用户: Ruiqi chen/CoursesNotes/数学分析 I (实验班)/Sep 9 2024

正文

定义 1 (实数). 实数包含以下资料:

(S)	集合 $\mathbb{R}$;
(F)	域公理, $(\mathbb{R},+,\times (\cdot ))$ 是一个域; (F1) 加法结合律 $\forall a,b,c\in \mathbb{R},a+(b+c)=(a+b)+c$; (F2) 加法交换律 $\forall a,b\in \mathbb{R},a+b=b+a$; (F3) 存在加法单位元 $\exists 0\in \mathbb{R},\forall a\in \mathbb{R},0+a=a$; (F4) 存在加法逆元 $\forall a\in \mathbb{R},\exists (-a)\in \mathbb{R},a+(-a)=0$; 1 (F5) 乘法结合律 $\forall a,b,c\in \mathbb{R},a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$; (F6) 乘法交换律 $\forall a,b\in \mathbb{R},a\cdot b=b\cdot a$; (F7) 存在乘法单位元 $\exists 1\in \mathbb{R},\forall a\in \mathbb{R},1\cdot a=a$; (F8) 存在乘法逆元 $\forall a\in \mathbb{R},a\ne 0,\exists a^{-1}\in \mathbb{R},a\cdot a^{-1}=1$; (F9) 分配律 $\forall a,b,c\in \mathbb{R},a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.
(O)	序公理, $(\mathbb{R},\le )$ 是有序域; (O1) 序的传递性 $\forall a,b,c\in \mathbb{R},a\le b\wedge b\le c⟹a\le c$; (O2) 序决定元素 $\forall a,b\in \mathbb{R},a\le b\wedge b\le a⟹a=b$; 2 (O3) 全序关系 $\forall a,b\in \mathbb{R},a\le b\vee b\le a$; (O4) 与加法相容 $\forall a,b,c\in \mathbb{R},a\le b⟹a+c\le b+c$; (O5) 与乘法相容 $\forall a,b\in \mathbb{R},0\le a\wedge 0\le b⟹0\le a\cdot b$.
(C)	实数的完备性公理: 实数集 $\mathbb{R}$ 满足确界原理, 即任何有上界的非空子集都有上确界 (3); 3
(A)	Archimedes 公理: $$\forall x\in {\mathbb{R}}_{>0},y\in \mathbb{R},\exists n\in {\mathbb{Z}}_{>0},nx>y$$(1)

称实数集 $\mathbb{R}$ 是包含 $0,1$ 的完备的有序域.

注 2. 依赖序关系可以定义严格大于 (小于) 为: $$x<y⟺x\le y\wedge x\ne y$$(2)可以定义区间为: $$\begin{array}{rl}[a,b]:=& \left\{x\in \mathbb{R}:a\le x\le b\right\}\\ (a,b):=& \left\{x\in \mathbb{R}:a<x<b\right\}\\ [a,b):=& \left\{x\in \mathbb{R}:a\le x<b\right\}\\ (a,b]:=& \left\{x\in \mathbb{R}:a<x\le b\right\}\\ [a,+\infty ):=& \left\{x\in \mathbb{R}:a\le x\right\}\\ (a,+\infty ):=& \left\{x\in \mathbb{R}:a<x\right\}\\ (-\infty ,b]:=& \left\{x\in \mathbb{R}:x\le b\right\}\\ (-\infty ,b):=& \left\{x\in \mathbb{R}:x<b\right\}\\ (-\infty ,+\infty ):=& \mathbb{R}\end{array}$$

注 3. 任何偏序集 $S$, 取子集 $E\subseteq S$, 我们说 $E$ 有上界, 如果存在 $\beta \in S$ 满足: $$\forall x\in E,x\le \beta$$(3)$S$ 为有序集, $E\subseteq S$ 上界 $\beta \in S$ 为 $E$ 的上确界, 若 $\beta$ 为 $E$ 的上界且 $\forall \gamma <\beta$, $\gamma$ 都不是 $E$ 的上界, 记作 $\sup E$.

同样可定义下确界 $\inf E$.

注 4 (实数的构造). 有理数集 $\mathbb{Q}$ 的完备化, Cauchy 列 ${\left(x_n:x_n\in \mathbb{Q}\right)}_n$, 满足: $$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbb{Z}}_{>0},\forall n,m\ge N,\left|x_n-x_m\right|<\epsilon$$(4)令 $\mathbb{R}:=\left\{\text{Cauchy 列}{\left(x_n\right)}_n\right\}/\sim$, 其中 Cauchy 列 ${\left(x_n\right)}_n$ 与 ${\left(y_n\right)}_n$ 等价 ${\left(x_n\right)}_n\sim {\left(y_n\right)}_n$, 若: $$x_0,y_0,x_1,y_1,\dots ,x_n,y_n,\dots$$(5)也是 Cauchy 列.

脚注

1.	^ F1, F3, F4 使其成为群, 在此之上 F2 使其成为交换群.
2.	^ O1, O2, 再加上 $\forall x\in \mathbb{R},x\le x$, 使其成为偏序集.
3.	^ 完备性公理 C 可取 Cauchy 收敛准则, 区间套, 此时需 Archimedes 公理, 也可取确界原理, 单调序列, 聚点原理, 有限开, 此时可略去 Archimedes 公理.