $f$ 差不多是有界的.

推论 4.8. $BMO({\mathbb{R}}^n)$ 模去常数是 Banach 空间.

证明. 设 $\{[f_j]{\}}_{j\ge 1}$ 是这一空间中的 Cauchy 列. 任意指定一个球 $B_r(x_0)$, 并且让 $[f_j]$ 的代表元均满足 ${f_j}_{B_r(x_0)}=0$, 那么$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}|f_j-f_k|dx\le r^n{C}_{n,\delta }\Vert f_j-f_k{\Vert }_{BM{O}^{\prime }}\to 0,$$根据 $L^1({\mathbb{R}}^n)$ 的完备性, $\{f_j\}$ 收敛于某 $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$. 此外, 上式说明: 对于$$\frac{1}{|Q|}{\int }_Q|(f_j-{f_j}_Q)-(f_k-{f_k}_Q)|dx<\epsilon ,$$令 $k\to \infty$ 推出$$\frac{1}{|Q|}{\int }_Q|(f_j-{f_j}_Q)-(f-f_Q)|dx<\epsilon .$$取 $\underset{Q}{\sup }$ 即得 $\Vert f_j-f{\Vert }_{BMO}\to 0$.

$\square$

命题 4.9. 设 $f\in BMO({\mathbb{R}}^n)$, 对任意的 $Q$ 和 $\alpha >0$ 有$$|\{x\in Q\mid |f-f_Q|>\alpha \}|\le e|Q|e^{-(2^{n}e{)}^{-1}\alpha /\Vert f{\Vert }_{BMO}}.$$

证明. 见 [Grafakos 2014] Theorem 3.1.6.

$\square$

推论 4.10. 设 $0<p<\infty$, $f\in BMO({\mathbb{R}}^n)$, 成立$$\underset{Q}{\sup }(\frac{1}{|Q|}{\int }_Q|f-f_Q{|}^{p}dx{)}^{\frac{1}{p}}\le C_{n,p}\Vert f{\Vert }_{BMO}.$$

证明. 对任意的 $Q$ 有$$\begin{array}{rl}\frac{1}{|Q|}{\int }_Q|f-f_Q{|}^{p}dx& =\frac{p}{|Q|}{\int }_0^{\infty }{\alpha }^{p-1}|\{x\in Q\mid |f-f_Q|>\alpha \}|dx\\ & \le pe{\int }_0^{\infty }{\alpha }^{p-1}{e}^{-(2^{n}e{)}^{-1}\alpha /\Vert f{\Vert }_{BMO}}dx\\ & =C_{n,p}\Vert f{\Vert }_{BMO}^p.\end{array}$$

$\square$

注 4.11. 这说明 $f\in BMO({\mathbb{R}}^n)$ 是局部 $L^p$ 的. 此外, 对 $1<p<\infty$, 由于测度为 $1$ 的空间上 $\Vert {\Vert }_{L^1}\le \Vert {\Vert }_{L^p}$, 得到左边的表达式实际上与 $\Vert {\Vert }_{BMO}$ 等价.

命题 4.12. 设 $f\in BMO({\mathbb{R}}^n)$, 存在唯一的线性泛函 $l_f:H^1({\mathbb{R}}^n)\to \mathbb{C}$, 使得对能分解成有限个 $L^{\infty }$ 原子的 $g\in H^1({\mathbb{R}}^n)$ 成立$$l_f(g)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}fgdx,$$且 $\Vert l_f{\Vert }_{{H^1}^{\ast }}\le C_n\Vert f{\Vert }_{BMO}$. 对应相同的 $l_f$ 函数 $f$ 只相差一个常数.

证明. 先建立这一结论: 对有界的 $f\in BMO({\mathbb{R}}^n)$ 及 $g\in H^1({\mathbb{R}}^n)$, 成立$$\left|{\int }_{{\mathbb{R}}^n}fgdx\right|\le C_n\Vert f{\Vert }_{BMO}\Vert g{\Vert }_{H^1}.$$为此, 对 $g$ 作 $L^{\infty }$ 原子分解得到 $g=\sum _k{\lambda }_k{a}_k$ 关于 $L^1$ 范数收敛, $\mathrm{supp}{a}_k\subset Q_k$, $|a_k|\le |Q_k{|}^{-1}$, $\int a_k=0$, 并且 $\sum _k|{\lambda }_k|\le C_n\Vert g{\Vert }_{H^1}$. 于是$$\begin{array}{rl}\left|{\int }_{{\mathbb{R}}^n}fgdx\right|& =\left|\sum _k{\lambda }_k{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f{a}_{k}dx\right|\\ & =|\sum _k{\lambda }_k{\int }_{Q_k}(f-f_{Q_k})a_{k}dx|\\ & \le \sum _k\frac{|{\lambda }_k|}{|Q_k|}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}|f-f_{Q_k}|dx\\ & \le \sum _k|{\lambda }_k|\Vert f{\Vert }_{BMO}\\ & \le C_n\Vert f{\Vert }_{BMO}\Vert g{\Vert }_{H^1}.\end{array}$$现在处理一般的 $f\in BMO({\mathbb{R}}^n)$. 注意到序列 $f_k:=f{\chi }_{-k\le f\le k}$ 点点收敛到 $f$, 根据命题 4.5, 其范数$$\Vert f{\chi }_{-k\le f\le k}{\Vert }_{BMO}\le \frac{3}{2}(\Vert f{\chi }_{f\le k}{\Vert }_{BMO}+\Vert -k{\Vert }_{BMO})\le \frac{9}{4}\Vert f{\Vert }_{BMO},$$因而 $\Vert l_{f_k}{\Vert }_{{H^1}^{\ast }}\le C_n\frac{9}{4}\Vert f{\Vert }_{BMO}$ 一致有界. 对能分解成有限个 $L^{\infty }$ 原子的 $g\in H^1({\mathbb{R}}^n)$, $g$ 有界, 这时 Lebesgue 控制收敛定理保证了 $l_{f_k}(g)=\int f_{k}gdx\to \int fgdx=l_f(g)$, 故 $|l_f(g)|\le C_n\frac{9}{4}\Vert f{\Vert }_{BMO}\Vert g{\Vert }_{H^1}$; 既然此式对 $H^1({\mathbb{R}}^n)$ 的稠密子空间 (即全体能分解成有限个 $L^{\infty }$ 原子的 $g$) 成立, $l_f$ 可以唯一地保范延拓到整个 $H^1({\mathbb{R}}^n)$ 上 (注意此时 ${\int }_{{\mathbb{R}}^n}fg$ 未必绝对收敛) . 由此完成了 $l_f$ 的定义.

设 $f$ 不是常数, 即存在测度大于 $0$ 的 $E,F$ 使 $u(x)>u(y)+\epsilon$ 对所有 $x\in E,y\in F$ 和固定的 $\epsilon >0$ 成立, 令 $g=|E|{\chi }_F-|F|{\chi }_E$, 有 $l_f(g)=|E|{\int }_{F}u-|F|{\int }_{E}u>\epsilon |E|$, 则 $l_f\ne 0$.

$\square$

引理 4.13. 设 $f\in L^q({\mathbb{R}}^n)$ 支撑在 $Q$ 中, 且 $\int f=0$, 有$$\Vert f{\Vert }_{H^1}\le C_{n,q}|Q{|}^{1-\frac{1}{q}}\Vert f{\Vert }_{L^q}.$$

证明. 引用如下结论: 齐次 Triebel–Lizorkin 空间的 ${\dot{F}}_p^{0,2}$ 半范数对 $0<p\le 1$ 等价于 $H^p$ 范数, 对 $1<p<\infty$ 等价于 $L^p$ 范数, 具体地$$\Vert f{\Vert }_{{\dot{F}}_p^{\alpha ,q}}=\Vert (\sum _{j\in \mathbb{Z}}(2^{j\alpha }|{\Delta }_{j}f|{)}^q{)}^{\frac{1}{q}}{\Vert }_{L^p},$$其中 $0<q\le \infty$, $\alpha \in \mathbb{R}$, ${\Delta }_{j}f=2^{nj}\psi (2^{j}x)\ast f$, $\psi$ 是一个取值仅有关 $|x|$ 的 $\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 函数, 且 $\hat{\psi }(\xi )$ 在 $\frac{6}{7}\le |\xi |\le 2$ 之外为 $0$, 在 $1\le |\xi |\le \frac{12}{7}$ 上等于 $1$, 而且在 ${\mathbb{R}}^n\backslash \{0\}$ 成立 $\sum _{j\in \mathbb{Z}}\hat{\psi }(2^j\xi )\equiv 1$. (这样的 $\psi$ 可以取为 $\hat{\psi }(\xi )=\varphi (\xi )-\varphi (\xi /2)$, $\varphi \equiv 1$ 当 $|\xi |\ge 1$, $\varphi \equiv 0$ 当 $|\xi |\le \frac{6}{7}$)

证明见 [Grafakos 2014] Theorem 1.3.8, Theorem 2.2.9, Corollary 2.2.10.

由此, 问题转化为$$\Vert (\sum _{j\in \mathbb{Z}}|{\Delta }_{j}f{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}{\Vert }_{L^1}\le C_{n,q}|Q{|}^{1-\frac{1}{q}}\Vert f{\Vert }_{L^q}.$$不妨设 $A$ 支撑于中心为 $0$ 的 $Q$. 下面分别估计 $\sqrt{n}Q$ 与 $(\sqrt{n}Q{)}^c$ 两部分上的积分.

首先, 利用 ${\dot{F}}_q^{0,2},L^q$ 范数的等价性得到$$\begin{array}{rl}\Vert (\sum _{j\in \mathbb{Z}}|{\Delta }_{j}f{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}{\Vert }_{L^1(\sqrt{n}Q)}& \le |\sqrt{n}Q{|}^{1-\frac{1}{q}}\Vert (\sum _{j\in \mathbb{Z}}|{\Delta }_{j}f{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}{\Vert }_{L^q(\sqrt{n}Q)}\\ & \le C_{n,q}|Q{|}^{1-\frac{1}{q}}\Vert f{\Vert }_{L^q}.\end{array}$$

接着, 对 $x\in (\sqrt{n}Q{)}^c$ 有$$\begin{array}{rl}{\Delta }_{j}f(x)& =2^{jn}{\int }_Q\psi (2^j(x-y))f(y)dy\\ & =2^{jn}{\int }_Q(\psi (2^j(x-y))-\psi (2^{j}x))f(y)dy\\ & =2^{jn}{\int }_Q\nabla \psi (2^j(x-\theta y))\cdot (-2^{j}y)f(y)dy,\end{array}$$其中 $\theta \in (0,1)$, 用到了 $\int f=0$. 注意到 $|y|\le \sqrt{n}|Q{|}^{\frac{1}{n}}/2\le |x|/2$ 推出 $|x-\theta y|\ge |x|-|y|\ge |x|/2$, 使用 $|\nabla \psi (x)|\le C/|x{|}^N$ ($N$ 待定) 进而得到$$\begin{array}{rl}|{\Delta }_{j}f(x)|& \le 2^{nj}{\int }_Q\frac{C}{(1+2^j|x|/2{)}^N}|2^{j}y||f(y)|dy\\ & \le \frac{C{2}^{(n+1)j}}{(1+2^{j-1}|x|{)}^N}({\int }_Q|y{|}^{\frac{q}{q-1}}dy{)}^{\frac{q-1}{q}}\Vert f{\Vert }_{L^q}\\ & =\frac{C_{n,q}{2}^{(n+1)j}}{(1+2^{j-1}|x|{)}^N}|Q{|}^{1-\frac{1}{q}+\frac{1}{n}}\Vert f{\Vert }_{L^q},\end{array}$$于是, 令 $N>n+1$ 就有$$\begin{array}{rl}(\sum _{j\in \mathbb{Z}}|{\Delta }_{j}f{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}dx& \le C_{n,q}(\sum _{j\in \mathbb{Z}}\frac{2^{2(n+1)j}}{(1+2^{j-1}|x|{)}^{2N}}{)}^{\frac{1}{2}}|Q{|}^{1-\frac{1}{q}+\frac{1}{n}}\Vert f{\Vert }_{L^q}\\ & \le C_{n,q}|x{|}^{-(n+1)}|Q{|}^{1-\frac{1}{q}+\frac{1}{n}}\Vert f{\Vert }_{L^q}.\end{array}$$由此, $$\begin{array}{rl}\Vert (\sum _{j\in \mathbb{Z}}|{\Delta }_{j}f{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}{\Vert }_{L^1((\sqrt{n}Q{)}^c)}& \le C_{n,q}{\int }_{\sqrt{n}|Q{|}^{\frac{1}{n}}/2}^{\infty }{r}^{-(n+1)+n-1}dr|Q{|}^{1-\frac{1}{q}+\frac{1}{n}}\Vert f{\Vert }_{L^q}\\ & =C_{n,q}|Q{|}^{1-\frac{1}{q}}\Vert f{\Vert }_{L^q}.\end{array}$$

$\square$

命题 4.14. 任何有界线性泛函 $l\in H^1({\mathbb{R}}^n{)}^{\ast }$ 皆是某 $f\in BMO({\mathbb{R}}^n)$ 对应得到的 $l_f$ (定义见 4.12) , 且 $\Vert f{\Vert }_{BMO}\le C_n^{\prime }\Vert l{\Vert }_{{H^1}^{\ast }}$.

证明. 取定方块 $Q$, 记全体支撑在 $Q$ 中的 $L^2$ 函数为 $L_Q^2$, 以及其中积分为 $0$ 的元素的空间为 $L_{Q,0}^q$. 引理说明 $l$ 也是 $L_{Q,0}^2({\mathbb{R}}^n)$ 上的有界线性泛函, 且范数$$\Vert l{\Vert }_{{L_{Q,0}^2}^{\ast }}\le C_{n,2}|Q{|}^{\frac{1}{2}}\Vert l{\Vert }_{{H^1}^{\ast }},$$故 $l\in {L_{Q,0}^2}^{\ast }=L_Q^2$ 模去常数可以写成$$l(g)={\int }_Q{f}^{Q}gdx$$的形式, 且$$\Vert f^Q{\Vert }_{L^2}\le \Vert l{\Vert }_{{L_{Q,0}^2}^{\ast }}.$$注意到对两个方块 $Q\subset Q^{\prime }$, $f^Q-f^{Q^{\prime }}$ 在 $Q$ 上为常数, 这是因为它们作为 ${L_{Q,0}^2}^{\ast }$ 的元素是相同的.

现在定义 ${\mathbb{R}}^n$ 上函数 $f$, 在 $Q_m=[-m,m{]}^n,m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 上的取值为$$f=f^{Q_m}-{f^{Q_m}}_{Q_1}.$$由于对 $Q_m\subset Q_{m^{\prime }}$ 有 $f^{Q_m}-f^{Q_{m^{\prime }}}$ 在 $Q_1\subset Q_m$ 上为常数, 有 $f^{Q_m}-f^{Q_{m^{\prime }}}=(f^{Q_m}-f^{Q_{m^{\prime }}}{)}_{Q_1}$, 故 $f$ 是良定的. 此外, 对任意的方块 $Q$, 由于对包含 $Q$ 的 $Q_m$ 有 $f^Q-f^{Q_m}$ 在 $Q$ 上为常数, 得到 $f-f^Q$ 在 $Q$ 上也是常数, 记作 $c_Q$. 那么根据命题 4.1 以及$$\begin{array}{rl}\underset{Q}{\sup }\frac{1}{|Q|}{\int }_Q|f-c_Q|dx& =\underset{Q}{\sup }\frac{1}{|Q|}{\int }_Q|f_Q|dx\\ & \le \underset{Q}{\sup }\frac{1}{|Q{|}^{\frac{1}{2}}}\Vert f_Q{\Vert }_{L^2(Q)}\\ & \le \underset{Q}{\sup }\frac{1}{|Q{|}^{\frac{1}{2}}}\Vert l{\Vert }_{{L_{Q,0}^2}^{\ast }}\\ & \le C_{n,2}\Vert l{\Vert }_{{H^1}^{\ast }}<\infty ,\end{array}$$得到 $f\in BMO({\mathbb{R}}^n)$ 且 $\Vert f{\Vert }_{BMO}\le 2C_{n,2}\Vert l{\Vert }_{{H^1}^{\ast }}$. 还需说明 $l=l_f$, 这是因为$$l(g)={\int }_Q{f}^{Q}gdx={\int }_Q(f^Q-{f^{Q_m}}_{Q_1})gdx=l_f(g)$$对能分解为成有限个 $L^{\infty }$ 原子的 $g$ (构成 $H^1({\mathbb{R}}^n)$ 的稠密子空间) 皆成立.

$\square$

结合命题 4.12 和 4.14, 得出这一结论:

定理 4.15. $H^1({\mathbb{R}}^n{)}^{\ast }=BMO({\mathbb{R}}^n)$ 模去常数.

5参考文献

•	Loukas Grafakos (2014). Modern Fourier Analysis. Graduate Texts in Mathematics 250. Springer.

•	Elias M. Stein (1993). Harmonic Analysis. Princeton Mathematical Series 43. Princeton University Press.