用户: Ruiqi chen/CoursesNotes/数学分析 I (实验班)/Sep 25 2024

正文

定义 1 (正弦余弦). 可以定义正弦函数和余弦函数为: $$\begin{array}{rl}\cos x& :=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}\\ \sin x& :=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}\end{array}$$

定理 2 (Euler 公式). 对于任意 $x\in \mathbb{R}$, 有: $$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$(1)

引理 3. 对于任意 $x,y,z\in \mathbb{C}$ 有: $$\begin{array}{rl}{(\cos z)}^2+{(\sin z)}^2& =1\\ \cos x+y& =\cos x\cos y-\sin x\sin y\\ \sin x+y& =\sin x\cos y+\cos x\sin y\end{array}$$

定理 4 (Abel 求和公式). 对任意 $a_n,b_n$ 有: $$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k& =S_n{b}_n+\sum _{k=1}^{n-1}{S}_k(b_k-b_{k+1})\\ S_n& :=\sum _{k=1}^n{a}_k\end{array}$$

引理 5 (Dirichlet 判别法). 给出列 $a_n,b_n$, 若:

1.	$S_n:={\sum }_{k=1}^n{a}_k$ 有界.
2.	$b_n$ 单调, 且 ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=0$.

则级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{b}_n$ 收敛.

证明. 运用 Cauchy 判别准则, 有: $$\begin{array}{rl}\sum _{k=n+1}^m{a}_k{b}_k& =S_m{b}_m-S_n{b}_n+\sum _{k=n}^{m-1}{S}_k(b_k-b_{k+1})\\ & \le M(\left|b_m\right|+\left|b_n\right|)+\sum _{k=n}^{m-1}M\left|b_k-b_{k+1}\right|\\ & \le M(\left|b_m\right|+\left|b_n\right|)+M\left|b_n-b_m\right|\\ & \le 2M(\left|b_n\right|+M\left|b_m\right|)\end{array}$$

$\square$

定理 6 (Abel 判别法). 给出列 $a_n,b_n$, 若:

1.	$S_n:={\sum }_{k=1}^n{a}_k$ 收敛;
2.	$b_n$ 单调, 且有界.

证明. 令 ${\lim }_{k\to \infty }{b}_k=b$, 则: $$\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k{b}_k=\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k(b_k-b)+b\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$$(2)

$\square$

例 7. 对 $x\ne 2k\pi$, 级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\cos nx}{n}$ 条件收敛.

证明. 令 $b_n:=\frac{1}{n}$ 则 ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=0$, 且 $b_n$ 单调, 令 $a_n:=\cos nx$, 则: $$S_n=\sum _{k=1}^n\cos kx=\frac{\sin (n+\frac{1}{2})x-\sin \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}$$(3)若 $x\ne 2k\pi$, 则 $S_n$ 有界, 由 Dirichlet 判别法, 级数收敛, 另一方面, 有: $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\left|\cos nx\right|}{n}\ge \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(\cos nx)}^2}{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1+\cos 2nx}{2n}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{2n}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos 2nx}{2n}$$(4)发散, 故级数条件收敛.

$\square$

定义 8 (映射的极限). 给出两个距离空间 $(X,d_X)$ 和 $(Y,d_Y)$, 以及映射 $f:X\to Y$, 对 $x_0\in X$ 若存在 $y\in Y$ 使得: $$\forall ϵ>0,\exists \delta >0,\forall x\in X,0<d_X(x,x_0)<\delta ⟹d_Y(f(x),y)<ϵ$$(5)则称 $f$ 在 $x_0$ 处的极限存在, 记 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=y$.

定理 9. ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=y$ 等价于对任意收敛到 $x_0$ 的序列 $\{x_n:x_n\ne x_0\}$, 有 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=y$.

证明. 一个方向是显然的, 另一方向, 若存在 ${ϵ}_0>0$, 使得: $$\exists x_n\ne x_0,d_X(x_n,x_0)<\frac{1}{n}\wedge d_Y(f(x_n),y)\ge {ϵ}_0$$(6)此时 $f(x_n)$ 的极限不存在或极限不为 $y$, 矛盾.

$\square$

定义 10 (左右极限). 对于区间 $(a,x_0]$ 或 $[x_0,b)$, 可定义左极限 (右极限), 记作 ${\lim }_{x\to {x_0}^{-}}f(x)$ (${\lim }_{x\to {x_0}^{+}}f(x)$).

对 ${\mathbb{R}}^n$, 可定义 $\left|x\right|\to +\infty$ 的极限, ${\lim }_{|x|\to +\infty }f(x)=y$ 当且仅当: $$\forall ϵ>0,\exists N>0,\forall x\in {\mathbb{R}}^n,\left|x\right|>N⟹\left|f(x)-y\right|<ϵ$$(7)

引理 11. 若 $f$ 是 $(a,b)$ 上的单调函数, 则任意 $x_0\in (a,b)$ 的左右极限存在.

证明. 不妨假设 $f$ 单调升, 我们取任意收敛于 $x_0$ 的升列 $\{x_n\}$ 有 $f(x_n)$ 为升列而 $f(x_n)\le f(x_0)$, 记 $y:={\lim }_{n\to \infty }{x}_n$, 我们证明: $$y=\sup \{f(x):x\in (a,x_0)\}\le f(x_0)$$(8)对任意 $ϵ>0$, 存在 $x^{\prime }<x_0$ 使得 $0\le y-f(x^{\prime })<ϵ$, 考察 $\delta =x_0-x^{\prime }$ 即可.

$\square$

定义 12 (距离空间的连续映射). 给出两个距离空间 $(X,d_X)$ 和 $(Y,d_Y)$, 以及映射 $f:X\to Y$, 对 $x_0\in X$, 称 $f$ 在 $x_0$ 处连续, 若: $$\forall ϵ>0,\exists \delta >0,\forall x\in X,d_X(x,x_0)<\delta ⟹d_Y(f(x),f(x_0))<ϵ$$(9)也即 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$, 或对于任意收敛到 $x_0$ 的序列 $\{x_n\}$, 有 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=f(x_0)$.

例 13. $f(x)=c$, $f(x)=x$, $f(x)=\exp x$ 在 $\mathbb{R},\mathbb{C}$ 上连续.

证明. 我们验证 $\exp$ 情形, 有: $$\begin{array}{rl}\left|\exp x-\exp x_0\right|& =\left|\exp x_0\right|\left|\exp (x-x_0)-1\right|\\ & \le \left|\exp x_0\right|\left|\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{(x-x_0)}^n}{n!}\right|\\ & \le \left|\exp x_0\right|\left|x-x_0\right|\left|\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(x-x_0)}^n}{(n+1)!}\right|\\ & \le \left|\exp x_0\right|\left|x-x_0\right|\exp \left|x-x_0\right|\\ & \le C\left|x-x_0\right|\end{array}$$

$\square$

命题 14 (四则运算). $f,g$ 在 $x_0\in I\subseteq \mathbb{R}$ 处连续, 则:

1.	$f\pm g$, $f\cdot g$, 在 $x_0$ 处连续;
2.	若 $g(x_0)\ne 0$, 则 $f/g$ 在 $x_0$ 处连续 (在 $x_0$ 的小邻域 $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$ 上定义).

证明. 列连续, 取 $x_n\to x_0$, 研究 $f(x_n),g(x_n)$.

$\square$

定义 15. 用 $C(I)$ 表示区间 $I$ 上连续函数构成的集合, 则:

1.	$(C(I),+,\cdot )$ 构成一个环, $f,g\in C(I)⟹f+g,fg\in C(I)$;
2.	$C(I)$ 为 $\mathbb{R}$ 线性空间, $c\in \mathbb{R},f\in C(I)⟹cf\in C(I)$;
3.	$C(I)$ 上有绝对值 $f\in C(I)⟹\left|f\right|\in C(I)$.

证明. 绝对值情形有: $$\left|\left|f(x)\right|-\left|f(x_0)\right|\right|\le \left|f(x)-f(x_0)\right|$$(10)

$\square$

定理 16. 若连续函数 $f\in C(I,J)$, 即 $f:I\to J$, 而 $g\in C(J)$, 则复合函数 $g\circ f\in C(I)$.

证明. 列连续, 取 $x_n\to x_0$, 则: $$x_n\to x_0⟹f(x_n)\to f(x_0)⟹g(f(x_n))\to g(f(x_0))$$(11)

$\square$

例 17. 有: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=e$$(12)

证明. 作变换 $1/x$ 得: $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$$(13)而对于负号情形, 有: $$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\left(1-x\right)}^{-\frac{1}{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\left({\left(1+\frac{x}{1-x}\right)}^{\frac{1-x}{x}}\right)}^{\frac{1}{1-x}}$$(14)只需证明 $+\infty$, 列连续, 对 $x\in (n,n+1]$, 有: $${\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^n\le {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x\le {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}$$(15)

$\square$

例 18. 有: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\exp x-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$(16)

证明. 对 $\exp$ 有, $\sin$ 同理: $$\underset{x\to 0}{\lim }\left|\sum _{k=2}^{\infty }\frac{{\left|x\right|}^{k-1}}{k!}\right|=\underset{x\to 0}{\lim }\left|\exp \left|x\right|-1\right|=0$$(17)

$\square$

例 19. 对 $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$, 定义: $$f(x,y):=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2}& (x,y)\ne (0,0)\\ 0& (x,y)=(0,0)\end{array}$$(18)则 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)\ne (0,0)$ 处连续, 在 $(0,0)$ 处不连续.

而 $f_x(y)=f(x,y)$ 是关于 $y$ 的连续函数, 但 $f_y(x)$ 是关于 $x$ 的连续函数.

证明. 取列 $x_k=\frac{1}{k},y_k=\frac{\lambda }{k}$, 则 $f(x_k,y_k)=\frac{\lambda }{1+{\lambda }^2}\ne 0$.

$\square$

例 20 (Dirichlet 函数). 有理数集的示性函数为: $${\chi }_{\mathbb{Q}}(x):=\{\begin{array}{ll}1& x\in \mathbb{Q}\\ 0& x\notin \mathbb{Q}\end{array}$$(19)处处不连续.

例 21. 以下定义的 $f(x)$ 连续: $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\exp -\frac{1}{|x|}& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}$$(20)