用户: Smile/Veblen 函数

Veblen 函数是一种使用递归不动点构造大可数序数的记号.

回顾 ${\epsilon }_0=\sup \{0,1,\omega ,{\omega }^{\omega },{\omega }^{{\omega }^{\omega }},\cdots \}$ 是最小的不能从自然数和 $\omega$ 出发用有限次加法, 乘法与幂表示的序数, 或等价地, 它是 $\alpha \mapsto {\omega }^{\alpha }$ 的最小不动点. ${\epsilon }_1$ 是这函数的次小不动点, 可表示为 $\sup \{{\epsilon }_0+1,{\omega }^{{\epsilon }_0+1},{\omega }^{{\omega }^{{\epsilon }_0+1}},\cdots \}$. 一般地, 令 ${\epsilon }_{\beta }$ ($\beta \in \mathbf{Ord}$) 枚举 $\omega$ 指数函数的全体不动点, 则小于 ${\zeta }_0=\sup \{0,{\epsilon }_0,{\epsilon }_{{\epsilon }_0},{\epsilon }_{{\epsilon }_{{\epsilon }_0}}\cdots \}$ 的序数都能从自然数和 $\omega$ 出发由有限次加法, 乘法, 幂与 $\epsilon$ 函数表示, 而 ${\zeta }_0$ 是最小的不能被这样表示的序数.

这个过程可以这样不断重复下去: $\epsilon$ 函数是 $\omega$ 指数函数的不动点枚举函数, 而 $\zeta$ 函数是 $\epsilon$ 函数的不动点枚举函数. 但我们不必每取一次不动点就创造一个新的名字, 而是可以用一个指标来表示取不动点的次数. 进而, 取不动点的次数不必限于自然数, 而是可以为任意序数. 这就是二元 Veblen 函数.

1二元 Veblen 函数

给定一个正规函数 (定义 1.1) ${\phi }_0:\mathbf{Ord}\to \mathbf{Ord}$. 对序数 $\alpha$, 可以归纳定义正规函数 ${\phi }_{\alpha }:\mathbf{Ord}\to \mathbf{Ord}$, 使得它是 ${\phi }_{\beta }$ ($\beta <\alpha$) 的公共不动点的枚举函数 (定义 1.2).

下文中, 我们通常取 ${\phi }_0(\alpha )={\omega }^{\alpha }$, 以得到标准的 Veblen 函数. 但这构造对一般的正规函数也有效.

定义 1.1 (正规函数). 设 $f:\mathbf{Ord}\to \mathbf{Ord}$ 为序数函数. 若 $f$ 严格单调递增且在序拓扑下连续, 则称 $f$ 为正规函数.

由于 $\mathbf{Ord}$ 不是集合, 上述连续性应理解为对任何序数 $\alpha$, $f{|}_{\alpha }:\alpha \to \beta$ 连续, 其中 $\beta$ 为任何包含 $f{|}_{\alpha }$ 的值域的序数.

若假设 $f$ 严格单调, 则 $f$ 的连续性等价于对任何极限序数 $\alpha$, $f(\alpha )=\sup \{f(\beta )\mid \beta \in \alpha \}$.

容易验证, 严格单调增函数 $f$ 满足对任何序数 $\alpha$, $f(\alpha )\ge \alpha$. 若等号成立, 则称 $\alpha$ 为不动点.

一族序数的枚举函数即为一个从小至大枚举它的元素的函数. 容易证明下面的函数良定义.

定义 1.2 (枚举函数). 设 $X\subset \mathbf{Ord}$ 为序数构成的集合. 则 $X$ 的枚举函数是唯一的严格单调递增双射 $f:\beta \to X$, 其中序数 $\beta$ 为 $X$ 的序型.

设 $X\subset \mathbf{Ord}$ 为序数构成的真类. 则 $X$ 的枚举函数是唯一的严格单调递增双射 $f:\mathbf{Ord}\to X$.

为了取不动点枚举函数, 我们需要一个引理.

引理 1.3. 设 $f_i:\mathbf{Ord}\to \mathbf{Ord}$ ($i\in I$) 为一族正规函数. 则它们的公共不动点在 $\mathbf{Ord}$ 中无界, 且公共不动点的枚举函数是正规函数.

证明. 任取 $\alpha \in \mathbf{Ord}$, 欲证 $f_i$ 有不小于 $\alpha$ 的公共不动点. 令 ${\alpha }_0=\alpha$, ${\alpha }_{m+1}=\sup \{f_i({\alpha }_m)\mid i\in I\}$, ${\alpha }^{\prime }=\sup \{{\alpha }_m\mid m\in \mathbb{N}\}$. 则由连续性立得 $f_i({\alpha }^{\prime })={\alpha }^{\prime }$ 对任何 $i$ 成立, 即为所求.

为证不动点枚举函数正规, 只需证公共不动点构成闭子集. 这由 $f_i$ 正规立得.

$\square$

从而可定义二元 Veblen 函数.

定义 1.4 (二元 Veblen 函数). 令 ${\phi }_0(\beta )={\omega }^{\beta }$. 对序数 $\alpha >0$ 归纳, 我们定义正规函数 ${\phi }_{\alpha }:\mathbf{Ord}\to \mathbf{Ord}$, 它是 ${\phi }_{\beta }$ ($\beta <\alpha$) 的公共不动点的枚举函数.

为了与多元 Veblen 函数统一, 我们令 $\phi (\alpha ,\beta )={\phi }_{\alpha }(\beta )$. 从而有 $\phi (0,\beta )={\omega }^{\beta }$, $\phi (1,\beta )={\epsilon }_{\beta }$, $\phi (2,\beta )={\zeta }_{\beta }$.

下面我们给出二元 $\phi$ 函数的基本性质.

命题 1.5. 设 $\alpha ,\beta ,{\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime }$ 为序数. 则

•	$\phi (\alpha ,\beta )=\phi ({\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime })$ 当且仅当 (i) $\alpha ={\alpha }^{\prime }$ 且 $\beta ={\beta }^{\prime }$, 或 (ii) $\alpha <{\alpha }^{\prime }$ 且 $\beta =\phi ({\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime })$, 或 (iii) $\alpha >{\alpha }^{\prime }$ 且 ${\beta }^{\prime }=\phi (\alpha ,\beta )$.
•	$\phi (\alpha ,\beta )<\phi ({\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime })$ 当且仅当 (i) $\alpha ={\alpha }^{\prime }$ 且 $\beta <{\beta }^{\prime }$, 或 (ii) $\alpha <{\alpha }^{\prime }$ 且 $\beta <\phi ({\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime })$, 或 (iii) $\alpha >{\alpha }^{\prime }$ 且 $\phi (\alpha ,\beta )<{\beta }^{\prime }$.

命题 1.6. 设 Feferman–Schütte 序数 ${\Gamma }_0=\phi (1,0,0)$ (多元 Veblen 函数将在下一节定义) 为函数 $\alpha \mapsto \phi (\alpha ,0)$ 的最小不动点. 则任何小于 ${\Gamma }_0$ 的序数都能从 $0$ 出发, 通过有限次加法和 $\phi$ 函数得到.

2多元 Veblen 函数

在上一节中我们已经知道, 不能用二元 Veblen 函数表示的最小序数是函数 $\beta \mapsto \phi (\beta ,0)$ 的最小不动点. 容易证明, 这函数是正规函数, 从而我们可以进一步取它的不动点枚举函数. 这就是有限元 Veblen 函数.

例 2.1. 我们把函数 $\beta \mapsto \phi (\beta ,0)$ 的不动点枚举函数记为 $\phi (1,0,\beta )$. 类似地,

•	$\phi (1,1,\beta )$ 是 $\phi (1,0,\beta )$ 的不动点枚举函数.
•	$\phi (1,\omega ,\beta )$ 是 $\phi (1,n,\beta )$ ($n<\omega$) 的公共不动点枚举函数.
•	$\phi (2,0,\beta )$ 是 $\phi (1,\beta ,0)$ 的不动点枚举函数.
•	$\phi (\omega ,0,\beta )$ 是 $\phi (n,\beta ,0)$ ($n<\omega$) 的公共不动点枚举函数.
•	$\phi (1,0,0,\beta )$ 是 $\phi (\beta ,0,0)$ 的不动点枚举函数.

定义 2.2 (有限元 Veblen 函数). 设 $\ell =({\alpha }_{n-1},\cdots ,{\alpha }_1,{\alpha }_0)$ 为一列序数. 我们按字典序归纳定义有限元 Veblen 函数 $\phi (\ell )=\phi ({\alpha }_{n-1},\cdots ,{\alpha }_1,{\alpha }_0)$.

•	在序列左侧任意添加或删除 $0$, 结果不变.
•	n = 1 时, $\phi (\alpha )={\omega }^{\alpha }$. 从而, 对于空序列, $\phi ()=\phi (0)=1$.
•	设 $n>1$ 且首项非零, 则 $\ell$ 可唯一表示为 $(s,\alpha ,z,\beta )$, 其中 $s$ 为有限项序列, $\alpha$ 为非零序数, $z$ 为有限项全为 $0$ 的序列, $\beta$ 为任何序数. 则函数 $\beta \mapsto \phi (s,\alpha ,z,\beta )$ 为一族函数 $\beta \mapsto \phi (s,{\alpha }^{\prime },\beta ,0)$ (${\alpha }^{\prime }<\alpha$) 的公共不动点的枚举函数.

定义 2.3 (小 Veblen 序数). 令小 Veblen 序数 $SVO=\sup \{\phi (1),\phi (1,0),\phi (1,0,0),\phi (1,0,0,0),\cdots \}$.

命题 2.4. 任何小于 $SVO$ 的序数都能从 $0$ 出发, 通过有限次加法和有限元 $\phi$ 函数构造. $SVO$ 是不能被这样构造的最小序数.

但 $\phi$ 函数还可以进一步扩展: 不但其参数的值为序数, 参数的位置也可以是序数. 这样我们即可表示 $SVO=\phi (1@\omega )$. 当然为了满足良序性, 仅能有有限个分量非零.

例 2.5. 以下函数均为关于序数变量 $\gamma$ 的函数.

•	$\phi (1@\omega ,\gamma @0)$ 是 $\phi (\gamma @n)$ ($n<\omega$) 的公共不动点枚举函数.
•	$\phi (1@\omega ,1@1,\gamma @0)$ 是 $\phi (1@\omega ,\gamma @0)$ 的不动点枚举函数.
•	$\phi (2@\omega ,\gamma @0)$ 是 $\phi (1@\omega ,\gamma @n)$ ($n<\omega$) 的公共不动点枚举函数.
•	$\phi (\omega @\omega ,\gamma @0)$ 是 $\phi (m@\omega ,\gamma @n)$ ($m,n<\omega$) 的公共不动点枚举函数.
•	$\phi (1@(\omega +1),\gamma @0)$ 是 $\phi (\gamma @\omega )$ 的不动点枚举函数.

有限元 Veblen 函数即为序数元 Veblen 函数的特例.

定义 2.6 (序数元 Veblen 函数). 设 $\ell =({\alpha }_0@{\beta }_0,\cdots ,{\alpha }_{n-1}@{\beta }_{n-1})$ 为有限个二元序数对构成的序列, 其中 ${\beta }_0>{\beta }_1>\cdots >{\beta }_{n-1}$. 我们按字典序归纳定义 $\phi (\ell )=\phi ({\alpha }_{n-1}@{\beta }_{n-1},\cdots ,{\alpha }_0@{\beta }_0)$.

•	在序列中任意添加或删除形如 $0@\beta$ 的项, 结果不变.
•	$\phi (\alpha @0)={\omega }^{\alpha }$.
•	设 $\alpha \ne 0$. 函数 $\gamma \mapsto \phi (\ell ,\alpha @\beta ,\gamma @0)$ 是函数 $\gamma \mapsto \phi (\ell ,{\alpha }^{\prime }@\beta ,\gamma @{\beta }^{\prime })$ (对所有 ${\alpha }^{\prime }<\alpha$, ${\beta }^{\prime }<\beta$) 的公共不动点枚举函数.

用序数元 Veblen 函数不能表示的最小序数称为大 Veblen 序数 $LVO$, 它是 $\alpha \mapsto \phi (1@\alpha )$ 的最小不动点.

定义 2.7 (大 Veblen 序数). 令大 Veblen 序数 $LVO=\sup \{\phi (1),\phi (1@\phi (1)),\phi (1@\phi (1@\phi (1))),\cdots \}$ 为 $\alpha \mapsto \phi (1@\alpha )$ 的最小不动点.

命题 2.8. 任何小于 $LVO$ 的序数都能从 $0$ 出发, 通过有限次加法和序数元 $\phi$ 函数构造. $LVO$ 是不能被这样构造的最小序数.

3列表元 Veblen 函数

Veblen 函数还可以进一步扩展. 回忆之前的规律, 每次取不动点就把指标向前进位. 从而我们可以把大 Veblen 序数表示为 $LVO=\phi (1@(1,0))$.

容易发现, Veblen 函数中, 最后一个变量的地位是和其它变量不同的: 其余变量都表示递归的次数, 而最后一个变量表示不动点枚举. 但对于列表下标, 所有指标都表示不动点枚举. 为了下面处理的一致性, 我们将最后一个变量单列, 用分号隔开.

例 3.1. 下面等式中, 不含分号的为标准的 Veblen 函数记号, 含有分号的为本小节使用的 Veblen 函数记号.

•	$\phi (\gamma )=\phi (;\gamma )$
•	$\phi (1,1,\gamma )=\phi (1@2,1@1,\gamma @0)=\phi (1,1;\gamma )=\phi (1@1,1@0;\gamma )$
•	$\phi (1@\omega ,\gamma @0)=\phi (1@\omega ;\gamma )$

可以看出, 对于大于 $\omega$ 的指标, 两种记号完全相同. 于是 $SVO=\phi (1@\omega ;)$, $LVO=\phi (1@(1,0);)$.

例 3.2. 以下 $\gamma$ 为序数变量.

•	$\phi (1@(1,0);\gamma )$ 是 $\phi (1@\gamma ;)$ 的不动点枚举函数.
•	$\phi (1@(1,0),1@0;\gamma )$ 是 $\phi (1@(1,0);\gamma )$ 的不动点枚举函数.
•	$\phi (2@(1,0);\gamma )$ 是 $\phi (1@(1,0),1@\gamma ;)$ 的不动点枚举函数.
•	$\phi (\omega @(1,0);\gamma )$ 是 $\phi (n@(1,0),1@\gamma ;)$ ($n<\omega$) 的公共不动点枚举函数.
•	$\phi (1@(1,1);\gamma )$ 是 $\phi (\gamma @(1,0);)$ 的不动点枚举函数.
•	$\phi (1@(2,0);\gamma )$ 是 $\phi (1@(1,\gamma );)$ 的不动点枚举函数.
•	$\phi (1@(\omega ,0);\gamma )$ 是 $\phi (1@(n,\gamma );)$ ($n<\omega$) 的公共不动点枚举函数.
•	$\phi (1@(1,0,0);\gamma )$ 是 $\phi (1@(\gamma ,0);)$ 的不动点枚举函数.
•	$\phi (1@(1@\omega );\gamma )$ 是 $\phi (1@(\gamma @n);)$ ($n<\omega$) 的公共不动点枚举函数.
•	$\phi (1@(1@(1,0));\gamma )$ 是 $\phi (1@(1@\gamma );)$ 的不动点枚举函数.

为了给出定义, 我们先递归地同时定义递归列表和它们的序.

定义 3.3 (递归列表). 一个预递归列表形如 $\ell =({\alpha }_0@{\ell }_0,\cdots ,{\alpha }_{n-1}@{\ell }_{n-1})$, 其中 ${\alpha }_i$ (称为变量) 是非零序数, ${\ell }_i$ (称为位置) 是预递归列表.

我们递归地给预递归列表赋全序, 即为 $({\ell }_0,{\alpha }_0,{\ell }_1,{\alpha }_1,\cdots )$ 的字典序.

一个递归列表是一个满足各变量位置都为递归列表, 且位置 $\{{\ell }_i\}$ 严格单调减的预递归列表. 递归列表的序就是预递归列表的序.

我们有时允许递归列表中出现 $0$ 作为变量. 任意地添加和删除 $0$ 视为同一个递归列表.

注 3.4. 为简单起见, 常把空列表 $()$ 简记为 $0$, $(\beta @0)$ 简记为 $\beta$. (注意 $(0@0)=()=0$, 故这两条约定是一致的.) 从而序数元 Veblen 函数的参数列表 $({\alpha }_i@{\beta }_i)$ 可看作递归列表.

注 3.5. 下面定义中的归纳定义要求递归列表良序. 为避免集合论问题, 任取不可数基数 $\kappa$, 考虑出现的序数小于 $\kappa$ 的递归列表 (称为 $\kappa$-小的递归列表) 之集, 可证这集合是良序的. 容易验证下面证明出现的所有序数都仍小于 $\kappa$, 从而可对 $\kappa$-小的递归列表归纳定义.

定义 3.6 (列表元 Veblen 函数). 设 $\ell$ 是非零递归列表.

•

若 $\ell =({\ell }^{\prime },\alpha @0)$ ($\alpha >0$) 的位置 $0$ 处变量非零, 则我们定义它的一个直接前驱是形如 $({\ell }^{\prime },{\alpha }^{\prime }@0)$ (${\alpha }^{\prime }<\alpha$) 的递归列表.

•

若 $\ell =({\ell }^{\prime },\alpha @{\ell }_1)$ ($\alpha >0$, ${\ell }_1>0$) 的位置 $0$ 处变量为零, 我们定义它的直接前驱函数, 是一族 $\mathbf{Ord}\to \{\text{递归列表}\}$ 的函数. ∘ 设 ${\ell }_1$ 的位置 $0$ 处变量非零. 则 $\ell$ 的直接前驱函数形如 $\gamma \mapsto ({\ell }^{\prime },{\alpha }^{\prime }@{\ell }_1,\gamma @{\ell }_1^{\prime })$, 其中 ${\alpha }^{\prime }<\alpha$, ${\ell }_1^{\prime }$ 为 ${\ell }_1$ 的直接前驱. ∘ 设 ${\ell }_1$ 的位置 $0$ 处变量为 $0$. 则则 $\ell$ 的直接前驱函数形如 $\gamma \mapsto ({\ell }^{\prime },{\alpha }^{\prime }@{\ell }_1,1@{\ell }_1^{\prime }(\gamma ))$, 其中 ${\alpha }^{\prime }<\alpha$, ${\ell }_1^{\prime }$ 为 ${\ell }_1$ 的直接前驱函数.

设 $\ell$ 是递归列表. 我们归纳定义 $\phi (\ell ;\gamma )$.

•	$\phi (;\gamma )={\omega }^{\gamma }$.
•	设 $\ell$ 的位置 $0$ 处变量非零. 则 $\phi (\ell ;\gamma )$ 是形如 $\phi ({\ell }^{\prime };\gamma )$ 的函数的公共不动点, 其中 ${\ell }^{\prime }$ 为 $\ell$ 的直接前驱.
•	设 $\ell >0$ 的位置 $0$ 处变量为零. 则 $\phi (\ell ;\gamma )$ 是形如 $\phi ({\ell }^{\prime }(\gamma );)$ 的函数的公共不动点, 其中 ${\ell }^{\prime }$ 为 $\ell$ 的直接前驱函数.

用列表元 Veblen 函数不能表示的最小序数是 Bachmann–Howard 序数.

定义 3.7 (Bachmann–Howard 序数). 令 Bachmann–Howard 序数 $BHO=\sup \{\phi (1;),\phi (1@1;),\phi (1@(1@1);),\phi (1@(1@(1@1));),\cdots \}$.

命题 3.8. 任何小于 $BHO$ 的序数都能从 $0$ 出发, 通过有限次加法和列表元 $\phi$ 函数构造. $BHO$ 是不能被这样构造的最小序数.

4Veblen 正规形式

本节我们给出 Veblen 正规形式的定义, 并证明小于 $LVO$ 的序数的 (序数元) Veblen 正规形式存在. 若仔细写出, 可证小于 $BHO$ 的 (列表元) Veblen 正规形式存在, 但较为复杂. 本文不给出证明.

以下定义是非标准的. 若在定义中允许列表元 (或有限元, 二元) Veblen 函数, 也可以证明相应的结论.

定义 4.1. 设 $\alpha >0$ 是序数. 若小于 $\alpha$ 的序数对加法和序数元 Veblen 函数封闭, 则称 $\alpha$ 为 (序数元) $\phi$ 不可达序数.

定义 4.2. 设 $\alpha$ 为序数. $\alpha {=}_{NF}$ 表示等号右侧为 $\alpha$ 的序数元 Veblen 正规形式.

•	若 $\alpha =0$, 则 $\alpha {=}_{NF}0$.
•	若 $\alpha ={\beta }_0+\cdots +{\beta }_{n-1}$, 其中 ${\beta }_0>\cdots >{\beta }_{n-1}$ 为 $\omega$ 的幂, $n>1$, 则 $\alpha {=}_{NF}{\beta }_0+\cdots +{\beta }_{n-1}$.
•	若 $\alpha =\phi (\ell )$, 其中 $\ell =({\alpha }_{n-1}@{\beta }_{n-1},\cdots ,{\alpha }_0@{\beta }_0)$ 中出现的所有序数都小于 $\alpha$, 则 $\alpha {=}_{NF}\phi (\ell )$.
•	若 $\alpha$ 为序数元 $\phi$ 不可达序数, 则 $\alpha {=}_{NF}\alpha$.

由于更高层级的 $\phi$ 函数是较低层级的函数的不动点枚举函数, 容易证明以下命题.

引理 4.3 (序数元 Veblen 函数的比较). 设 $\ell >{\ell }^{\prime }$ 为两个序数指标列表. 则 $\phi (\ell )\le \phi ({\ell }^{\prime })$ 当且仅当 ${\ell }^{\prime }$ 中出现了不小于 $\phi (\ell )$ 的序数. 此时, 等号成立当且仅当不小于 $\phi (\ell )$ 的序数在 ${\ell }^{\prime }$ 中恰出现一次, 是最后一个非零的参数, 且等于 $\phi (\ell )$.

引理 4.4. 设 $\alpha$ 为序数. 则 $\alpha$ 为 $\phi$ 不可达序数当且仅当 $\alpha =\phi (1@\alpha )$.

证明. $\alpha$ 为后继基数时显然. 设 $\alpha$ 为极限基数.

若 $\alpha$ 为 $\phi$ 不可达序数, 则对 $\beta <\alpha$ 有 $\phi (1@\beta )<\alpha$. 从而由 $\gamma \mapsto \phi (1@\gamma )$ 正规性, 易见 $\alpha =\phi (1@\alpha )$.

下设 $\alpha =\phi (1@\alpha )$. 考虑 $x=\phi (\ell )$, $\ell =({\alpha }_{n-1}@{\beta }_{n-1},\cdots )$, 其中出现的数都小于 $\alpha$. 则由序数元 $\phi$ 函数的比较知 $\phi (1@\alpha )>\phi (\ell )$, 即证.

$\square$

下面的命题立即证明了命题 2.8.

命题 4.5. 设 $\alpha$ 为序数. 则 $\alpha$ 的 Veblen 正规形式存在唯一.

证明. 由 Cantor 正规形式的存在唯一性及 Veblen 函数的比较, 立得 Veblen 正规形式唯一. 下只需证 Veblen 正规形式存在. 从而假设 $\alpha$ 是 $\omega$ 的幂, 且不为 $\phi$ 不可达序数.

在本证明中, 我们转而使用修改的 Veblen 函数, 以简化记号.

由 $\alpha$ 进 Cantor 正规形, 不大于 ${\alpha }^{\alpha }$ 的序数 $z$ 可唯一表示为 $z={\sum }_i{\alpha }^{y_i}{x}_i$, 其中 $y_0>y_1>\cdots$, $0<x_i<\alpha$. 令 ${\ell }_z=(x_0@y_0,\cdots ,x_{n-1}@y_{n-1})$. 令 $Z=\{z\le {\alpha }^{\alpha }\mid \exists \gamma ,\alpha =\phi ({\ell }_z;\gamma )\}$.

我断定: $Z<{\alpha }^{\alpha }$ 是后继序数, 且若 $z\in Z$ 不为最大元, 则 $\alpha$ 是 $\phi ({\ell }_z;\gamma )$ 的不动点.

由于 $\alpha$ 为 $\phi$ 可达序数, 显然 ${\alpha }^{\alpha }\notin Z$. 注意到 $\alpha$ 是 $\omega$ 的幂, 从而在 $\phi ({\ell }_0;\gamma )$ 的值域中, 故 $0\in Z$. 这表明 $Z\subset {\alpha }^{\alpha }$ 非空.

为证向下封闭及不动点性质, 我们对 $z\in {\alpha }^{\alpha }$ 归纳证明若 $z\in Z$, 则 $z\subset Z$, 且对 $z^{\prime }\in z$, $\alpha$ 为 $\phi ({\ell }_{z^{\prime }};\gamma )$ 不动点. 这由 Veblen 函数的定义易得.

从而 $Z\subset {\alpha }^{\alpha }$ 是序数. 反设 $Z=z$ 为极限序数, 则对任何 $z^{\prime }\in Z$, $\alpha$ 为 $\phi ({\ell }_{z^{\prime }};\gamma )$ 不动点. 这表明 $\alpha$ 在 $\phi ({\ell }_z;\gamma )$ 值域中, 从而 $z\in Z$, 矛盾.

综上, 断言成立. 从而 $Z$ 有最大值 $z$. 由于 $z+1\notin Z$, $\alpha$ 不是 $\phi ({\ell }_z;\gamma )$ 不动点, 故存在 $\gamma <\alpha$ 使得 $\alpha =\phi ({\ell }_z;\gamma )$. 此即所求正规形.

$\square$