用户: SQH/自守形式的谱方法/欧氏平面上的调和分析

我们从最熟悉的欧氏平面$${\mathbb{R}}^2=\{(x,y):x,y\in \mathbb{R}\}$$开始. 群 $G={\mathbb{R}}^2$ 以平移的方式作用在自己上, 并使得 ${\mathbb{R}}^2$ 成为一个齐性空间. 欧氏平面有曲率 $K=0$ 的度量$$d{s}^2=d{x}^2+d{y}^2,$$并且对应的 Laplace-Beltrami 算子定义为$$D=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}$$(后文我们简称为拉普拉斯). 显然指数函数$$\phi (x,y)=e(ux+vy),(u,v)\in {\mathbb{R}}^2$$是拉普拉斯的特征函数: $$(D+\lambda )\varphi =0,\lambda =\lambda (\varphi )=4{\pi }^2(u^2+v^2).$$著名的傅里叶逆变换$$\hat{f}(u,v)=\iint f(x,y)e(ux+vy)dxdy,$$$$f(x,y)=\iint \hat{f}(u,v)e(-ux-vy)dudv,$$就是拉普拉斯在那些增速合适的函数上的谱方法.

另一种视角是不变积分算子$$(Lf)(z)={\int }_{{\mathbb{R}}^2}k(z,w)f(w)dw.$$使 $L$-是 $G$-不变的的充要条件是核函数 $k$ 只取决于 $z-w$, 即 $k(z,w)=k(z-w)$. 这样的 $L$ 就是卷积变换: $Lf=k\ast f$. 可以得到, 不变积分算子互相之间是交换的, 并且和拉普拉斯算子交换.